Lista 2
Os exercícios desta lista correspondem à teoria de funções reais, polinômios e limites.
1) Determine o domínio da função dada
1
x−1
s
x−1
c)f (x) =
x+1
√
3
e)f (x) = x2 − x
x
x2 − 1
s
x
d)f (x) = 4
x+3
√
x
f )f (x) = √
3
x−1
q
√
h)f (x) = 1 − x
a)f (x) =
g)f (x) =
b)f (x) =
√
√
x−1+ 3−x
2) Determine a composta f (g(x)) das funções abaixo
a)f (x) = x2 + 4, g(x) = x − 1
1
c)f (x) = , g(x) = x2 + x − 2
x
b)f (x) = (x − 1)3 + 2x2 , g(x) = x + 2
√
d)f (x) = u + 1, g(x) = x2 − 1
3) Faça a divisão dos polinômios p(x) por d(x) abaixo:
a)p(x) = 4x4 + 3x 3 + 2x + 1, d(x) = x2 + x + 2
b)p(x) = x4 + x3 + 7x2 − 6x + 8, d(x) = x2 + 2x + 8
c)p(x) = 3x4 − x3 + 8x2 + 5x + 3, d(x) = x2 − x + 3
d)p(x) = 7x4 − 10x3 + 3x2 + 3x − 3, d(x) = x − 1
Teorema (Possíveis raízes racíonais de polinômios) Seja o polinômio p(x) =
an xn + . . . + a1 x + a0 com an , . . . , a1 , a0 ∈ Z e an 6= 0. As possíveis raízes racíonais q
d
(isto é, q ∈ Q e p(q) = 0) são da forma q = d ou q =
onde d é um divisor do termo
an
independente a0 .
Exemplo: Encontre as raízes racíonais de p(x) = 2x3 − 12x2 − 18x + 28.
Resposta Os divisores do termo independente 28 são
±1, ±2, ±4 ± 7, ±14, ±28.
Logo, como o termo que aconpanha o expoente em x de maior grau é 2, as possíveis raízes
de p(x) são
1 2 4 7 14 28
±1, ±2, ±4 ± 7, ±14, ±28, ± , ± , ± , ± , ± , ± .
2 2 2 2
2
2
Verificando para x = 1 teremos
p(1) = 2(1)3 − 12(1)2 − 18(1) + 28 = 30 − 30 = 0
1
Logo para descobrir as demais raízes dividiremos p(x) por x − 1 e assim ficaremos com
um polinômio de grau 2 para descobrirmos as raizes. Efetuando a divisão teremos
p(x) = (2x2 − 10x − 28)(x − 1).
Para calcular as demais raízes de p(x) basta calcular as raízes de (2x2 − 10x − 28),
que por Bhaskara são −2 e 7. Logo as raízes inteiras (e portanto todas) de p(x) são −2,
1 e 7.
4) Use o teorema acima para calcular as raízes racionais dos polinômios abaixo
a)f (x) = 3x2 + 2x − 1
b)f (x) = 5x3 − 2x2 + 20x − 8
c)f (x) = 4x5 − 2x4 + 30x3 − 15x2 + 50x − 25
d)f (x) = 5x4 + 32x2 − 21
e)f (x) = 2x4 − 9x2 + 7
f )f (x) = 5x3 + 29x2 + 19x − 5
5) Calcule os limites abaixo
a) lim (x2 + 1)(1 − 2x)2
b) lim (x − 1)2 (x + 1)2
x→−1
x→3
2x + 3
x+1
2x + 3
f ) lim
x→3 x − 3
9 − x2
h) lim
x→3 x − 3
x2 + x − 6
j) lim
x→2
x−2
x2 − x − 6
l) lim 2
x→−2 x + 3x + 2
√
x−2
n) lim
x→4 x − 4
√
x−1
p) lim
x→4 x − 1
c) lim (x5 − 6x4 + 7)
d) lim
x→0
x→1
x+3
5−x
x2 − 1
g) lim
x→1 x − 1
x2 − 3x − 10
i) lim
x→5
x−5
2
x(x − 1)
k) lim
x→0
x2
2
x + 4x − 5
m) lim
2
x→1
√ x −1
x−3
o) lim
x→9 x − 9
e) lim
x→5
2
6) Para as funções abaixo calcule os limites lim f (x) e lim f (x)
x→−∞
x→+∞
a)f (x) = x3 − 4x2 − 4
b)f (x) = 1 − x + 2x2 − 3x3
c)f (x) = (1 − 2x)(x + 5)
d)f (x) = (1 + x2 )3
1 − 3x3
2x3 − 6x + 2
x2 + x − 5
h)f (x) =
1 − 2x − x3
1 − 2x3
j)f (x) =
x+1
x2 − 2x + 3
2x2 + 5x + 1
2x + 1
g)f (x) = 2
3x + 2x − 7
3x2 − 6x + 2
i)f (x) =
2x − 9
f )f (x) =
e)f (x) =
7) Sejam f, g duas funções reais e c ∈ R e suponha que lim f (x) = 5, lim g(x) = −2,
x→c
x→c
lim f (x) = −3 e lim g(x) = 4. Calcule os limites
x→+∞
x→+∞
a) lim 2f (x) − 3g(x)
b) lim f (x)g(x)
x→c
x→c
q
d) lim f (x)(g(x) − 3)
c) x→c
lim f (x) + g(x)
x→c
f (x)
e) lim
x→c g(x)
2f (x) + g(x)
g) lim
x→+∞
x + f (x)
f ) x→c
lim
2f (x) − g(x)
5g(x) + 2f (x)
h) lim
x→+∞
q
g(x)
8) O gerente de uma empresa determina determina que t meses após começar a fabricação de um novo produto o número de unidades fabricadas deve ser P milhares onde
6t2 + 5t
P (t) =
(t + 1)2
O que acontece com a produção a longo prazo (ou seja, para t → +∞)?
9) Estudos mostram que daqui a t anos a população de um certo país será p =
0, 2t + 1500 milhares de pessoas e que a renda bruta do país será E milhões de dólares,
onde
E(t) =
q
9t2 + 0, 5t + 179
a) Expresse a renda per capita do país P =
E
p
em função do tempo t.
b) O que acontece com a renda per capita a longo prazo (para t → +∞)?
10) Um gerente observa que o custo total para fabricar x unidades de um certo produto
pode ser modelado pela função
C(x) = 7, 5x + 120.000
3
C(x)
.
x
(em reais). O custo médio é A(x) =
Calcule lim A(x) e interprete este resultado.
x→+∞
11) Nos itens abaixo determine o valor do limite unilateral (determine também os
casos também de +∞ e −∞):
√
3x − 9
a) lim+ (3x2 − 9)
b) lim+
x+3
x→2 x + 2
√
x− x
e) lim−
x→1
√x − 1
2x − 1 − 3
g) lim+
x→5
x−5
x2 + 4
x→2 x − 2
√
x+1−2
f ) lim+
x→3
x−3
x−2
h) lim+
x→4 x − 4
x→4
x→3
d) lim−
c) lim−
12) Calcule lim+ f (x) e lim− f (x) nos casos abaixo
x→c
x→c
a) c = 3, e


