UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS
Departamento de Matemática
a
3 Lista de Exercı́cios de Int. a Alg. Linear
Prof. Eder


1
1. Seja A uma matriz 3 × 3. Suponha que X =  −2  é solução do sistema homogêneo
3
AX = 0. A matriz A é singular ou não? Justifique.
2. Se possı́vel, encontre as inversas matrizes utilizando operações elementares:






1 2 3
1 1
1 1
1 2 3
 1 2 −1 2 
(e)  1 1 2 
(a)  1 1 2 

(c) 
 1 −1 2 1 
0 1 2
0 1 1

1 3
3 2
1 1 1




 1 3 1
1 2 2
1 2 3
(f) 
 1 2 −1
(d)  0 2 3 
(b)  1 3 1 
1 3 2
1 2 4
5 9 1
Resp.:


0
1 −1
(a)  2 −2 −1 
−1 1
1

1
2 

1 
6


7/3 −1/3 −1/3 −2/3
 4/9 −1/9 −4/9 1/9 

(c) 
 −1/9 −2/9 1/9
2/9 
−5/3 2/3
2/3
1/3


1
−1
0

3/2 1/2 −3/2 
(d)
−1
0
1


3
2 −4
1 
(b)  −1 0
0 −1 1
(e) não tem inversa
(f) não tem inversa.


1 1 0
3. Encontre todos os valores de a para os quais a matriz A =  1 0 0  é inversı́vel.
1 2 a
Resp.: a ̸= 0.
(
4. Se
−1
A
=
3 2
1 3
)
e
B
−1
(
=
2 5
3 −2
encontre (AB)−1 .
[
]
11 19
Resp.:
7 0
(
5. Resolva o sistema AX = B, se
(
Resp.: X =
19
23
A−1
)
=
2 3
4 1
)
(
eB=
6. Se det(A) = −3, encontre:
(a) det(A2 ) (b) det(A3 ) (c) det(A−1 ) (d) det(At )
Resp.: (a) 9 (b) -27 (c) -1/3 (d) -3.
1
5
3
)
.
)
,
7. Se A e B são matrizes n × n tais que det(A) = −2 e det(B) = 3, calcule det(At B −1 ).
8. Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes. Primeiro calcule usando
cofatores e depois utilizando operações elementares (neste caso você transforma a matriz
numa triangular
superior):




1 −2 3
1
2 1 3 1
 5 −9 6
 1 0 1 1 
3 



(a) A = 
 −1 2 −6 −2  (b)A =  0 2 1 0 
2
8
6
1
0 1 2 3
Resp.: (a) det A = 39 (b) det A = 6.
9. Determine
 todos
0 1

0 0
(a) A =
0 0
os valores
de 
λ para

2
1


3
−1
(b)A =
0
3
10. Encontre os valores
trivial, em que

2 0
(a) A =  3 −1
0 4
os quais
det(A − λIn ) = 0, em que
0 0
3 0 
2 −2
de λ, para os quais o sistema linear (A − λIn )X = 0 tem solução não

0
0 
3


2 3 0
(b) A =  0 1 0 
0 0 2


1 2 3 4
 0 −1 3 2 

(c) A = 
 0 0 3 3 
0 0 0 2
Resp.:
(a) λ = 2, −1 ou 3.
Definição: Seja A = (aij ) uma matriz quadrada de ordem n e seja Aij o cofator de aij .
A adjunta de A é a matriz:

A11 A21
 A12 A22
Adj(A) = 
 ...
...
A1n A2n

... An1
... An2 
,
... ... 
... Ann
isto é Adj(A) é transposta da matriz formada pelos cofatores de A.


1 0 −1
11. Tome A =  0 1 1 .
−2 1 0
(a) Calcule detA
(b) Quem é Adj(A)?
(c) Calcule os produtos Adj(A)A e AAdj(A).
(d) Verifique que A−1 = 1 Adj(A)
detA
12. Em geral, Dada uma matriz A quadrada de ordem n, vale a igualdade
A · Adj(A) = Adj(A) · A = det(A)In .
Admitindo este fato, prove que se detA ̸= 0 então A é inversı́vel e sua inversa é dada por
A−1 =
1
Adj(A)
detA
2
13. Calcule, se existir, a matriz inversa de A e use essa inversa pra resolver o sistema AX = B
nos seguintes casos:
(
)
( )
1 1
1
(a) A =
eB=
2 3
4


 
1 2 1
3



1 0 1
1 
(b) A =
eB=
2 1 0
2
Exercı́cios Teóricos:
14. Dizemos que A é uma matriz nilpotente se existir k ∈ N tal que Ak = 0. O menor número
inteiro k tal que Ak = 0 é dito o indice de nilpotência de A. Seja A uma matriz n × n
nilpotente, com ı́ndice de nilpotência k, mostre que
(In − A)−1 = In + A + A2 + ... + Ak−1 .
15. Sejam A e B matrizes quadradas. Mostre que se A + B e A forem invertı́veis, então
(A + B)−1 = A−1 (In + BA−1 )−1
16. Seja Jn a matriz n × n cujas entradas são iguais a 1. Mostre que se n > 1 então
(In − Jn )−1 = In −
Dica: Observe que Jn2 = nJn
17. (a) Mostre que a matriz A =
(
a b
c d
)
é invertı́vel se, e somente se, ad − bc ̸= 0 e neste
caso a inversa é dada por
A
−1
1
Jn .
n−1
1
=
ad − bc
(
a b
c d
)
(b) Mostre que se ad − bc ̸= 0, então o sistema linear:
{
ax + by = g
cx + dy = h
tem com solução
(
det
(
x=
det
g b
h d
a b
c d
(
)
det
),
(
y=
det
a g
c h
a b
c d
)
)
esta é conhecida como a regra de Crammer.
18. Mostre que se det(AB) = 0 então ou A é singular ou B é singular.
19. O determinante de AB é igual ao determinante de BA? Justifique.
20. Mostre que se A é uma matriz não singular tal que A2 = A, então detA = 1.
21. Mostre que se A é nilpotente então A é singular.
22. Mostre que se At = A−1 então det(A) = ±1
(
)
23. Sejam A e P matrizes n × n, sendo P invertı́vel. Mostre que det P −1 AP = detA.
3