2014 - APOSTILA DISCURSIVA
MATEMÁTICA
Prof. Gustavo
1. (UFMG) Sobre uma pista circular de ciclismo existem 6 pontos de observação igualmente
espaçados, indicados com as letras A, B, C, D, E e F. Dada a largada de uma corrida, dois
ciclistas partem do ponto A e percorrem a pista no sentido da seta, como indicado na figura
abaixo. Um deles completa uma volta a cada 5 minutos, e o outro, mais lento, completa uma
volta a cada 8 minutos. As velocidades dos ciclistas são constantes.
Considerando essas informações,
a) DETERMINEem qual dos pontos de observação os dois ciclistas irão se encontrar pela primeira vez depois
da largada.
b) Um cronômetro zerado é ligado no momento da largada e é desligado assim que os dois ciclistas se encontram
pela segunda vez. DETERMINE os minutos e segundos mostrados pelo cronômetro neste instante.
c) DETERMINEem qual dos pontos de observação os dois ciclistas irão se encontrar pela oitava vez depois
da largada.
2. (UFMG) Elenice possui um carro flex, isto é, que funciona com uma mistura de gasolina e etanol no tanque em
qualquer proporção. O tanque desse veículo comporta 50 l e o rendimento médio dele pode ser auferido no
gráfico abaixo, formado por segmentos de reta.
Nesse gráfico estão indicados:
- no eixo horizontal, a proporção de gasolina presente no tanque; e,
- no eixo vertical, o rendimento do carro, em km/l.
Elenice vai fazer uma viagem, de ida e volta, nesse carro, da cidade A para a cidade B, que distam, uma da outra,
600 km.
a) Elenice sai de A com o tanque cheio apenas de gasolina. Determine quanto de gasolina ainda vai restar no
tanque, quando ela chegar a B.
b) Ao chegar na cidade B, Elenice completa o tanque do carro com etanol. Na volta para A, a 300 km de B, ela
resolve parar e completar o tanque, novamente com etanol. Determine quanto de etanol ela precisou colocar
no tanque nessa parada.
c) Determine quanto ainda restava de combustível no tanque, quando Elenice chegou a A, na volta.
3. (UNICAMP) Uma empresa imprime cerca de 12.000 páginas de relatórios por mês, usando uma impressora
jato de tinta colorida. Excluindo a amortização do valor da impressora, o custo de impressão depende do preço
do papel e dos cartuchos de tinta. A resma de papel (500 folhas) custa R$ 10,00. Já o preço e o rendimento
aproximado dos cartuchos de tinta da impressora são dados na tabela abaixo.
Cartucho
(cor/modelo)
Preto BR
Colorido BR
Preto AR
Colorido AR
Preço
(R$)
R$ 90,00
R$ 120,00
R$150,00
R$ 270,00
Rendimento
(páginas)
810
600
2400
1200
a) Qual cartucho preto e qual cartucho colorido a empresa deveria usar para o custo por página ser o
menor possível?
b) Por razões logísticas, a empresa usa apenas cartuchos de alto rendimento (os modelos do tipo AR) e imprime
apenas em um lado do papel (ou seja, não há impressão no verso das folhas). Se 20% das páginas dos
relatórios são coloridas, quanto a empresa gasta mensalmente com impressão, excluindo a amortização da
impressora? Suponha, para simplificar, que as páginas coloridas consomem apenas o cartucho colorido.
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4. (UFG) A seguir é descrito uma brincadeira popular para se descobrir a idade de alguém.
É pedido a uma pessoa, com idade inferior a 100 anos, que multiplique por dois o número do mês de seu
aniversário, adicione 5 ao resultado e, em seguida, multiplique por 50 o valor obtido. Depois, ela deve adicionar
a própria idade ao número obtido e informar o resultado. Subtraindo-se 250 desse resultado, obtém-se um
número X, com o qual descobre-se facilmente o mês de nascimento e a idade da pessoa.
Nessas condições, se o número do mês de nascimento é N, e a idade é I,
a) obtenha uma expressão matemática de X em função de N e de I;
b) descubra o valor de N e de I, se o número obtido pela pessoa for X = 819.
5. (UERJ) Um professor propõe a um aluno uma tarefa de matemática composta das etapas descritas a seguir.
1ª) Escrever o número de quatro algarismos da data de seu aniversário, dois referentes ao dia e dois
referentes ao mês.
2ª) Misturar os quatro algarismos desse número formando um número N, de modo que a ordem das unidades de
milhar não seja ocupada por zero.
3ª) Subtrair 1001 do número N, tantas vezes quantas forem necessárias, até obter o primeiro valor menor
do que 1001.
4ª) Informar ao professor o valor obtido na 3ª etapa.
5ª) Calcular o resto R da divisão do número N, obtido na 2ª etapa, por 11.
O professor consegue determinar o valor de R sem conhecer o valor de N.
Sabendo que o valor obtido na 3ª etapa foi 204, determine R.
