Retas Tangentes à Circunferência
1. (Fuvest 2013) São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (3,6) e a
2
2
circunferência C de equação  x  1   y  2   1. Uma reta t passa por P e é tangente a C em
um ponto Q. Então a distância de P a Q é
a) 15
b) 17
c) 18
d) 19
e) 20
2. (Uerj 2013) Um objeto de dimensões desprezíveis, preso por um fio inextensível, gira no
sentido anti-horário em torno de um ponto O. Esse objeto percorre a trajetória T, cuja equação
é x2  y2  25. Observe a figura:
Admita que o fio arrebente no instante em que o objeto se encontra no ponto P(4,3). A partir
desse instante, o objeto segue na direção da reta tangente a T no ponto P.
Determine a equação dessa reta.
3. (Espcex (Aman) 2013) Considere a circunferência  λ  x2  y2  4x  0 e o ponto P 1, 3 .
Se a reta t é tangente a λ no ponto P, então a abscissa do ponto de intersecção de t com o
eixo horizontal do sistema de coordenadas cartesianas é
a) –2
b) 2  3
c) 3
d) 3  3
e) 3  3 3
4. (Fuvest 2012) No plano cartesiano Oxy , a circunferência C é tangente ao eixo Ox no ponto
de abscissa 5 e contém o ponto (1, 2). Nessas condições, o raio de C vale
a) 5
b) 2 5
c) 5
d) 3 5
e) 10
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5. (Epcar (Afa) 2012) No plano cartesiano, a circunferência λ de equação
x2  y2  6x  10y  k  0, com k  , determina no eixo das ordenadas uma corda de
comprimento  8.
Dessa forma, é correto afirmar que
a) λ é tangente ao eixo Ox
b) o raio de λ é igual a k
c) P  k , 1  λ
d) λ é secante à reta x  k
6. (Unicamp simulado 2011) No desenho abaixo, que não está em escala, a reta y = 3x é
perpendicular à reta que passa pelo ponto (2,0). O ponto de interseção dessas retas é A. A
equação da circunferência com centro em A e tangente ao eixo x é dada por
1

a)  x – 
5


2
3

b)  x – 
5

2
1

c)  x –

5


2
3

d)  x –

5

2
3

 y –

5

2
1

 y –

5


2
3

 y –

5


3
.
5

1
.
5

9
.
25

1
.
25
2
1

 y –

5


2
7. (Mackenzie 2011) Uma circunferência de centro (4,y), com y 
2 = 0 e x – 7y + 2 = 0. O raio dessa circunferência é
a) 4
b) 5
é tangente às retas x + y –
c) 4 2
d) 5 2
e) 6 2
8. (Ufsm 2011) Uma luminária foi instalada no ponto C(-5,10). Sabe-se que a circunferência
iluminada por ela é tangente à reta que passa pelos pontos P(30,5) e Q(-30,-15). O
comprimento da linha central do passeio correspondente ao eixo y, que é iluminado por essa
luminária, é
a) 10 m.
b) 20 m.
c) 30 m.
d) 40 m.
e) 50 m.
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9. (Ufpr 2010) A figura a seguir mostra uma circunferência tangente ao eixo y, com centro C
sobre o eixo x e diâmetro de 10 unidades.
a) Sabendo que A = (8,4) e que r: 3y + x = 20 é a reta que passa por A e B, calcule a área do
triângulo CAB.
b) Encontre as coordenadas do ponto D, indicado na figura acima, no qual a reta r intercepta a
circunferência.
10. (Fuvest 2009) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem centro no ponto A = (-5, 1)
e é tangente à reta t de equação 4x - 3y - 2 = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de
intersecção da reta t com o eixo Ox.
Assim:
a) Determine as coordenadas do ponto P.
b) Escreva uma equação para a circunferência C.
c) Calcule a área do triangulo APQ.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[D]
A circunferência C tem centro no ponto A(1, 2) e raio igual a 1. Logo, de acordo com as
informações, considere a figura abaixo.
Como PQ  PQ' e AQ  AQ'  1, vem
2
PA  (3  1)2  (6  2)2  20
e, portanto,
2
2
2
2
PQ  PA  AQ  PQ  20  1
 PQ  19 u.c.
Resposta
da
A equação da reta pedida é dada por
y  yP  
questão
2:
xP
4
 (x  xP )  y  3    (x  4)
yP
3
y
4
25
x
.
3
3
Resposta da questão 3:
[A]
Completando os quadrados, obtemos
x2  y2  4x  0  (x  2)2  y2  4.
Assim, o centro da circunferência é o ponto C(2, 0).
O coeficiente angular da reta t é dado por
x  xP
2 1
1
1
3
3
 C





