Exercı́cios sobre Matriz Inversa MA141 - Geometria Analı́tica 26 de março de 2014 Exercı́cio 1 Dadas as matrizes a seguir, calcule suas respectivas inversas. a) 1 1 A = 3 1 2 1 0 1 1 b) 2 0 B = 1 2 3 2 1 1 1 c) 3 0 1 1 C= 0 3 2 1 2 Resolução a) Primeiramente, encontraremos o determinante da matriz A: ¯ ¯ ¯1 1 0¯ ¯ ¯ detA = ¯¯3 1 1¯¯ = (1 + 2 + 0) − (0 + 1 + 3) = −1 ¯2 1 1¯ Feito isso, devemos encontrar a matriz adjunta de A. Para cofatores de A. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 ¯1 1 ¯ 3 ¯3 ã11 = (−1) . ¯ = 0, ã12 = (−1) . ¯ 1 1¯ 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯3 1 ¯ ¯ = 1, ã21 = (−1)3 . ¯1 ã13 = (−1)4 . ¯¯ ¯ ¯1 2 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯1 0¯ ¯ = 1, ã23 = (−1)5 . ¯1 ã22 = (−1)4 . ¯¯ ¯2 ¯ 2 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯1 0 ¯ ¯ = 1, ã32 = (−1)5 . ¯1 ã31 = (−1)4 . ¯¯ ¯3 1 1¯ ¯ ¯ ¯1 1¯ ¯ = −2 ã33 = (−1)6 . ¯¯ 3 1¯ 1 tal, encontraremos a matriz dos ¯ 1¯¯ = −1 1¯ ¯ 0¯¯ = −1 1¯ ¯ 1¯¯ =1 1¯ ¯ 0¯¯ = −1 1¯ Assim, a matriz dos cofatores será 0 −1 1 1 à = −1 1 1 −1 −2 A matriz adjunta de A é a transposta da matriz dos cofatores, logo Aadj Como A−1 = Aadj detA , 1 −1 −2 1 −1 −1 1 −1 2 0 −1 = −1 1 1 1 temos A−1 b) 0 = 1 −1 Primeiramente, encontraremos o determinante da matriz B: ¯ ¯ ¯2 0 1¯ ¯ ¯ detB = ¯¯1 2 1¯¯ = (4 + 0 + 2) − (6 + 4 + 0) = −4 ¯3 2 1¯ Feito isso, devemos encontrar a matriz adjunta de B. Para tal, encontraremos a matriz dos cofatores de B. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 ¯1 1 ¯ 2 ¯2 1¯ =2 = 0, b̃12 = (−1) . ¯ b̃11 = (−1) . ¯ 3 1¯ 2 1¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 ¯0 1¯ 4 ¯1 2 ¯ =2 = −4, b̃21 = (−1) . ¯ b̃13 = (−1) . ¯ 2 1¯ 3 2¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯2 1¯ ¯ = −1, b̃23 = (−1)5 . ¯2 0¯ = −4 b̃22 = (−1)4 . ¯¯ ¯ ¯ 3 2¯ 3 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 4 ¯0 1¯ 5 ¯2 1 ¯ b̃31 = (−1) . ¯ = −2, b̃32 = (−1) . ¯ = −1 ¯ 2 1 1 1¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 6 ¯2 0¯ =4 b̃33 = (−1) . ¯ 1 2¯ Assim, a matriz dos cofatores será 0 2 −4 B̃ = 2 −1 −4 −2 −1 4 A matriz adjunta de B é a transposta da matriz dos cofatores, logo 2 Badj Como B −1 = Badj detB , 0 = 2 −4 temos 0 B −1 = −1 2 1 c) 2 −2 −1 −1 −4 4 −1 2 1 4 1 1 2 1 4 −1 Primeiramente, encontraremos o determinante da matriz C: ¯ ¯ ¯1 2 3¯ ¯ ¯ detC = ¯¯0 1 0¯¯ = (1 + 0 + 0) − (9 + 0 + 0) = −8 ¯3 2 1¯ Feito isso, devemos encontrar a matriz adjunta de C. Para tal, encontraremos a matriz dos cofatores de C. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 ¯1 0¯ 3 ¯0 0¯ c̃11 = (−1) . ¯ = 1, c̃12 = (−1) . ¯ =0 2 1¯ 3 1¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯0 1 ¯ ¯ = −3, c̃21 = (−1)3 . ¯2 3¯ = 4 c̃13 = (−1)4 . ¯¯ ¯ ¯ 2 1¯ 3 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 5 ¯1 2 ¯ 4 ¯1 3 ¯ =4 = −8, c̃23 = (−1) . ¯ c̃22 = (−1) . ¯ ¯ 3 2¯ 3 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 5 ¯1 3 ¯ 4 ¯2 3 ¯ =0 = −3, c̃32 = (−1) . ¯ c̃31 = (−1) . ¯ 0 0¯ 1 0¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 6 ¯1 2 ¯ =1 c̃33 = (−1) . ¯ 0 1¯ Assim, a matriz dos cofatores será 1 0 −3 C̃ = 4 −8 4 −3 0 1 A matriz adjunta de C é a transposta da matriz dos cofatores, logo Cadj Como C −1 = Cadj detC , 1 4 −3 = 0 −8 0 −3 4 1 temos 3 −1 8 −1 2 3 8 −1 2 C −1 = 0 1 4 3 8 0 −1 8
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