Universidade da Beira Interior - Departamento de Matemática
E STATÍSTICA A PLICADA À E CONOMIA
Ficha de exercícios 4 – Testes de Ajustamentoa – 2012/2013
a
baseada nas fichas de exercícios do docente Jorge Gama
1. Uma máquina de lavar a roupa é vendida em cinco cores: verde, castanho, vermelho, azul e
branco. Num estudo de mercado para apreciar a popularidade das várias cores analisou-se uma
amostra casual de 300 vendas recentes com o resultados seguintes:
Verde
88
Castanho Vermelho Azul Branco
65
52
40
55
Total
300
Teste, ao nível de significância de 5%, que os consumidores não manifestam tendência para
preferir qualquer das cores.
2. Uma grande loja de um centro comercial está dividida em cinco departamentos. O administrador desta loja incumbiu o consultor empresarial das lojas de averiguar se a proporção de
visitantes em cada um dos cinco departamentos é a mesma. O consultor tomou uma amostra
aleatória de 1000 visitantes e obteve as seguintes frequências em cada um dos cinco departamentos:
Departamento A
B
C
D
E
visitantes
214 231 182 154 219
Teste, ao nível de significância de 1%, se a proporção de visitantes em cada um dos cinco
departamentos da loja é a mesma.
3. Na tabela seguinte encontram-se os dados relativos ao número de pessoas numa amostra aleatória de 210 pessoas, tendo em conta o dia da semana em que preferem fazer compras.
Dia
Pessoas
Seg. Ter. Qua.
9
15
10
Qui. Sex. Sáb.
28
38
69
Dom.
41
Teste, ao nível de significância de 1%, se a proporção de pessoas que preferem fazer compras
em determinado dia é igual para todos os dias da semana.
4. Na tabela seguinte encontram-se os dados relativos ao número de computadores montados por
determinado empregado de uma pequena empresa de electrónica em cada um dos dias da semana de trabalho.
Dia
A B
Computadores montados 16 22
C D E
26 21 15
Usando um nível de significância de 1%, será que se pode rejeitar a hipótese de que a proporção
de computadores montados pelo empregado é igual para cada dia da semana de trabalho?
5. Certo banco pretende seguir um política de crédito de modo que 60% do crédito disponível
seja para empresas comerciais, 10% para pessoas individuais e 30% para empréstimos a estrangeiros. Para determinar se a política está a ser seguida, o vice-presidente da área de mercado
seleccionou aleatoriamente 85 créditos recentemente aprovados. Observou 62 que foram destinados à área comercial, 10 a pessoas individuais e 13 a estrangeiros. Teste se a política de
crédito está a ser seguida. Justifique, usando um nível de significância de 5%.
6. A companhia ART quer saber se as probabilidades da lei binomial podem ser utilizadas numa
análise de decisão estatística que envolve o número de indivíduos que viram o seu anúncio na
televisão. A referida companhia obteve 200 amostras aleatórias constituídas por 10 pessoas
cada. O número de indivíduos de cada amostra que tinham visto o anúncio (sucessos) é dado
na tabela seguinte:
Sucessos Frequência
0
15
1
30
2
50
3
54
4
31
5
14
6
5
7
1
≥8
0
Total
200
Para um nível de significância de 1%, teste a hipótese de que o número de sucessos em cada
amostra segue uma distribuição binomial de parâmetros N = 10 e p = 0.25.
7. Para planificação do inventário e por uma questão de controle, a companhia química K quer
saber se as vendas dum líquido químico são normalmente distribuídas. As vendas observadas
numa amostra aleatória de 200 dias foram as seguintes:
Vendas (milhares de litros) número de dias
< 34
0
[34, 35.5[
13
[35.5, 37[
20
[37, 38.5[
35
[38.5, 40[
43
[40, 41.5[
51
[41.5, 43[
27
[43, 44.5[
10
[44.5, 46[
1
≥ 46
0
Total
200
8. A companhia FIZZ fabrica cilindros de gás comprimido para uso industrial. Tais cilindros são
vendidos em caixas de 20. Ocasionalmente surgem cilindros defeituosos (com pressão baixa).