.
yC  yP
3
0 3
 3
3 3
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Desse modo, a equação de t é y  3 
3
 (x  1) e, portanto, a abscissa do ponto de
3
interseção de t com o eixo x é tal que
0 3 
3
 (x  1)  3  x  1  x  2.
3
Resposta da questão 4:
[C]
R = raio e o ponto (5, R) é o centro.
Calculando a distância de (5, R) até (1,2) temos o raio.
(5  1)2  R  2   R
2
16  (R  2)2  R2
Desenvolvendo, temos
4R = 20
R = 5.
Resposta da questão 5:
[A]
Determinando o centro (a,b) da circunferência, temos que:
–2a = –6, então a = 3
–2b = 10, então b = –5; logo, o centro da circunferência é o ponto C(3, –5).
Esboçando a circunferência, temos:
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Calculando o raio, tem-se:
R2 = 32 + 42
R = 5, como o raio mede 5 unidades, a reta é tangente ao eixo x.
Resposta da questão 6:
[C]
A reta decrescente terá coeficiente angular m = 
1
, pois é perpendicular à reta crescente de
3
coeficiente angular 3
Logo, sua equação será:
1
y – 0 =  (x – 2)  x + 3y – 2 = 0
3
Determinaremos o ponto A resolvendo o sistema:
 y  3x
1
3
onde x = e y =
(raio)

5
5
 x 3 y  2  0
Portanto a equação da circunferência será:
2
2
2
2
1 
3

3
x –
 y –
   
5 
5

5
2
1 
3
9

x –
 y –
 
5 
5
25

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Resposta da questão 7:
[D]
r  x  y – 2  0
 s  x – 7y  2  0 e C  4,y 
dc,r =dc,s
4y2
12  12
y2
2


4  7y  2
12  ( 7)2
6  7y
50
5y  10  6  7y  5y  10  6  7y ou 5y + 10 = -6 +7y
y = -1/3 (não convém) ou y = 8
482
Fazendo y = 8, temos o raio R =
12  12

10
2
5 2 .
Resposta da questão 8:
[C]
x
Equação da reta 30
y
1
5
1  0  x  3y  15  0
30 15 1
Raio da circunferência: R 
5  3.10  15
12  ( 3)2
 5 10
Equação da circunferência:

(x  5)2  (y  10)2  5 10

2
Fazendo x = 0, temos:
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25 +(y-10)2  250
(y  10)2  225  y  25 ou y  5
Portanto, 25 – (- 5) = 30.
Resposta da questão 9:
a) No ponto B, onde a reta r intercepta o eixo dos x, temos y = 0,
3 . 0 + x = 20, ou seja, x = 20. Logo, B = (20, 0).
Calculando a área do triângulo temos: (observe a figura)
15 .4
 30 unidades quadradas.
A=
2
b) Para determinar o ponto D devemos obter a intersecção da reta r com a circunferência.
Resolvendo o sistema:
 x 2  10x  y 2  0

 3y  x  20
x = 8 e y = 4, que corresponde ao ponto A.
x = 5 e y = 5, que corresponde ao ponto D.
Resposta da questão 10:
a) P (-1,-2)
b) (x + 5)2 + (y - 1)2=25
c) 25/4 u.a.
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