Revista Brasileira de Ensino de Fsica vol. 20, no. 4, Dezembro, 1998
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O Impulso e o Movimento Circular Uniforme
(Impulse and Uniform Circular Motion)
Maria Teresinha X. Silva
Universidade Federal do Rio Grande do Sul - UFRGS
Instituto de Fsica
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e-mail: [email protected]
Nelson Toniazzo e Rolando Axt
Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul - UNIJUI
Departamento de Fsica, Estatstica e Matematica
Caixa Postal 560 - 98700-000 - Iju, RS - Brasil
Recebido 2 de Dezembro, 1997
S~ao analisadas as variac~oes do vetor velocidade de um corpo em movimento circular uniforme
para evidenciar a natureza vetorial da quantidade de movimento linear.
The vectorial nature of linear momentum is stressed by analysing changes in the velocity of
a body in uniform circular motion.
1. Introduca~o
Quando um ponto material de massa m descreve
um movimento circular uniforme, sua velocidade tangencial e constante em modulo mas varia permanentemente em direc~ao. Sendo assim, a energia cinetica
dessa massa e constante e a quantidade de movimento
linear e variavel.
O objetivo deste texto e destacar a natureza vetorial
da quantidade de movimento linear propondo o seguinte
problema:
A gura 1 representa o vetor velocidade de uma
massa m que descreve um movimento circular uniforme
de perodo T sobre um crculo de raio R. As posic~oes 1
e 2 denem o deslocamento de m em um intervalo de
tempo T/2. Pergunta-se 1]: Qual e o impulso sobre
a massa m nesse intervalo de tempo (T/2)?
A soluc~ao trivial deste problema e dada pela relac~ao
I~ = ~p
donde resulta
jI~j = 2mv = 4mR
T (1)
ja que v = 2 R=T:
Observe-se que j~pj = 2mv e equivalente a variac~ao
da quantidade de movimento linear de uma massa m
que colide contra uma parede com velocidade +~v e retorna dela com velocidade ;~v 2]. Embora a primeira
vista este resultado pareca estranho para muitos alunos
que, por intuic~ao, acreditam ser ~p igual a zero (ou
igual a ;m~v ), e por eles aceito sem maior relut^ancia
quando s~ao alertados sobre a natureza vetorial de ~p.
A soluc~ao do problema torna-se um pouco mais
complicada
quando se deseja calcular a integral I~ =
R~
F dt. Neste caso, e preciso identicar a forca impulsiva, sem esquecer o seu carater vetorial, e encontrar um
modo de resolver a integral. A forca centrpeta F~c e a
unica forca que e exercida sobre m. Ao decomp^o-la em
suas componentes nas direc~oes x e y (F~x e F~y na gura
2), verica-se desde logo que estas n~ao s~ao uniformes
em modulo e podem sofrer invers~ao de sentido em um
intervalo de tempo T=2. Portanto, resolver a integral
supondo que a forca impulsiva e a forca centrpeta,
tomada em modulo (Fc = m!2 R) e esquecendo o seu
carater vetorial, levaria a um resultado incorreto para
o impulso (22mR=T). Na gura 3, a area sob a reta
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M.Terezinha X. Silva et al.
Fc representaria gracamente esta soluc~ao (incorreta),
num intervalo de tempo T=2:
Figura 1. Deslocamento de m entre as posic~oes inicial (1) e
nal (2).
Figura 2. A forca centrpeta F~c e suas componentes F~x e
F~y .
O calculo do impulso exercido sobre a massa m, no
deslocamente que sofre entre as posic~oes 1 e 2, requer
que analisemos os impulsos nas direc~oes x e y separadamente.
Na direc~ao y, o impulso lquido no intervalo de
tempo em considerac~ao e zero. Fy varia do seu valor
maximo positivo, em t = 0, ate o seu valor maximo
negativo, em t = T=2 de modo que os impulsos sofri-
dos nos sucessivos quartos de perodo cancelam-se mutuamente. Na gura 3, a area (nula) sob a curva Fy
representa o impulso Iy .
Figura 3. Representac~ao graca de Fc (linha contnua) e de
suas componentes Fx (linha pontilhada) e Fy (linha tracejada). A linha vertical identica o ponto P da gura 2:
Fc = (Fx2 + Fy2 )1=2 :
Ja na direc~ao x, o impulso no mesmo intervalo de
tempo e maximo. Fx varia de zero, em t = 0, a um valor
maximo negativo, em t = T=4, e retorna novamente a
zero em t = T=2. Durante esse intervalo de tempo, F~x
tem sempre o mesmo sentido (contrario ao sentido de ~v
na posic~ao 1) e, no instante T=4 seu modulo e igual ao
da forca centrpeta Fc. Na gura 3, a area (negativa)
sob a curva Fx representa o impulso Ix .
O problema resume-se, portanto, em analisar o
movimento circular uniforme considerando a superposic~ao dos movimentos harm^onicos simples que correspondem as projec~oes do MCU sobre os eixos coordenados x e y.
Supondo-se que em t = 0 a massa m encontra-se na
posic~ao 1, as coordenadas de sua posic~ao, em qualquer
instante de tempo, s~ao dadas por:
x = Rcos !t ; 2
e
y = R sen !t ; 2 onde ! = 2=T e a frequ^encia angular desse movimento.
Portanto, as componentes Fx e Fy da forca
centrpeta s~ao, respectivamente,
c
2
Fx = max = m ddtx2 = ;m!2 Rcos !t ; 2 = ;Fc cos !t ; 2
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e
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2
Fy = may = m ddt2y = ;m!2 R sen !t ; 2 = ;Fc sen !t ; 2 :
d
As componentes do impulso sofrido pela partcula
ao longo das direc~oes x e y, no intervalo de tempo considerado, s~ao dadas por:
Ix =
e
Z
T =2
0
Iy =
Z
Fx dt = ; 4mR
T
T =2
0
Fy dt = 0:
Este resultado esta em concord^ancia com aquele
obtido em (1) e o sinal negativo indica a revers~ao da
velocidade entre as posic~oes 1 e 2, ou seja, o sentido da
variac~ao da quantidade de movimento de m, contrario
ao da sua velocidade inicial.
Adicionalmente, pode-se propor aos alunos a analise
do impulso sobre m em outros intervalos de tempo
representados na gura 3. Por exemplo, a variac~ao
da quantidade de movimento linear entre T=8 e 3T=8
equivale a da colis~ao elastica de uma partcula contra
uma parede rgida com um a^ngulo de incid^encia de 45 .
A descric~ao feita acima, considerando o MCU como
uma superposic~ao de dois movimentos harm^onicos simples, oferece ainda uma alternativa 3] para a deduc~ao
da formula da forca (acelerac~ao) centrpeta, ja que
jF~cj = m!2 R representa o valor maximo das componentes Fx e Fy exercidas sobre a massa m em MCU.
Refer^encias
1. Rad, M. Sepehry. Shortcomings in physics education in Iran. Phys. Educ. 26 (6), 332 (1991).
2. Stinner, A. The story of force: from Aristotle to
Einstein. Phys. Educ. 29 (2), 77 (1994).
3. Fitzpatrick, J. A. Derivation of centripetal acceleration by a momentum change. Phys. Educ. 30
(5), 264 (1995).