1a LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - MATEMÁTICA Professor: José Carlos de Souza Júnior 1. Escreva em forma de tabela a matriz A = (aij )2×3 tal que i, se i > j aij = 2i + j, se i ≤ j 2. Calcule x, y e z de modo que se tenha: x2 x − y 4 1 = x x+z 2 8 2 0 −1 1 3. Sendo A = ,B = e I2 a matriz identidade de ordem 2, calcule: 1 3 4 1 (a) A + B (b) 2A − B (c) I2 − A + B 4. Dadas as matrizes A = 1 0 2 1 eB= 1 4 , obtenha a matriz X tal que A · X = B. 5. Considere as matrizes: A = (aij ) de tipo 4 × 7, definida por aij = i − j; B = (bij ), de tipo 7 × 9, definida por bij = i e C = A · B. Encontre o elemento c35 . 1 2 1 2 1 6. Sendo A = e B = 2 1 , obter A · B. 3 1 2 3 1 1 −1 2 1 1 1 7. Sendo A = ,B= eC= , obter a matriz A · B + C. 2 0 0 1 1 1 0 −3 8. Sendo 0 2 · = a · 1 4 , obtenha o número a. 1 4 9. Calcule os determinantes: (a) | − 7| 2 0 (b) 1 3 5 7 (c) 1 9 2 1 (d) −1 −3 1 −3 5 10. Dada a matriz A = 2 0 4 calcule os cofatores A11 e A22 . 0 1 2 11. Calcule os determinantes: 1 0 2 (a) −1 3 4 2 2 1 0 0 3 (b) 1 4 −2 3 6 8 x 0 4 12. Resolva a equação: 3 2 1 1 0 −2 =0 13. Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 e I2 = 1 0 0 1 0 1 −1 2 3 2 1 0 . Chamam-se auto-valores da 1 4 matriz A às raı́zes da equação det(A−x·I2 ) = 0. Obter os auto-valores de A = . 2 3 14. Calcule os determinantes: (a) x y z 15. Sendo r s t a b c (a) (b) (c) (d) 1 0 2 0 3 2 1 1 0 0 2 4 1 1 0 3 (b) 4 2 3 1 5 8 1 0 = 4, calcule: x r a y s b z t c r x a s y b t z c 2x 2y 2z r s t a b c 2x 2y 2z 3r 3s 3t −a −b −c 16. Mostre, sem desenvolver, que os determinantes abaixo são iguais a zero. k 2 1 (a) k 0 1 k 3 1 r k r+1 (b) s k r + 1 t k r+1 17. Sabendo que A é uma matriz quadrada de ordem 3 e que det(A) = 8, calcule: (a) 3 · det(A) (b) det(3 · A) 18. Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e sendo det(A) = 4 e det(B) = 10, calcule: (a) det(A · B) (b) det(B · A) (c) det(A2 ) (d) det(B 2 ) 19. O valor de um determinante é 42. Se dividirmos a primeira linha por 7 e multiplicarmos a primeira coluna por 3, qual será o valor do novo determinante? 20. Usando o teorema de Jacobi, calcule: (a) 1 2 0 3 4 0 3 2 0 2 3 3 3 2 0 2 (b) 3 0 2 3 2 2 3 4 −2 5 2 2 2 2 −3 4 (c) 1 1 0 0 0 2 3 2 0 1 0 0 1 1 0 2 2 3 0 1 1 1 0 1 0 (d) 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 3 4