2x2
−x
f (x) = 
para x < 3
3 − x
para x ≥ 3
b) c = −1, e
1
f (x) =  x − 1

x2 + 2x




para x < −1
para x ≥ −1
13) Nos itens abaixo verifique os pontos onde f é contínua e os pontos onde f não é
contínua:
a)
f (x) =


2x + 3
para x ≤ 1

6x − 1
para x > 1
b)
f (x) =


 x2
para x ≤ 2

9
para x > 2
c)
f (x) =


3x − 2
para x < 0

 x2
para x ≥ 0
+x
d)
f (x) =


2x − 3
para x ≤ −1

 x2
para x > −1
−x+3
14) A tarifa de uma empresa transportadora em função do peso é calculada através
4
da seguinte função




37







60




para 0 < p ≤ 1
para 1 < p ≤ 2
r(p) = 83



..



.


para 2 < p ≤ 3




290
para 11 < p ≤ 12
onde p é o peso do pacote em kilos e r é preço correspondente em reais. Faça o gráfico
da função r(p) e determine os valores onde ela é contínua e onde não é contínua.
15) Determine os valores da constante A para que a função f (x) seja contínua para
todo o valor de x:
a)
f (x) =


Ax − 3
para x < 2

3 − x + 2x2
para x ≥ 2
b)
f (x) =


1 − 3x
para x < 4

Ax2
para x ≥ 4
+ 2x − 3
16) Discuta a continuidade da função f (x) = x 1 +
no intervalo fechado [0; 1].
1
x
no intervalo aberto (0; 1) e
17) O gerente de uma empresa determina que, quando x% da capacidade das fábricas
está sendo usada, o custo total de operação é C centenas de milhares de reais, onde
C(x) =
8x2 − 636x − 320
x2 − 68x − 960
a) Calcule C(0) e C(100)
b) Explique por que o resultado do item a) não pode ser usado, juntamente com a
propriedade do valor intermediário, para mostrar que o custo de operação é exatamente
R$700.000, 00 quando uma certa porcentagem da capacidade das fábricas está sendo
usada.
18) Mostre que a equação
√
3
x − 8 + 9x2/3 = 29 tem pelo menos uma solução no
intervalo [0; 9].
19) Mostre que a equação
√
3
x = x2 + 2x − 1 tem pelo menos uma solução no intervalo
[0; 1].
5
20) Explique por que houve certamente um momento na sua vida em que sua altura
em centímetros foi igual à sua idade em dias.
21) Explique por que existe um momento em cada hora no qual o ponteiro das horas
e o ponteiro dos minutos estão alinhados.
6