Alguns clientes ao detectarem um cilindro defeituoso numa caixa devolvem-na argumentando
que se a caixa tem um cilindro defeituoso conterá, provavelmente, outros. O responsável do
controle de qualidade da companhia defende-se afirmando que a proporção de cilindros defeituosos está num nível aceitável e que o número de cilindros defeituosos em cada caixa tem uma
distribuição binomial. Salienta ainda que, caso a sua afirmação seja correcta, é pouco provável
que qualquer caixa contenha mais do que 1 cilindro defeituoso. Para testar a sua hipótese de
que o número de artigos defeituosos em cada caixa tem uma distribuição binomial, recolheu, de
forma aleatória, 100 caixas, registando o número de caixas que continham 0, 1, 2, 3, ... cilindros
defeituosos:
Quantidade de cilindros defeituosos em cada caixa
Quantidade de caixas observadas
0 1
39 34
2 3 4
20 4 1
5 6 ou mais Total
2
0
100
Com estes dados, considera que o responsável pelo controle de qualidade tem razão? (Utilize
α = 0.05.)
9. Para α = 0.05 teste se a procura diária pelo artigo F em certa loja se comporta de acordo com
a distribuição de Poisson, sabendo que em 60 dias se observou o seguinte:
Número de unidades procuradas
Número de dias
0 1
2 4
2 3 4 5
8 13 14 9
6 7
5 3
8 9
1 1
10. Um fabricante de relógios digitais, empacota-os em caixas de 50. Todos os relógios de uma
amostra de 100 caixas foram examinados e o número de relógios defeituosos em cada caixa foi
registado.
Número de relógios defeituosos numa caixa
0
1
2
3
4
5
Número de caixas
69
22
4
1
3
1
Considera que os dados recolhidos são compatíveis com a hipótese de que o número de relógios
digitais defeituosos em cada caixa é binomialmente distribuído?
11. Um agricultor vende sementes de girassol. Uma amostra aleatória de 1000 sementes foi plantada para determinar quantas horas demorariam as sementes a germinar. Os dados recolhidos
foram os seguintes:
Horas para germinar Número de sementes
[0, 120[
10
[120, 132[
71
[132, 144[
270
[144, 156[
410
[156, 168[
180
[168, 180[
59
≥ 180
0
Os dados recolhidos são ou não compatíveis com a hipótese segundo a qual o tempo, em horas,
que cada semente demora a germinar é uma v.a. com comportamento normal? (Utilize α =
0.01).
12. O Sr. Silva, da Companhia de Promoção de Executivos, Lda., pretende saber se o número de
respostas incorrectas, num teste de 6 questões, dadas pelos candidatos a um posto de chefia,
se distribui binomialmente. Examinou aleatoriamente 75 testes tendo registado os seguintes
valores:
Número de respostas incorrectas num teste Número de testes
0
26
1
19
2
15
3
10
4
5
Considera, para um nível se significância de 5%, que os dados recolhidos são compatíveis com
a hipótese segundo a qual o número de respostas incorrectas em cada teste é uma variável
aleatória seguindo distribuição binomial?
13. Supõe-se que o número de erros que um trabalhador comete ao compor uma página de jornal
apresenta distribuição de Poisson. Para comprovar esta hipótese recolheu-se uma amostra de
440 páginas compostas pelo trabalhador, cujos resultados se apresentam a seguir:
Número de erros
0
1
2
3
4 5
Número de páginas 18 53 103 107 82 46
6 7 8
18 10 2
9
1
Proceda ao ensaio apropriado para α = 0.05.
14. Diga se será de admitir que o diâmetro das peças produzidas por determinada máquina segue
distribuição normal, tendo por base medições efectuadas em 680 peças:
Diâmetro
Número de peças
63–65 65–67 67–69 69–71 71–73 73–75 75–77
15
26
151
293
167
17
11
15. Uma fábrica de vidros empacota tubos de ensaio em caixas de 25. Todos os tubos de uma
amostra aleatória de 100 caixas (2500 tubos), foram examinados, tendo-se obtido os seguintes
resultados:
Número de tubos de ensaio defeituosos numa caixa
0
1
2
3
4
Número de caixas
62
28
8
2
0
Considera que os dados recolhidos são compatíveis com a hipótese segundo a qual o número
de tubos de ensaio defeituosos em cada caixa é uma variável aleatória seguindo distribuição
binomial? Utilize α = 0.01.
