ISSN 2317-3297
Medidas de Complexidade em Economia - Aspetos
computacionais do grau de dependência de uma matriz
João Ferreira do Amaral
Departamento de Economia, ISEG - Universidade Técnica de Lisboa
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Teresa Pedroso de Lima
Faculdade de Economia e CEIS UC - Universidade de Coimbra
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Departamento de Matemática - UFRN
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Palavras-chave: sistemas económicos, matrizes não-negativas, grau de dependência
Resumo: O grau de dependência de uma matriz tem particular importância no contexto da
análise input-output. Criada como um dos elementos de quantificação da complexidade económica
enquanto interdependência, esta medida está intimamente relacionada com uma norma matricial.
1
Introdução
Pretendemos analisar uma medida especialmente concebida como um dos elementos de quantificação da complexidade económica enquanto interdependência ([1] e [2]) .
Esta medida considera um efeito de ”dependência”, ou seja, pretende medir/avaliar quanto
do comportamento de cada parte do sistema económico é determinado por conexões internas
entre os elementos dessa parte - o que significa mais autonomia e menos dependência - e quanto
desse comportamento é determinado por relações externas, ou seja, relações com outras partes
do sistema - o que significa menos autonomia e mais dependência.
Uma vez que no contexto da análise input-output tem sentido considerar que um sistema
económico pode ser representado por uma matriz quadrada não negativa em [1] é-nos proposto
medir o efeito de dependência acima referido com a ajuda de uma medida matricial designada
por grau de dependência.
Todavia, esta medida constrói-se à custa do grau de dependência de todos os blocos principais
da matriz inicial, pelo que à medida que a ordem aumenta o seu cálculo torna-se mais difı́cil e,
a partir de determinada ordem, é uma tarefa praticamente impossı́vel.
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Grau de dependência
Seja A = [aij ]N ×N uma matriz quadrada de ordem N , não negativa e, sendo M = [mij ]N ×N ,
∑
∑N
definimos ∥M ∥ = N
j=1
i=1 mij . No conjunto das matrizes não-negativas a medida ∥M ∥ é uma
norma matricial que passaremos a designar por norma-s.
Dizemos então que o quociente
Ga (Aαp ) =
∥Aαp ∥
,
αα
αα
∥Aαp ∥ + ∥Ap×(N −p) ∥ + ∥A(N −p)×p ∥
onde α = {i1 , i2 , . . . , ip } ⊂ {1, 2, . . . , N } e α = {1, 2, . . . , N }\α é o grau de autonomia do
αα
bloco principal de ordem p, Aαp , da matriz A. Note-se que Ap×(N −p) é um bloco de A formado
pelos elementos que pertencem simultaneamente às linhas-α e às colunas-α. Por outro lado,
dizemos que
αα
αα
∥Ap×(N −p) ∥ + ∥A(N −p)×p ∥
α
α
Gd (Ap ) = 1 − Ga (Ap ) =
αα
αα
∥Aαp ∥ + ∥Ap×(N −p) ∥ + ∥A(N −p)×p ∥
é o grau de dependência do bloco Aαp .
Finalmente, e uma vez que uma matriz quadrada de ordem N tem 2N − 2 blocos principais,
definimos o grau de dependência (não corrigido) da matriz A do seguinte modo
2∑
−2
1
Gd (A) = N
Gd (Aαpkk ),
2 − 2 k=1
N
onde αk é um subconjunto não vazio de {1, 2, . . . , N }.
É importante referir que, por definição, podemos garantir que 0 ≤ Gd (A) ≤ 1 e Gd (A) =
Gd (AT ); e, ainda, que no estudo que fazemos, assumimos que A não tem blocos irrelevantes. O
αα
αα
bloco principal Aαp diz-se irrelevante sempre que ∥Aαp ∥ = ∥Ap×(N −p) ∥ = ∥A(N −p)×p ∥ = 0 ([1]).
Em [1] são referidas algumas propriedades do grau de dependência de uma matriz A =
[aij ]N ×N não negativa, nomeadamente, os autores provam que:
(i)
O grau de dependência de uma matriz não se altera quando multiplicamos todos os
seus elementos por um escalar positivo, isto é, Gd (kA) = Gd (A), para k > 0;
(ii)
O grau de dependência de uma matriz é superior ou igual ao grau de dependência
da matriz que obtemos da inicial substituindo os seus elementos principais por zeros,
isto é, Gd (Â) ≥ Gd (A), sendo  = A − diag(A);
(iii)
Se os elementos não principais de uma matriz são todos nulos então o seu grau de
dependência é igual a zero, isto é, Gd [diag(A)] = 0;
(iv)
Se N ≥ 2 então
2N − 2N −2 − 1
.
