MODELAGEM DINÂMICA DE SISTEMAS MECÂNICOS
OBJETIVOS
•
•
•
•
•
Quantificar e visualizar movimentos e trajetórias descritas
por peças de um mecanismo;
Propiciar o dimensionamento de peças submetidas a
cargas dinâmicas;
Otimizar o projeto da peça;
Reduzir a necessidade de confeccionar protótipos;
Produzir ganhos significativos de tempo, com
consequente redução de custos.
MODELAGEM DINÂMICA DE SISTEMAS MECÂNICOS
Modelagens desenvolvidas na FEAGRI
•
Roçadora com faca articulada;
•
Garfos flutuantes pantográficos de rastelamento de cana;
•
Molinete com dedos retráteis de colhedora de grãos;
•
Garfos alimentadores de enfardadora;
•
Cortador de base de cana, com dois graus de liberdade.
Molinete com dedos retráteis de colhedora de grãos
Cortador de base de cana, com dois graus de liberdade.
Cinemáica e Cinética de Partículas no Plano e no Espaço
Sistema de Referência Inercial e vetor
posição de um ponto “ A “
Z
Zo
A
k
O
trajetória
rOA
r
I OA
Yo
j
x o 
  Vetor posição que
 y o  acompanha a trajetória
 z  descrita pela partícula A.
 o
Y
i
r
I OA
Xo
X
 x0i  y 0 j  z 0k
Cinemáica e Cinética de Partículas no Plano e no
Espaço
Vetor velocidade absoluta
O vetor velocidade absoluta da partícula A, corresponde à derivada
primeira no tempo do vetor posição IrOA, no sistema de referência
inercial.
d

 dt ( x o )
 x o 


d
d
  



v

r

(
y
)

I A
I OA
o   y o 
dt
 dt
  z 
 d (z )  o 
o


dt


I
Vetor velocidade absoluta que
descreve a velocidade da partícula
A que percorre a trajetória
v A  x 0i  y 0 j  z 0k
Cinemáica e Cinética de Partículas no Plano e no
Espaço
Vetor aceleração absoluta
O vetor aceleração absoluta da partícula A, corresponde à derivada
segunda no tempo do vetor posição IrOA, no sistema de referência
inercial.
 d2

 2 ( x o )
dt

 x o  Vetor aceleração absoluta
2
2
d
d
d
   da partícula “A “que




a

r

v

(
y
)
 2 o   y o  descreve ma certa
I A
I A
2 I OA
dt
dt
 dt2
 z  trajetória
 d (z )  o 
 dt 2 o 
I
aA  x0i  y0 j  z0k
Cinemáica e Cinética de Partículas no Plano e no
Espaço
Sistema de Referência Móvel
Todo e qualquer movimento pode ser descrito como uma
composição destes dois tipos de movimentos:
translação e rotação.
Cinemáica e Cinética de Partículas no Plano e no
Espaço
Sistema de Referência Móvel Transladando
Z1
ZB
Z
ZA
i , j , k  i1 , j1 , k1
B
k1
trajetória
rAB
YB
A
j1
k
O
i
rOA
XB
Y1
i1
YA
j
Y
X1
B1
XA
 i 1  1 0 0  i
  


 j 1    0 1 0  j
k  0 0 1 k
 1 

S  I *I S
1
X
I
S  I *B1 S





Cinemáica e Cinética de Partículas no Plano e no
Espaço
Sistema de Referência Móvel Transladando
Z1
ZB
Z
ZA
B
k1
i , j , k  i1 , j1 , k1
trajetória
rAB
YB
A
j1
k
O
i
XA
X
rOA
XB
Y1
i1
B1
YA
j
1
Y
X1
S  I *I S
I
S  I *B1 S
r I rOA  I*B1 rAB
I OB
r
I AB
 I*B1 rAB
Cinemáica e Cinética de Partículas no Plano e no
Espaço
Vetor velocidade absoluta
O vetor velocidade absoluta da partícula B, corresponde à derivada
primeira no tempo do vetor posição IrOB, no sistema de referência
inercial.
Vetor velocidade absoluta que
d
d
a velocidade da trajetória
 I rOB    I rOA  I*B1 rAB  descreve
I vB 
descrita pela partícula B, na base
dt
dt
inercial.
d
I vB 
dt
d
d
 I rOA   I *B1 rAB  I *
dt
dt
 B1 rAB 
=0
I
vB  I v A  I*B1 vRel  I v A  I vRe l
Cinemáica e Cinética de Partículas no Plano e no Espaço
Sistema de Referência Móvel Rotacionando
Z1
ZB
Z

ZA
B
k1
trajetória
rAB
Y1
YB
A
k
rOA
j1
i1
XB
X1
O
i
XA
X
YA
j
i , j , k  i1 , j1 , k1
Y
f  (t )
0 



