Este guia é uma adaptação1 de atividades utilizadas por professores, alunos, ex-alunos
e ex-professores da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) em oficinas,
laboratórios de ensino, estágios de docência ou em aulas regulares no Colégio de
Aplicação da UFRGS.
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Adaptado pelo GRUPO MDMAT-UFRGS (http://mdmat.mat.ufrgs.br).
MÍDIAS DIGITAIS PARA MATEMÁTICA
Título: Desafio geométrico.
Autor: Bruno Marques Collares.
Orientador: Elisabete Zardo Búrigo.
Objetivos: Contribuir para o aprendizado de geometria plana através de
desafios geométricos.
Descrição: O objeto apresenta um desafio geométrico, incluindo sua resolução
e sugere a sua construção em softwares de geometria dinâmica (Geogebra,
por exemplo).
Observações: Sugere-se que as construções sejam feitas no software de
geometria dinâmica Geogebra, disponível em:
http://www.geogebra.org/cms/pt_BR .
- Caso as imagens apareçam retorcidas, aumente o zoom do arquivo para
125%.
MÍDIAS DIGITAIS PARA MATEMÁTICA
Símbolos utilizados:
∆ ABC: triângulo com vértices definidos pelos pontos A, B e C.
AB : segmento com extremidades nos pontos A e B.
r // AB : reta r PARALELA ao segmento AB .
s ⊥ r: reta s PERPENDICULAR à reta r.
r I AB = {P4}: reta r INTERSECÇÃO com segmento AB é igual ao ponto P4.
MÍDIAS DIGITAIS PARA MATEMÁTICA
Desafio: Determine o lugar geométrico dos centros dos retângulos inscritos num triângulo ABC qualquer.
1ª parte – Construção
Seja ∆ ABC um triângulo qualquer
- Traça-se uma reta r paralela ao lado AB do triângulo, passando por P1. Daqui temos que r // AB .
- Traça-se uma reta s perpendicular a r, passando por P1. Daqui temos que s ⊥ r
MÍDIAS DIGITAIS PARA MATEMÁTICA
- Traça-se uma reta t perpendicular a r, passando por P2:
Obs.:
r I AB = {P4}
t I AB = {P3}
r I BC = {P2}
MÍDIAS DIGITAIS PARA MATEMÁTICA
- Como AB // r e r ⊥ s, então s ⊥ AB
- Analogamente AB // r e r ⊥ t, então t ⊥ AB
Construímos assim um retângulo P1P 2 P3P 4 inscrito num ∆ ABC com base sobre AB
Obs.: Movimentando P1 sobre AC obtivemos todos os retângulos inscritos num ∆ ABC com base sobre AB
Para acharmos o centro desses retângulos, traça-se a mediatriz de seus lados; o encontro delas é o centro.
MÍDIAS DIGITAIS PARA MATEMÁTICA
2ª parte – Achar lugar geométrico
Ao fim da construção teremos o lugar geométrico como sendo um segmento de extremidades no ponto médio da base AB e no ponto médio da
altura.
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Obs.: Em nem todos os triângulos podemos construir um retângulo inscrito e obter o mesmo resultado. Vejamos os casos.
1º Caso: Triângulo Acutângulo
MÍDIAS DIGITAIS PARA MATEMÁTICA
O lugar geométrico dos centros dos retângulos inscritos num triangulo acutângulo é um segmento com uma extremidade no ponto médio da base e a
outra no ponto médio da altura.
(no caso particular do
∆ eqüilátero o lugar geométrico é a metade da altura)
2º Caso: Triângulo Obtusângulo
Note que não podemos construir um retângulo inscrito num triângulo obtusângulo com base sobre AB ou AC ; somente podemos construir um
retângulo inscrito num triângulo obtusângulo mudando a base (“girando o triângulo”) como mostra a figura abaixo:
MÍDIAS DIGITAIS PARA MATEMÁTICA
Ao fim teremos o mesmo resultado do triângulo acutângulo.
(segmento com uma extremidade no centro da base AB e a outra na metade da altura)
3º Caso: Triângulo Retângulo.
Podemos notar que, ao escolhermos uma base do triângulo retângulo, selecionamos dentre as possibilidades duas nas quais dois lados do retângulo
irão sobrepor estes lados, como na figura abaixo (base sobre AB ou sobre AC ).
MÍDIAS DIGITAIS PARA MATEMÁTICA
Ao fim teremos
(caso particular do triângulo retângulo: segmento com uma extremidade no centro da base
AB e outra na metade do lado AC )
Obs.: Se “girarmos” o triângulo, isto é, utilizarmos outra base (hipotenusa) para ser sobreposta pela base do retângulo, obteremos o mesmo
resultado que obtivemos no triângulo acutângulo.
MÍDIAS DIGITAIS PARA MATEMÁTICA
(segmento com uma extremidade no centro da base
AB e outra na metade da altura)
∴Conclusão: Nos casos em que podemos construir um retângulo inscrito num triângulo, o lugar geométrico é um segmento de extremidades no
ponto médio da base e no ponto médio da altura do triângulo em questão. Se ele for eqüilátero, o segmento (lugar geométrico) será igual à metade
da altura.