Centro Brasileiro de Pesquísas Físicas – CBPF/MCT
Mestrado de Instrumentação – Processamento de Sinais
Amostragem Aleatória
Neste exercício consideramos todos os sinais aleatórios como tendo valores complexos. Isto nos
simplifica consideravelmente os cálculos realizados.
Lembramos que se x(n) é um sinal aleatório no tempo discreto, com valores complexos
estacionários, sua função de correlação é dada por:
γ x (k ) = E[ x(n) x*(n-k)]
onde
x*(n-k)
x(n-k)
é o complexo conjugado de
e o teorema de Wiener-Kintchine nos diz
que a densidade espectral de potência (p.d.s.) em freqüências normalizadas esta associada a
função de correlação por:
Γx ( f ) = TF[γ x (k )]
TF é a Transformada de Fourier para freqüências normalizadas.
1)
Autocorrelação e Densidade Espectral de Potência de uma Freqüência Pura
Seja o sinal aleatório no tempo contínuo
x(t ) = A e 2πjf 0t
A é uma variável aleatória real de valor médio quadratico E[A2].
Amostramos x(t) com período TE.
1.1)
f 0 para que a amostragem respeite a condição de
Que condição devemos observar em
Shannon?
Atenção: de agora em diante esta condição é assumida como sendo respeitada.
y1 (n) = x(nTE )
Seja
o sinal amostrado.
Calcular:
1.2)
A função de autocorrelação
1.3)
2)
γ y (k )
1
de
A p.d.s. em freqüências normalizadas
y1 (n) .
Γy ( f ) de y1 (n) em função de f 0 e de E[A2].
O Efeito de “Jitter”
Chamamos de “jitter” os erros aleatórios que se introduzem no valor do período de
amostragem. Neste modelo de “jitter” o período de amostragem no instante n é dado por:
Tn = nTE + Δ n
•
•
TE é o valor do período de amostragem de forma determinística.
Δ n é uma variável aleatória descrevendo os erros.
Chamamos de
p Δ n (δ n ) a densidade de probabilidade da amplitude de δ n ,e estamos
estudando o caso onde
Δ n é distribuído uniformemente entre [−Δ 0 , Δ 0 ]
p Δ n (δ n ) =
1
2Δ 0
∏ (δ
n
)
com
Δ0 <
2Δ0
T T
⎧
⎪= 1 u ∈ [ − , ]
(u )⎨
2 2
∏
T
⎪⎩= 0 nos outros casos
TE
2
da seguinte forma:
As variáveis aleatórias
Δ n1
e
Δ n 2 descrevem os erros nos instantes Tn1 e Tn2 respectivamente e
são estatísticamente independente, i.e. qualquer que sejam as funções f(.) e g(.):
E[ f (Δ n1 ) ⋅ g (Δ n 2 )] = E[ f (Δ n1 )] ⋅ E[ g (Δ n 2 )]
Enfim, as variáveis aleatórias A e
O sinal amostrado é:
3)
Δ n são estatísticamente independentes.
y 2 (n) = x(Tn ) = x(nTE + Δ n )
2.1
Calcule
γ y 2 (0)
2.2
Calcule
γ y 2 (k ) para k ≠ 0.
2.3
Mostre que:
2.4
para n1 ≠ n2.
a autocorrelação de y2(n) para k=0.
•
γ y 2 (k ) = αγ y1 (k ) + βδ k ,0
•
δ k ,0 =1 se k=0; e 0 nos outros casos.
Deduzir a p.d.s. de y2(n) :
Γy 2 ( f )
Modelização do Erro de Amostragem de Uma Outra Forma
O instante de amostragem é dado por:
Tn = nTE +
∑
n
l =1
u
l
u l é uma variável aleatória distribuída uniformemente entre [−U 0 ,U 0 ] :
pU l (u l ) =
O sinal amostrado é:
1
2U 0
∏ (u )
l
com
U0 <
2U 0
TE
2
y3 (n) = x(Tn ) = x(nTE + ∑l =1 ul )
n
Calcule:
3.1
3.2
γ y 3 (k )
a autocorrelação de y3(n).
A p.d.s. em freqüências normalizadas de y3(n):
Γy 3 ( f ) em função de E[A2], f0 e U0.