matA10 – geometria no plano e no espaço I
vetores no plano e no espaço – ficha 01
1.
Observe, na figura, os vetores.
Indique:
1.1.
Dois vetores com a mesma direção
1.2.
Dois vetores com a mesma direção e sentidos contrários
1.3.
Um vetor com comprimento de 2 quadrículas.
1.4.
Um vetor com comprimento de 3 2 quadrículas.
1.5.
Um vetor com o mesmo comprimento de c mas com uma direção diferente.
2.
Observe os vetores representados na figura e complete os espaços de forma a obter
igualdades verdadeiras.
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2.1.
C  a  _____
2.2.
B  c  _____
2.3.
a  b  _____
2.4.
_____  2c  E
2.5.
F  _____  A
2.6.
C  _____  a  B
2.7.
FE  b  _____
2.8.
AD  a  _____
2.9.
B  _____  b  F
1/5
matA10 – geometria no plano e no espaço I
vetores no plano e no espaço – ficha 01
3.
3.1.
3.2.
Observe a figura composta por um cubo e uma pirâmide quadrangular de base acente e
igual a uma das faces do cubo. A altura da pirâmide é igual a metade do comprimento da
aresta do cubo.
Utilizando as letras da figura, calcule:
3.1.1.
EF  AD
3.1.2.
AB  DC
3.1.4.
D  2 HI
3.1.5.
H  CD  GI


3.1.3.
BA  FG
3.1.6.
AC  2 EI
Complete:
3.2.1.
DB  _____  HB
3.2.2.
_____  FI  I
3.2.3.
H  _____  B
3.2.4.
2 EI  _____  AE
4. Considere o referencial o. n.  o, i , j  representado
na figura.
4.1.
Indique as componentes e as coordenadas de cada
um dos vetores representados.
4.2.
Escreva w com base nos vetores t e v .
4.3.
Calcule:
5.
4.3.1.
u
4.3.2.
v
4.3.3.
yz
4.3.4.
w z
Determine, em
, os valores de m para os quais os vetores u e v são iguais.
5.1.
u   5  m;3 e v   6;3
5.3.
u  m2 ;1; m2  2 e v  2; m2  1; m  2  1

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
u
5.2.



  m  1 ;1 e v   4; m 2 5 
2
2/5
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vetores no plano e no espaço – ficha 01
para que u  v , sabendo que u   3; p  e v   p  1;1 .
6.
Verifique se existe p 
7.
1 
Considere os pontos A  3;5  , B  0;1 e C  ; 4  .
2 
7.1.
Determine as coordenadas dos vetores AB , BA , AC e BC .
7.2.
Determine a norma dos vetores da alínea anterior.
8.
Considere num referencial o. n. do espaço, os pontos A 1, 2,3 , B  1, 2,3 e C  0, 5,0  e
o vetor a   2,8, 3 .
Determine as coordenadas dos seguintes vetores.
8.1.
9.
8.2.
AB
AB  a
8.3.
3
a  CB
5
Considere no referencial o. n. da figura os pontos e
vetores representados.
Indique as coordenadas de:
9.1.
AB
9.2.
CA
9.3.
BC  u
9.4.
1
AC  v
2
10. Considere num referencial o. n. xOy o ponto A  1,5  .
10.1. Determine a distância do ponto A aos eixos coordenados.
10.2. Determine a distância do ponto A à origem do referencial.
10.3. Indique as coordenadas e a norma de AB , sabendo que B  0, 6  .
11. Determine as coordenadas do ponto médio de  AB  , sabendo que:
11.1. A  2, 4  e B 14, 2 
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4

11.2. A  2,0,1 e B  3,5,  
3

11.3. A  3,5  e AB   1, 4 
3/5
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vetores no plano e no espaço – ficha 01
12. Determine uma possibilidade para as coordenadas do vetor u no referencial xOy, sabendo
que a norma de u é 5 e que uma das componentes é o dobro da outra.


13. Sabe-se que o vetor v é colinear com o vetor  3,1 e que tem norma 4. Quais as
possíveis coordenadas do vetor v ?
14. No referencial, está representado um prisma quadrangular
em que a origem do referencial coincide com o centro da
base  ABCD  , a base  EFGH  está à cota 8 e as arestas das
bases têm metade do comprimento da altura do prisma.
14.1. Indique as coordenadas dos vetores HC e CA .
14.2. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento
 EG  e do segmento  AG  .
14.3. Determine
o
valor
de
k
de
modo
13k


u   0, 2k  2, 
 1 seja colinear com EB .
3


que
15. Considere a figura com 6 triângulos geometricamente iguais.
Assinale a opção correta.
15.1. AG  BC
(A)
AC
(B)
FA
(C)
 EB
(D)
CG
(B)
 FB
(C)
AH
(D)
1
GE
2
1
15.2.  HE  AG
3
(A)
AE
Bom trabalho!!
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4/5
matA10 – geometria no plano e no espaço I
vetores no plano e no espaço – ficha 01
Principais Soluções
1.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
2.
2.1.
2.2.
2.3.
a e d
c e g
d
y
d
z
 0, 3
 3,1
1, 2 
 0,1
 1 59 6 
 , , 
5 5 5
8.3.
9.
9.1.
9.2.
 2, 2 
 4,1
 3,1
9.3.
 7 
  ,0
 2 
9.4.
w
4.2.
D
D
DF
3
1
t v
4
3
4.3.
3b
c
4.3.1. 5
4.3.2. 3
4.3.3. 2
4.3.4. 3
2b
1
a
3
6.
é 5 e a distância ao
eixo y é 1.
10.2. 26
10.3. AB  1,1 e
m 1
m  3
0
m 2
1 5 1
11.2. PM  AB   , ,  
Não existe
Vetor
CA
F
I
EA
AB
BA
 3; 4 
GC
BC
F
2IF
CA
11.3. PM  AB
Coordenadas
 3; 4 
AC
3.2.
 5

  ; 1
2


1 
 ;3 
2 
7.2.
4.
4.1.
Componentes
4i
Vetor
AB
BA
Norma
5
5
AC
29
2
BC
37
2
u
2i  j
v
3 j
w
3i  j
y
i 2j
8.
8.1.
z
j
8.2.
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 2, 0, 0 
 0,8, 3
2
11.
11.1. PM  AB    8,1
7.
7.1.
EG
10.
10.1. A distância ao eixo x
AB 
5.
5.1.
5.2.
5.3.
2b
3.
3.1.
Vetor
t
 2,1
b
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
3.2.1.
3.2.2.
3.2.3.
3.2.4.
u
w
2.4.
3.1.1.
3.1.2.
3.1.3.
3.1.4.
3.1.5.
3.1.6.
t
Coordenadas
 4, 0 
v
1
D a
3
2.9.
Vetor
2 2 6
5 
  ,3 
2 
12. Por exemplo

5, 2 5

13. v   2 3, 2  ou

v  2 3, 2

14.
14.1. HC   0, 4, 8 
CA   0, 4, 0 
14.2. PM  EG   0, 0,8
PM  AG   0,0, 4 
14.3. k  9
15.
15.1. C
15.2. C
5/5