16. Os erros (em mm) cometidos por certa máquina ao cortar peças de 100 cm de comprimento crêse terem distribuição normal. Para se testar esta hipótese efectuou-se a medição de 595 peças
que forneceram os seguintes resultados:
Erro cometido Número de erros
[−6, −3[
10
[−3, −1[
95
[−1, 0[
200
[0, 1[
190
[1, 3[
90
[3, 9[
10
Sabendo que o desvio padrão do universo é de 1 mm, teste a hipótese apresentada para α = 0.01.
17. O recenseamento de 320 famílias com 5 filhos conduziu aos seguintes resultados:
Rapazes 5
4
3
2 1
Famílias 18 56 110 88 40
0
8
Verifique se estes resultados são compatíveis com a hipótese do número de rapazes ser uma
variável com distribuição binomial, admitindo a equiprobabilidade dos sexos, ao nível de significância de 1%.
18. Um industrial do ramo automóvel pretende saber se o tempo que a sua fábrica demora a fabricar
60 carros é normalmente distribuído. Para tal, o departamento de controle de qualidade da dita
fábrica obteve os seguintes dados a partir de uma amostra aleatória de 180 lotes de 60 carros:
Tempo (horas)
[0.8, 0.9[
[0.0, 1.0[
[1.0, 1.1[
[1.1, 1.2[
Número de lotes
21
70
67
22
Qual foi a conclusão que o industrial obteve a partir deste estudo do departamento de controle
de qualidade? (Utilize α = 0.01).
19. Um alergolologista pretende saber se a distribuição binomial pode ser usada para determinar
probabilidades referentes ao número de indivíduos, em 4, que tem determinada alergia. Com
este objectivo, obteve, de forma aleatória, 50 amostras com 4 indivíduos cada, onde observou o
seguintes dados:
Número de indivíduos Frequência
0
13
1
22
2
10
3
3
4
2
Diga, utilizando um teste apropriado para o nível de significância de 1%, qual a conclusão que
o alergolologista obteve a partir dos dados anteriores.
20. O responsável pela manutenção de determinado tipo de máquina pretende determinar se pode
utilizar a distribuição de Poisson no cálculo de probabilidades envolvendo o número de falhas
da máquina num turno de 8 horas. Com este objectivo, foram observados 60 turnos de 8 horas
e obtiveram-se os dados seguintes:
Número de falhas
Nž de turnos
0 1 2 3
18 24 13 4
4
1
Que pode afirmar acerca da problemática em causa? Utilize α = 0.05.
21. Foram testados 100 dispositivos electrónicos observando-se que 41 tiveram um tempo de vida
inferior a 30 horas, 31 tiveram um tempo de vida entre 30 e 60 horas, 13 tiveram um tempo de
vida entre 60 e 90 horas e 15 tiveram um tempo de vida superior a 90 horas.
(a) São este dados consistentes com a hipótese de que o tempo de vida deste tipo de dispositivos é exponencialmente distribuído com uma média de 50 horas?
(b) Resolva a alínea anterior supondo desconhecida a média da distribuição a testar.
22. Considere a seguinte amostra recolhida em certa população X: (1.4718, 2.7076, 1.5975, 2.2644,
2.1097, 1.5390, 0.9147, 1.9704). Utilize um teste adequado, ao nível de significância de 5%,
para verificar se X segue uma distribuição Normal de média 2 e desvio padrão 0.5.
23. Um engenheiro civil tenciona estudar a tensão de rotura à compressão de um tipo de betão. De
uma amostra aleatória de 30 provetes cúbicos desse tipo de betão resultou:
250 257 254 230
253 255 250 253
238 261 259 232
260 259 255 251 255 257
262 257 254 261 258 230
259 251 243 262 265 252
Usando o teste de Kolmogorov-Smirnov averigúe, para um nível de significância de 5%, se os
dados referentes à tensão de rotura do betão se ajustam à distribuição Normal.
24. O director de uma linha de produção pretende saber se pode usar a distribuição Normal no
cálculo de probabilidades envolvendo o tempo de montagem de determinada operação. Para
tal, o director mandou recolher 20 observações do tempo necessário para a realização de dita
operação, obtendo-se os seguintes resultados
4.35 5.1 4.95 4.8 5.0
4.9 5.9 4.1 5.4 5.1
5.4 5.2 5.7 6.1 6.3
5.1 4.95 5.2 5.0 4.9
Faça o teste pretendido usando o teste de Kolmogorov-Smirnov para um nível de significância
de 5%.