I   0
 
 (t ) 
0 




I   0
 
 (t ) 
ANÁLISE DINÂMICA DE CORTADOR DE BASE DE CANA, COM DOIS
GRAUS DE LIBERDADE
Etapa Inicial
Dedução das Matrizes de Transformação de Coordenadas
e de suas transpostas
Definição
Matrizes de Transformação de Coordenadas Tn (n : base), são
matrizes dependentes do tempo, responsáveis por transformar a
representação de um vetor descrito na base de referência BI, para
uma base local Bn (B1, ... Bn) (frequentemente móvel).
A transposta T’n , por sua vez, transforma um vetor descrito na base
local Bn (B1, ... Bn), para a base de referência, podendo esta ser outra
base local ou a base inercial.
ANÁLISE DINÂMICA DE CORTADOR DE BASE DE CANA, COM DOIS
GRAUS DE LIBERDADE
Etapa Inicial
Dedução das Matrizes de Transformação de Coordenadas
e de suas transpostas
Propriedades
Existem duas importantes propriedades que as matrizes de
transformação de coordenadas guardam: seu determinante é
sempre unitário e sua inversa é igual a sua transposta.
Cinemáica e Cinética de Partículas no Plano e no Espaço
Sistema de Referência Móvel Rotacionando
Z
Z1

k1
Y1
A
k
 cos se n 0  i 


T    se n cos 0  j 
 0
0
1  k 
j1
i1
X1
O
i
j
Y1
Y
Y
B1
X1

X
X
S  T *I S
I
S  T *B1 S
T

Cinemáica e Cinética de Partículas no Plano e no Espaço
Sistema de Referência Móvel Rotacionando
Z1
ZB
Z
ZA
B
k1
rAB
Y1
YB
A
k
i , j  i1 , j1

rOA
T
r

r

T
I OB I OA
 *B1 rAB
j1
i1
 (t )
XB
X1
O
i
YA
j
r
I AB
Y
r I rOA  I rAB
I OB
IrOB
XA
X
IrOA
IrAB
Cinemáica e Cinética de Partículas no Plano e no Espaço
Sistema de Referência Móvel Rotacionando
d
d T
 I rOA   (T *
I vB 
dt
dt
r )
B1 AB
d
d T
d
T
 I rOA   T  *B1 rAB  T *  B1 rAB 
I vB 
dt
dt
dt
d
T
T
( T )  I  ^ T
dt


T
T
v

v


^
T
*
r

T
I B I A I
 B1 AB
 *B1 rRel
r
I AB
I
v Re l
Cinemáica e Cinética de Partículas no Plano e no Espaço
Sistema de Referência Móvel Rotacionando
r  I rOA  I rAB
I OB
d
d
 I rOB  
I vB 
dt
dt
I
r
I
T

T
OA
 *B1 rAB

vB I vA  I  ^ I rAB I vRel
Translação da
origem “A” da
base local
Componente da
velocidade
provocada pela
rotação com
módulo(rAB) = cte
Variação no
tempo do
módulo( rAB )
Cinemáica e Cinética de Partículas no Plano e no Espaço
Sistema de Referência Móvel Rotacionando

Z
A velocidade do ponto “B”
pode ser provocada por:
B
rAB
a) Movimentação do ponto
“A” , origem da base local
A
k
O
b) Giro da base local 
rOA
c) Variação do módulo( rAB )
j
Y
i
a)
I
X
b)
c)
vB I vA  I  ^ I rAB I vRel
Componente da velocidade linear absoluta
provocada pelo giro da peça (base)
Componente da velocidade linear absoluta
provocada pelo giro da peça (base)
I
vB I vA  I  ^ I rAB I vRel
Componente da velocidade linear absoluta provocada pelo
movimento relativo entre o ponto de interesse e a peça (base)
I
vB I vA  I  ^ I rAB I vRel
Velocidade linear absoluta do ponto B com suas
três componentes
Problema:
Considerando que o disco da
figura gira com velocidade de
rotação de 1000 rpm e que a
faca gira sobre a articulação “b”
com velocidade angular de 200
s-1, calcular a velocidade linear
absoluta do ponto “c” quando o
conjunto ceifador se desloca à
direita com velocidade de
translação de 2 m s-1.
ab = 600 mm ; bc = 150 mm.
Tarefa:
Considerando que o disco da
figura gira com velocidade de
rotação de 1000 rpm, o braço
intermediário gira em torno da
articulação A com velocidade
angular de - 100 s-1 e que a faca
gira sobre a articulação “B” com
velocidade angular de 200 s-1,
calcular a velocidade linear
absoluta do ponto “c” para um
mecanismo com as seguintes
dimensões.
OA = 400 mm ; AB = 300 mm.
BC = 200 mm
Cinemáica e Cinética de Partículas no Plano e no
Espaço
Vetor aceleração absoluta
O vetor aceleração absoluta da partícula B, corresponde à derivada
segunda no tempo do vetor posição IrOB, no sistema de referência
inercial.
2
2
d
d
 r  2
I aB 
2 I OB
dt
dt
I
r
I OA
 I*B1 rAB 
Vetor aceleração absoluta
que descreve a
aceleração da trajetória
descrita pela partícula B,
no sistema inercial.
aB  I aA  I*B1 aRel  I aA  I aRel