2N −2
Observamos que em (iv), existe, contudo, uma matriz (que não é única) cujo grau de dependência atinge precisamente esse valor: a matriz cujos elementos da primeira linha, exceto o
elemento principal, e apenas esses, são não nulos e iguais a 1.
Além disso, se A é uma matriz não negativa e s, t > 0 então Gd (sA + tAT ) = Gd (A), o que
nos permite assumir, sem perda de generalidade, que no cálculo do seu grau de dependência a
matriz é simétrica.
Assim, podemos escrever
Gd (A) ≤
αk αk
Gd (Aαpkk ) =
2∥Apk ×(N −pk ) ∥
αk αk
∥Aαpkk ∥ + 2∥Apk ×(N −pk ) ∥
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e afirmar que, no que diz respeito à variação do seu grau de dependência, alterar o elemento
aij da matriz A é precisamente o mesmo que alterar o elemento aji .
Do ponto de vista económico - e se aplicado a um modelo input-output - tal faz sentido
na medida em que um sector i tanto está dependente dos sectores a que vende a sua produção
(ligação que é representada pelos coeficientes técnicos aij para todo os sectores j) como dos
sectores a que compra inputs (ligação que é representada pelos coeficientes aji para todos os
sectores j).
Todavia, nenhuma das propriedades, anteriormente apresentadas, se revela muito útil quando
nos propomos calcular, por exemplo, o grau de dependência de uma matriz de ordem N ≥ 20.
Deste modo, a complexidade computacional envolvida no cálculo do grau de dependência de
uma matriz de ordem elevada, motiva a procura de majorantes para Gd (A).
Nesse sentido, verificamos que é possı́vel relacionar a soma das normas-s dos blocos principais
de uma matriz com a sua norma-s e o seu traço, com se mostra na
Proposição
Se A = [aij ]N ×N é uma matriz não negativa então:
(i)
N −2
2∑
∥Aαpkk ∥ = (2N −2 − 1)∥A∥ + 2N −2 trA
k=1
(ii)
N
(∑
l)
(
∥Aαl k ∥
=
k=1
)
(
)
N −2
N −2
∥A∥ +
trA,
l−1
l−2
Este resultado permite a obtenção de majorantes e minorantes para o grau de dependência
Gd (A) quando N > 2:
Gd (A) ≤
(i)
(ii)
onde
3
∥Amax
N −l ∥
=
Gd (A) ≥
1
2N −1 − 1
1
2N −1 − 1
maxk ∥AαNk−l ∥
e
(∥A∥ − trA)
(
l=1
(∥A∥ − trA)
∥Amin
N −l ∥
N
−1
∑
=
N
−1
∑
(
)
N −2
1
l − 1 ∥A∥ − ∥Amax
N −l ∥
)
N −2
1
,
l − 1 ∥A∥ − ∥Amin
N −l ∥
l=1
mink ∥AαNk−l ∥.
Considerações computacionais
min
Repare-se que, do ponto de vista computacional, determinar ∥Amax
N −l ∥ e ∥AN −l ∥ pode revelarse uma tarefa muito pesada, pelo que o resultado anterior também é dificilmente aplicável a
matrizes de grande dimensão.
Efetuamos vários cálculos com o Matlab , onde foi possı́vel verificar que a complexidade cresce
conforme ordem da matriz A, entre os cálculos necessários para se obter o grau de dependência
está a determinação de todos os subconjuntos de um conjunto de N elementos (o conjunto das
partes) ou seja é necessário calcular e manter na memória 2N subconjuntos.
Na prática, dependendo do tipo de entradas da matriz, conseguimos calcular até a ordem
20 e mesmo que pudéssemos dispor de computadores com maiores capacidade provavelmente o
limite não ficaria muito acima disso.
Este fato motiva a busca tanto de uma equivalência matemática das fórmulas atuais que
envolva uma complexidade menor, como também de alternativas técnicas em termos computacionais para os cálculos.
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Referências
[1] J. F. Amaral, J. Dias and J. Lopes. Complexity as interdependence in input-output systems,
Environment and Planning A, 39(2007) 1170-82.
[2] J. F. Amaral, J. Dias and J. Lopes. Assessing economic complexity as interindustry connectedness in nine OCDE countries, International Review of Applied Economics, (2012)
1-17.
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