Limites e Continuidade em Campos
Escalares
Noção de Limite em R
Recordemos que:
S
Sendo f : D – R v R e a D , b R é o limite de fŸx quando x
tende para a se
7
- 0/ 0 : x D\£a ¤ 7 |x " a| / ´ |fŸx " b| -.
S
S
Intuitivamente, significa que as imagens dos pontos do domínio,
diferentes de a, estão tão próximas quanto quisermos de b, desde que
nos aproximemos suficientemente de a.
O facto de a ser ponto de acumulação de D permite aproximar-nos de
a, por pontos do domínio diferentes dele próprio.
Faz sentido falar de limite de f num ponto que não pertence ao
domínio, desde que seja ponto de acumulação deste.
Não faz sentido falar de limite duma função em pontos do domínio
que não sejam pontos de acumulação.
Limites de campos escalares
Definição: Sejam f : D – R n v R um campo escalar, a um ponto de
acumulação de D e b R.
Diz-se que b é o limite de fŸx quando x tende para a, e escreve-se
lim fŸx b,
xL a
se
-
0/ 0 : x D\£a ¤ 7 Px " aP / ´ |fŸx " b| -.
É imediato que esta condição é equivalente a
- 0/ 0 : x D\£a ¤ 7 Ÿx 1 " a 1 2 C Ÿx n " a n 2 / ´
´ |fŸx " b| -.
e também a
- 0/ 0 : x ŸD\£a ¤ 9 BŸa, / ´ fŸx BŸb, - .
Nota: As seguintes relações, em R, são muito úteis
|x.y||x|.|y|,
|x y| t |x| |y| e |x " y| t |x| |y|
KKK
|x| t
x2 y2
KKK
e |y| t
KKK
x2 y2
Analogamente, sendo x R n ,
|x i | t PxP
para qualquer 1 t i t n.
Proposição: O limite duma função num ponto quando existe é único.
Limites Relativos
Definição: Sejam f : D –R n vR , C um subconjunto de D e a um ponto
de acumulação de C.
Diz-se que b é o limite de f relativo a C quando x tende para a, e
escreve-se
lim fŸx b,
xL a
x C
se o limite da restrição de f a C quando x tende para a é b.
Recorde-se que, sendo f uma função definida em D e C – D, chama-se
restrição de f a C à função definida em C que a cada ponto de C faz
corresponder a mesma imagem que f.
Portanto, sendo C – D e a C , lim fŸx b se e só se
7
xL a
xC
- 0 / 0 : x C\£a ¤ 7 Px " aP / ´ |fŸx " b| -.
Aos limites relativos a rectas que passem pelo ponto em questão
chama-se limites direccionais.
Proposição: Nas condições da definição anterior,
lim fŸx b ´lim fŸx b.
xL a
xL a
xC
Ou seja, caso exista, o limite da função no ponto terá que ser igual a
qualquer limite relativo da função nesse ponto.
No entanto, pode existir limite de f relativo a um certo subconjunto do
domínio sem que exista o limite da função.
Este facto é particularmente útil para provar que não existe limite de
uma determinada função num ponto. E também para deduzir que valor o
limite, caso exista, terá.
Propriedades dos Limites
Proposição: Sejam f e g campos escalares de D –R n em R, a ponto de
acumulação de D e b, c R.
Se lim fŸx b e lim gŸx c tem-se que:
xLa
xLa
1. lim 5 5, para qualquer 5 R;
xLa
2. lim = j a j ;
xLa
3. lim ¡fŸx gŸx ¢ b c;
xLa
4. lim ¡5fŸx ¢ 5b, para qualquer 5 R;
xLa
5. lim ¡fŸx .gŸx ¢ b.c;
xLa
6. lim
xLa
fŸx gŸx b
c
, se c p 0 e gŸx p 0 numa vizinhança de a;
7. lim |fŸx | |b|.
xLa
Observação: Da definição de limite vem imediatamente que
se lim
fŸx 0.
|fŸx | 0 então lim
x a
x a
L
L
No entanto este resultado não é válido para valores diferentes de zero.
Proposição (Lei do enquadramento): Sejam f, g e h campos escalares
definidos em D – R n e a D tais que existe uma vizinhança V de a em
que, para qualquer x V 9 D,
7
gŸx t fŸx t hŸx .
Se
lim gŸx lim hŸx b,
xLa
xLa
então
lim fŸx b.
xL a
Noção de Continuidade
Definição: Seja f : D –R n vR e a D 9 D .
7
Diz-se que f é contínua em a se lim fŸx fŸa .
xLa
Esta condição é equivalente a
- 0/ 0 : x D 7 Px " aP / ´ |fŸx " fŸa | -.
