UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Terceira Lista de Exercı́cios de Introdução à Álgebra Linear - MTM112
Prof. Júlio César do Espı́rito Santo
25 de Outubro de 2013 ♥ - COM
(1) Verdadeiro ou falso? (Justifique, ou dê um contra-exemplo)
(a) Se A e B são simétricas, então A + B e A − B são simétricas;
(b) Se A e B são simétricas, então AB é simétrica;
(c) Se A e B são anti-simétricas, então A + B e A − B são anti-simétricas;
(d) Se A e B são matrizes inversı́veis de mesma ordem, então A + B é inversı́vel;
(e) Se A é uma matriz quadrada, então (A + AT )/2 é simétrica e (A − AT )/2 é anti-simétrica;
(f) A única matriz que é simétrica e anti-simétrica ao mesmo tempo é a matriz nula;
(g) Se A é uma matriz simétrica e B é uma matriz anti-simétrica, então AB é simétrica;
(h) Se A é uma matriz anti-simétrica, então A3 é simétrica.
(i) Toda matriz quadrada A pode ser escrita como uma soma entre uma matriz simétrica e
uma anti-simétrica.
(j) Toda matrz simétrica é invertı́vel.
(k) Toda matriz singular é simétrica.
(l) Se det(AC) = 0 e A é não-singular, então C é invertı́vel.
(m) Se AC = 0 e A é não-nula, então C têm que ser nula.
(n) Um sistema linear homogêneo nunca tem solução.
(o) Se A é a matriz dos coeficientes de um sistema linear homogêneo e esta matriz é singular,
então este sistema tem infinitas soluções.
(p) Se um sistema linear AX = B tem duas soluções distintas, então obrigatoriamente ele terá
infinitas soluções.
(q) Se a matriz A de um sistema linear AX = B é invertı́vel, entao ele admite apenas uma
solução.
(r) A matriz identidade é singular.
(s) A ordem de uma matriz que tenha, o posto, o traço e o determinante iguais, so pode ser dois.
(t) Podemos afirmar que det(P −1 AP ) = det(A) e det(AT BAB −1 B T ) = det(A2 B).
(u) Uma matriz A é nilpotente se existir k tal que Ak = 0. Um exemplo é a matriz A = [aij ]3×3
tal que a12 = a23 = a34 = 1 e as outras entradas são nulas.
(v) Toda operação elementar sobre as linhas de uma matriz é reversı́vel por meio de uma operação elementar de mesmo tipo que ela.
(w) Se A é uma matriz não-singular tal que A2 = A então det(A) = 1.
(x) A é chamada de matriz ortogonal se AT = A−1 . Podemos afirmar que se A é ortogonal,
então det(A) = ±1.
(y) Se X e Y são soluções do sistema homogêneo AX = 0, então X + Y e αX também são,
para α ∈ R.
(z) Claro que é falso que det(A + B) = det(A) + det(B).
1
2
(2) Prove que se A e B são matrizes quadradas não-singulares (o que significa que são invertı́veis),
então valem:
(a) A inversa da matriz A, denotada por A−1 é única.
(b) (A−1 )−1 = A.
(c) (AB)−1 = B −1 A−1 .
(d) (A−1 )T = (AT )−1 .
(3) Prove que, para qualquer matriz quadrada A, o produto AAT é uma matriz simétrica.
(4) Uma matriz quadrada A diz-se idempotente se A2 = A.
(a) Mostre que se AB = A e BA = B, então A e B são idempotentes.
(b) Se A é idempotente, mostre que B = I − A é idempotente e que AB = BA = 0.
!
2 −2 −4
−1 3
4
(5) Mostre que A2 = A para A =
.
1 −2 −3
(6) Encontre λ ∈ R tal que o sistema homogêneo (A − λI)X = 0 admita solução não-trivial (ou seja,
solução não-nula) para as matrizes A dadas:
"
#
"
#
"
#
0 0 1
1 1 −2
2 3 0
(a) A = 1 0 −3
(c) A = −1 2 1
(e) A = 0 1 0
0 1 3
0 1 −1
0 0 2
2
0

(b) A = 0
0

2
2
0
0
3
3
1
0

4
2 
1
1
−1
−1

(d) A = −1
0


2 2 0
2 1 0 
1 2 0
0 0 1
"
(f) A =
2
0
0
3
2
0
0
0
2
#
(7) Dada uma matriz A = [aij ] de ordem n, chama-se de Matriz Adjunta Clássica de A à matriz
adj(A) := [∆ij ]T , onde ∆ij é o cofator do elemento aij da matriz A. Ou seja, a Adjunta Clássica
é a transposta da matriz dos cofatores de A. Sabendo que
1
adj(A),
A−1 =
det(A)
(a) Calcule a adjunta clássica da matriz E a seguir e use-a para obter a sua inversa.


4 2
E =  −1 3 
(b) Calcule a adjunta clássica de uma matriz invertı́vel A2×2 = [aij ] e use-a para obter A−1 .
(8) Se possı́vel, use operações elementares sobre as linhas da matriz para obter a inversa das matrizes




2 −3 2
5
2 1 0 0




 1 −1 1
 1 0 −1 1 
2 






C=
e F =
 3 2
 0 1 1 1 .
2
1 








1 1 −3 −1
−1 0 0 3
(9) Calcule o traço e o determinante das matrizes abaixo. Decida se alguma delas é singular (nãoinvertı́vel).




1
0 0 1 1
2
0 0 1 1


1 0 0 1




 0 −2 0 2 1 
 0 −2 0 2 1 






 1 2 0 0 










−1
0
0
1
−1
−1
0
0
1
−1

A=
,
B
=
e
C
=




 1 2 4 0 









0
1 1 2 0
0
1 1 2 0 






1 2 4 8




1
0 0 1 1
1
0 0 1 1
trA = (15), detA = (64); tr(B) = 2, det(B) = 0, tr(C) = 3, det(C) = 4.
Bom Estudo!