6. (UFMG) Iraci possui vários litros de uma solução de álcool hidratado a 91%, isto é, formada por 91 partes de
álcool puro e 9 partes de água pura. Com base nessas informações, e desconsiderando a contração de volume
da mistura de álcool e água,
a) Determine quanto de água é preciso adicionar a um litro da solução, para que a mistura resultante constitua
uma solução de álcool hidratado a 70%.
b) Determine quanto da solução de Iraci e quanto de água pura devem ser misturadas, para se obter um litro de
solução de álcool hidratado a 70
7. (UFES) Vicente, que tem o hábito de fazer o controle do consumo de combustível de seu carro, observou que,
com 33 L de gasolina, ele pode rodar 95 km na cidade mais 276 km na estrada e que, com 42 L de gasolina,
ele pode rodar 190km na cidade mais 264 km na estrada.
a) Calcule quantos quilômetros Vicente pode rodar na cidade com 1L de gasolina.
b) Sabendo que Vicente viajou 143,5km com 13L de gasolina, determine o comprimento do seu trajeto na estrada
e o comprimento do seu trajeto na cidade.
GABARITO
1.
a) A pista foi dividida em 6 trechos pelos pontos A, B, C, D, E e F.
O ciclista 1 leva 8 minutos = 480 segundos para dar uma volta, portanto 80 segundos para cada um dos
trechos.
O ciclista 2 leva 5minutos = 300 segundos para dar uma volta, portanto 50 segundos para cada um dos
trechos.
MMC(80,50) = 400 s
Nos primeiros 400 segundos o ciclista 1 ocupa a posição F e o ciclista 2 ocupa a posição C.
Depois de 800 segundos o ciclista 1 e o ciclista 2 ocupam a posição E.
b) Os ciclistas passam a se encontrar a cada 800 segundos em algum dos pontos considerados.
Logo, eles se encontrarão pela segunda vez em 1600 segundos, ou seja, 26 minutos e 40 segundos.
c) 8.800 = 6400s, tomando como referência o ciclista 2, temos: 6400 : 50 = 128 e 128 = 21 6 + 2.
Logo, irão se encontrar no ponto C.
2.
a) Gastará em gasolina para percorrer 600 km o total de
600
15
40 litros.
Portanto, restarão: 50 – 40 = 10 litros no tanque.
b) Completa o tanque do carro com etanol, portanto, coloca 40 litros de etanol, o que equivale a 20% de
gasolina. Portanto, o automóvel fará 12 km/l.
2
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Logo, gastou para percorrer 300km :
300
12
25 litros, sendo então necessário 25 litros para
completar o tanque.
10% de gasolina
5 litros
90% de alcool
45 litros
Nestas circunstâncias o automóvel fará de acordo com o gráfico acima 11 km/l. Logo,
300
27,27 litros foram gastos, restando no tanque: 50 – 27,27 = 22,73 litros de combustível.
11
c) Faltam ainda 300 km para percorrer com um tanque cheio composto de
3.
a) O preço unitário de impressão do cartucho Preto BR é
90
810
1
150
, enquanto que o do Preto AR é
9
2400
1
.
16
1
, segue que o cartucho Preto AR é a melhor opção. Analogamente, temos que o custo
9
120 1
unitário de impressão do cartucho Colorido BR é
, enquanto que o do cartucho Colorido AR é
600 5
270
9
1 8
9
. Daí, como
, segue que o cartucho Colorido BR é o que apresenta menor custo.
1200 40
5 40 40
Logo, como
1
16
b) O número de páginas coloridas é 0,2 12000 2400. Logo, o número de páginas impressas em preto e
branco
é
Daí,
o
gasto
mensal
com
cartuchos
é:
12000 2400 9600.
9
1
2400
9600
540 600 R$ 1.140,00.
40
16
12000
Na impressão de 12.000 páginas serão consumidas
24 resmas de papel a um custo de
500
24 10 R$ 240,00.
Portanto, a empresa gasta mensalmente com impressão: 240 1140 R$ 1.380,00.
4.
a) X = 100N + I
b) N = 8 e I = 19
5. De acordo com as informações, temos que
N 1001 k 204
91 11 k 18 11 6
11 (91 k 18) 6,
com k .
Portanto, R 6.
6.
a) 1 Litro de água com 0,91L de álcool e 0,009L de água.
0,91
0,7
1 x
b) x = quantidade de água pura e y = quantidade da solução de Maria.
3
x y 1
x
L
13
91y
70
10
(x y)
y
L
100 100
13
Acrescentando x litros de água, temos a seguinte equação:
0,91
0,7
x 1
7.
a)
95x 276y 33
190x 264y 42
Resolvendo o sistema temos x = 2/19 L/km e y = 1/12 L/km.
Portanto ele poderá rodar com 1L de gasolina 19/2 km na estrada e 12 km na cidade.
3
x
0,3L.
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1
2
.E
.C 13
b) 12
(onde E é o trajeto na estrada e C o trajeto na cidade)
19
E C 143,5
Resolvendo o sistema temos E = 96 km e C = 47,5 km
4