Uma função diz-se contínua se for contínua em todos os pontos do seu
domínio.
Nota: Da definição de limite vem apenas que
- 0/ 0 : x D\£a ¤ 7 Px " aP / ´ |fŸx " fŸa | -.
No entanto para x a a condição é trivialmente verdadeira, visto que
fŸx " fŸa 0.
Das correspondentes propriedades dos limites, resulta que:
S
S
S
S
S
S
qualquer campo escalar constante é contínuo;
qualquer projecção = j é um campo escalar contínuo;
a soma de campos escalares contínuos é um campo escalar contínuo;
o produto de um escalar por um campo escalar contínuo é um campo
escalar contínuo;
o produto de campos escalares contínuos é um campo escalar
contínuo;
o quociente de campos escalares contínuos é um campo escalar
contínuo, nos pontos onde o denominador não se anula;
S
o módulo de um campo escalar contínuo é um campo escalar
contínuo.
O facto das projecções serem funções contínuas enquadra-se numa
situação mais geral:
S
qualquer campo escalar que seja uma aplicação linear é contínuo.
Proposição: Sejam f : D –R n vR, g : E –RvR, com fŸD – E, f
contínua em a e g contínua em fŸa .
Então g ( f : D –R n vR é uma função contínua em a.
Portanto,
S
a composta de duas funções contínuas, nos pontos em que esteja
definida, é uma função contínua.
Prolongamento por Continuidade
Definição: Sejam f : D –R n vR e a D \D.
7
Diz-se que f é prolongável por continuidade ao ponto a se existe o
lim fŸx .
xLa
À função g : D : £a ¤ –R n vR definida por
gŸx fŸx se x D
lim fŸx se x a
xLa
chama-se o prolongamento por continuidade de f ao ponto a.
Limite e Continuidade em Campos Vectoriais
Definição: Sejam f : D – R n v R m um campo vectorial, a D e
b Ÿb 1 , ..., b m R m .
7
Diz-se que b é o limite de fŸx quando x tende para a, e escreve-se
lim fŸx b, se
xLa
- 0/ 0 : x D\£a ¤ 7 Px " aP / ´ PfŸx " bP -.
Esta condição é equivalente a
- 0/ 0 : x D\£a ¤ 9 BŸa, / ´ fŸx BŸb, - e também equivalente a
- 0 / 0 : x D\£a ¤ 7 Ÿx 1 " a 1 2 C Ÿx n " a n 2 / ´
´
Ÿf 1 Ÿx " b 1 2 C Ÿf m Ÿx " b m 2 -.
Propriedades
Na prática, o estudo dos limites de campos vectoriais reduz-se ao estudo
dos limites das suas componentes escalares:
Proposição: Sejam f : D – R n v R m um campo vectorial, a D e
b Ÿb 1 , ..., b m R m .
7
Então,
lim fŸx b sse
xLa
lim f 1 Ÿx b 1 , T, lim f m Ÿx b m .
xL a
xL a
Proposição: Sejam f e g campos vectoriais de D – R n em R m , a D e
b, c R m .
7
Se lim fŸx b e lim gŸx c, tem-se que:
xLa
xLa
1. lim ¡fŸx gŸx ¢ b c;
xLa
2. lim ¡5fŸx ¢ 5b, para qualquer 5 R;
xLa
3. lim ¡fŸx |gŸx ¢ b|c;
xLa
4. lim PfŸx P PbP.
xLa
Continuidade
Definição: Sendo f : D –R n vR m um campo vectorial e a D 9 D ,
7
diz-se que f é contínuo em a se
lim fŸx fŸa .
xL a
Um campo vectorial diz-se contínuo se for contínuo em todos os
pontos do seu domínio.
Proposição: Um campo vectorial é contínuo num ponto se e só se as
suas componentes escalares também o são.
Das correspondentes propriedades dos limites de campos vectoriais,
resulta que:
S
S
S
S
a soma de campos vectoriais contínuos é um campo vectorial
contínuo;
o produto de um escalar por um campo vectorial contínuo é um
campo vectorial contínuo;
o produto interno de dois campos vectoriais contínuos é um campo
escalar contínuo;
a norma de um campo vectorial contínuo é um campo escalar
contínuo.
Tal como se verifica para os campos escalares, tem-se que
S
qualquer aplicação linear de R n em R m é uma função contínua.
Definição: Sejam f : D – R n v R m um campo vectorial e a D \D.
7
Diz-se que f é prolongável por continuidade ao ponto a se
existe lim fŸx .
xLa
À função g : D : £a ¤ – R n v R m definida por
gŸx f Ÿx , se x D
lim fŸx , se x a
xL a
chama-se prolongamento por continuidade de f ao ponto a.