MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA
CAMPUS JOINVILLE
DEPARTAMENTO DO DESENVOLVIMENTO DO ENSINO
COORDENAÇÃO ACADÊMICA
EletroEletronica
Transitórios em corrente
contínua
Prof. Luis S. B. Marques
Introdução
• Inicialmente estudaremos circuitos RL e RC livres
de fontes. Veremos que as respostas resultam
das energias armazenadas nos elementos
dinâmicos. Esta resposta é conhecida como
resposta natural.
• Prosseguindo, iremos considerar os circuitos RL
e RC nos quais as funções de alimentação são
fontes independentes constante que são
aplicadas repentinamente. A resposta consiste de
duas partes: uma resposta natural e uma
resposta forçada.
Circuito RC sem fontes
• Aplicando LKC ao nó superior:
dv v
C  0
dt R
v(0)  Vo
dv
1

v
dt
CR
dv
v

0
dt CR
dv
1

 dt
v
CR
•Integrando.......
Circuito RC sem fontes
dv
1
 v   CR  dt
t
ln v  
K
RC
• A constante K deve ser escolhida
de tal forma que a condição inicial
v(0)=Vo seja satisfeita. Portanto,
em t=0 tem-se que:
ln v(0)  lnVo  K
Circuito RC sem fontes
• Substituindo o valor para a
constante K:
t
ln v  
 ln Vo
RC
t
ln v  ln Vo  
RC
v
t
ln  
Vo
RC
v(t )  Vo  e

t
RC
Circuito RC sem fontes
Exercício: No circuito abaixo Vo=10V, R=1kΩ e C=1μF. Calcule v, i e Ec em
t=1ms.
Constantes de tempo
• Em redes que contêm elementos
armazenadores de energia é útil
caracterizar a velocidade com a qual a
resposta natural decresce.
• Percebe-se, em circuitos RC, que quanto
menor o produto RC mais rapidamente a
resposta natural decresce.
Constantes de tempo
Constante de tempo
• A resposta, ao final
de uma constante de
tempo, fica reduzida
a 0,368 do seu valor
inicial.
• O tempo para
que a resposta
natural decresça
de um fator 1/e é
definido como
constante de
tempo do
circuito,
denominada
Constante de tempo
• Ao final de duas
constantes de
tempo a
resposta é
multiplicada
pelo
2
fator: e
• Ao final de cinco constantes de tempo a
resposta é multiplicada pelo fator e 5 , ou seja,
pode-se considerar a resposta igual a zero.
Exercício: Um circuito RC série em que R=2kΩ e C=10μF. Determine a
constante de tempo.
  RC
Exercício: Calcule i para t>0, se o circuito está em regime permanente em
t=0-.
•
O instante de tempo t=0- corresponde ao instante de tempo imediatamente
anterior à abertura da chave.
v(t )  Vo  e

t
RC
Circuito RL sem fontes
• Aplicando LKT:
di
L  Ri  0
dt
di R
 i0
dt L
di
R
  i
dt
L
di
R
   dt
i
L
Circuito RL sem fontes
di
R
 i   L  dt
Rt
ln i    K
L
ln i(0)  ln I o  K
Circuito RL sem fontes
• Substituindo o valor para a
constante K:
Rt
ln i    ln I o
L
Rt
ln i  ln I o  
L
i
Rt
ln  
Io
L
i(t )  I o  e
R
 t
L
Circuito RL sem fontes
• Visto que a resposta natural
também é uma função
exponencial, como no circuito RC,
essa resposta também possui uma
constante de tempo. De forma
análoga, a constate de tempo para
o circuito RL é:
L

R
Exercício: Em um circuito RL série determine a tensão no indutor se
R=200Ω, L=40mH e Io =10mA.
i(t )  I o  e
R
 t
L
Exercício: Calcule i e v para t>0, se o circuito está em regime permanente
em t=0-.
Resposta a uma função de excitação
constante
•Até então temos estudado a resposta somente devida à energia
armazenada em capacitores e indutores. Iremos agora estudar
circuitos que, além da energia armazenada, são excitados por
fontes de tensão ou corrente constantes, ou ainda, funções de
excitação.
• Para estes circuitos as respostas serão compostas de duas
partes, sendo uma delas constante.
Rede RC excitada
•Considere que a tensão inicial
sobre o capacitor é:

v(0 )  Vo
•Escrevendo a equação nodal
v
dv
 Io   C
0
R
dt
v
dv I o


RC dt C
(v  RI o )
dv

dt
RC
dv
dt

(v  RIo )
RC
•Integrando.......
Rede RC excitada
dv
1
 (v  RI o )   RC  dt
u  v  RIo
1
ln u  
tK
RC
1
ln(v  RI o )  
tK
RC
ve
t

K
RC
 RIo
du  dv
du
1
 u   RC  dt
Ae
t

RC
v  Ae
K
 RIo
Rede RC excitada

v  Ae
t
RC
 RIo
•Iremos agora avaliar a constate A


v(0 )  v(0 )  Vo
• Substituindo em t=0+
v(0)  Ae  RIo
0
Vo  A  RIo
A  Vo  RIo
v  (Vo  RIo )  e
t

RC
 RIo
Rede RC excitada
A função Degrau unitário
•A função degrau unitário é uma função que é igual a zero para
todos os valores negativos de seu argumento, e um para todos os
valores positivos de seu argumento.
0, t  0
u (t )  
1, t  0
• A função degrau unitário pode ser usada para representar
tensões ou correntes com descontinuidades finitas. Por exemplo,
um degrau de V volts pode ser representado pelo produto Vu(t).
Circuito RC com degrau de tensão
•Inicialmente a energia armazenada no
capacitor é zero.
•Cuja solução é:

v  Ae
t
RC
v  u (t )
dv
C
0
R
dt
dv
v
u (t )


dt RC RC
•Para t<0 a equação torna-se:

v(0 )  0  A  0
v(t )  0, t  0
se
dv
v

0
dt RC
Circuito RC com degrau de tensão
•Para t>0 a equação torna-se:
v  u (t )
dv
C
0
R
dt
•Sabe-se que:
v  vnatural  v forçada
vn  Ae
vf 1
t
RC
dv
v
u (t )


dt RC RC
v
dv
1


RC dt RC
Circuito RC com degrau de tensão
•Portanto:

v  Ae
t
RC
1

v(0 )  0  A  1
•Escrevendo a solução
encontrada de forma
mais elegante:

v(t )  1  e


t
RC

  u (t )


v(t )  1  e
t

RC
,t  0