25. Numa experiência para verificar a resistência de uma fibra têxtil produzida de acordo com uma
nova tecnologia, fios desta fibra são submetidos à tracção e a força que produz a ruptura é
registada. Obtiveram-se, em unidades apropriadas, os seguintes valores: 8.9, 10.2, 7.5 , 8.4,
9.3, 9.0, 7.9, 8.8, 9.5 e 8.6. Será que é ajustável uma distribuição Normal à resistência da fibra
têxtil? Utilize um teste apropriado ao nível de significância de 5%.
26. Recorde que para uma v.a. W ∼ B(n, p) se tem E(W ) = np e var(W ) = np(1 − p).
Considere agora as v.a.’s X ∼ B(5; 0, 2) e Y ∼ B(5; 0, 8). Os valores das respectivas funções
distribuição são:
x; y
0
1
2
3
4
5
FX (x)
0,3277
0,7373
0,9421
0,9933
0,9997
1,0000
FY (y)
0,0003
0,0067
0,0579
0,2627
0,6723
1,0000
Esboce os P-P Plot e Q-Q Plot relativos às distribuições em causa. Caracterize e justifique
cuidadosamente o aspecto dos gráficos.
27. Uma empresa pretende saber se o tempo que as suas unidades fabris demoram a fabricar 500
iFones é normalmente distribuído com µ = 40 e σ = 2 (valores em horas). O departamento de
controle de qualidade da empresa obteve os seguintes dados a partir de uma amostra aleatória
de 5 lotes de 500 iFones cada: 39, 2; 31, 4; 41, 5; 42, 1; 40, 3;
(a) Formule e teste as hipóteses em causa considerando α = 1%;
(b) Suponha que numa amostra aleatória de 40 lotes se tinha obtido o mesmo valor da estatística de teste que determinou na alínea anterior. Nestas condições, para que valores de α se
rejeita a hipótese nula formulada na alínea anterior?
28. Considere as v.a.’s X ∼ N(5, 1) e Y ∼ N(3, 3). Na seguinte tabela encontram-se alguns valores das respectivas funções de distribuição:
x; y
1
2
3
4
5
6
7
FX (x)
FY (y)
3.16712E-05 0.252492538
0.001349898 0.36944134
0.022750132
0.5
0.158655254 0.63055866
0.5
0.747507462
0.841344746 0.841344746
0.977249868 0.90878878
Esboce os P-P Plot e Q-Q Plot relativos às distribuições em causa. Caracterize e justifique
cuidadosamente o aspecto dos gráficos e a sua empregabilidade.
29. Uma empresa pretende saber se a sua produção mensal (em toneladas) é normalmente distribuída com σ = 5T . Durante dois anos, os dados observados foram os seguintes:
Produção (T)
[10, 30[
[30, 50[
[50, 70[
[70, 90[
Meses
2
10
11
1
(a) Formule e teste as hipóteses em causa considerando α = 1%;
(b) Para que valores de α se rejeita a hipótese nula formulada na alínea anterior?
30. Uma empresa pretende saber se a sua produção mensal (em toneladas) é normalmente distribuída com σ = 25T . Durante dois anos, os dados observados foram os seguintes:
Produção (T)
[100, 300[
[300, 500[
[500, 700[
[700, 900[
Meses
1
10
11
2
(a) Formule e teste as hipóteses em causa considerando α = 5%;
(b) Para que valores de α se rejeita a hipótese nula formulada na alínea anterior?
31. Considere as v.a.’s X ∼ N(2, 2) e Y ∼ N(4, 1). Na seguinte tabela encontram-se alguns
valores das respectivas funções de distribuição:
x; y
0
1
2
3
4
5
6
7
FX (x)
0.158655254
0.308537539
0.5
0.691462461
0.841344746
0.933192799
0.977249868
0.993790335
FY (y)
3.16712E-05
0.001349898
0.022750132
0.158655254
0.5
0.841344746
0.977249868
0.998650102
Esboce os P-P Plot e Q-Q Plot relativos às distribuições em causa. Caracterize e justifique
cuidadosamente o aspecto dos gráficos e a sua empregabilidade.