Vetores – Lidando com grandezas vetoriais
A matéria de vetores é de extrema importância para o ensino médio basta levar em consideração
que a maioria das matérias de física envolve mecânica (movimento, dinâmica, etc). Grande parte do
problema na interpretação e resolução de problema no ensino médio se baseia em problemas de
matérias que se utilizam de vetores, os estudantes não sabem como lidar e deduzir formulas para a
resolução através das componentes do vetor (horizontal e vertical), se soubessem a dificuldade na
resolução do problema reduziria drasticamente.
Diferenças: Grandezas Vetoriais x Grandezas Escalares
Lidar com grandezas vetoriais é um tanto diferente do que lidar com grandezas escalares. Grandezas
escalares admitem apenas o módulo, ou seja, o valor referente à medição. Já as grandezas vetoriais
precisam de, além do módulo, direção e sentido. Dentre as grandezas escalares temos a
Temperatura, o tempo, quantidade de energia em um corpo, capacidade térmica etc. Já as
grandezas vetoriais têm como exemplo a aceleração, a força, o torque etc.
• Propriedades do vetor
1. Módulo: Módulo é o “tamanho” do vetor, ou seja, o valor referido a ele.
2. Direção: Direção é o “caminho” do vetor, é definido como cima-baixo (norte-sul),
direita-esquerda (leste-oeste), ou até diagonal.
3. Sentido: O sentido é para onde o vetor aponta, é o lado onde a seta está virada. Pode
ser Norte, Sul, Leste, Oeste ou diagonal.
Operações com Vetores
As operações com vetores baseiam unicamente em encontrar o vetor resultante. Isto é a principal
informação sobre vetores e podemos dizer que é a parte de vetores mais importante em toda
matéria, é aqui que realmente começamos a lidar com vetores. Os vetores resultantes são
originados por Igualdade, Subtração, Adição, Divisão e Multiplicação. Existem métodos simples de se
lidar com poucos vetores e alguns métodos simplificados para se lidar com muitos vetores, veremos
todos os importantes que são os suficientemente necessários para o Ensino Médio.
Obs: Divisão e multiplicação de vetores não será vista, pois não se faz necessário para resolução dos
problemas a nível médio e estas duas operações podem acabar se tornando complicadas, o que
ocupará a mente do estudante com algo que ele quase nunca verá em um problema a nível médio.
•
Igualdade de Vetores:
Para se igualar vetores não basta que os mesmos tenham o mesmo módulo; para dois
vetores serem iguais eles precisam ter também a mesma DIREÇÃO e SENTIDO.
Ex:
Os vetores A e B, ambos com o mesmo módulo X
A
B
Não são iguais, pois possuem SENTIDOS diferentes.
Lembro-me de uma questão que surgiu a pouco menos que um ano, quando anunciado
que um satélite cairia na Terra, a questão era a seguinte: A força que a Terra atraí o Satélite é a
mesma que o satélite atraí a Terra? Bom, segundo a lei da ação e reação o módulo da força é o
mesmo, porém a força não é a mesma, pois o sentido das duas é diferente, portanto a resposta para
esta questão é NÃO. (Origem da questão: Pré-vestibular da UFSC).
•
Adição de Vetores com a mesma DIREÇÃO
Para ter uma adição de vetores com a mesma direção os mesmos precisam possuir também
o mesmo sentido. Caso haja sentidos opostos a operação é de SUBTRAÇÃO e não de
ADIÇÃO. Para somar vetores consideramos dois vetores A e B, com módulo X e Y, ao
somarmos teremos um vetor C com módulo Z com a mesma direção e sentido. Fazendo de
uma forma mais intuitiva teremos:
Imagine um vetor com 8cm e outro com 12cm, com a mesma direção a sentido, somaremos
os dois para obter um novo vetor maior de 20cm, porém com a mesma direção e sentido.
8cm
+ 12cm
=
20cm
•
Subtração de Vetores com a mesma DIREÇÃO
Para se ter uma subtração de vetores com a mesma direção precisamos que os mesmos
tenham sentidos opostos. Desta forma a direção e sentido do vetor resultante será para o
lado do maior vetor da subtração, assim sendo, um vetor A de módulo X, por um vetor B de
módulo 2X, resultará em um vetor C de módulo X para a direção e sentido do vetor A. De
forma intuitiva:
Imagine um vetor com 12cm e outro com 8cm, com a mesma direção e sentidos opostos,
subtrairemos os dois para obter um vetor de 4cm, com a direção e sentido do vetor de
12cm.
12cm
-
8cm
-
=
4cm
=
• Método Poligonal
O método poligonal aqui, por enquanto, servirá apenas para dar a direção e sentido do vetor
resultante da soma de vários vetores. Posteriormente veremos o método do traço poligonal,
que nos dará o módulo do vetor. Para tornar este método mais intuitivo, explicaremos ele
da seguinte forma: Você deve colocar a ponta da flechinha de um vetor no inicio da flecha
de outro. Isto é bem obvio quando se vê que você deve colocar a parte com a seta do vetor
ligado na origem (parte sem seta) do outro vetor, apenas o resultante que faz as duas setas
se encontrarem, ou seja, cabecinha na cabecinha. Vamos ver um exemplo que torna mais
intuitivo:
A
B
C
Temos estes 3 vetores, para somar eles teremos que ligar a cabecinha de cada um na
bundinha do outro e dando o resultante (cor vermelha) como cabecinha na cabecinha,
ficando assim:
Podemos ver claramente o vetor resultante, a direção e o sentido dele, ainda que não vemos o
módulo.
•
Método do Paralelogramo
O método do paralelogramo é utilizado quando se tem dois vetores com direção diferente
um do outro. Colocando de forma visual para ficar mais intuitivo teremos:
Unindo estes dois vetores teremos uma forma, ao contrário do método de cima não precisamos
colocar a cabecinha na bundinha, nosso trabalho aqui é fazer um paralelogramo:
Colocando linhas para fazer o paralelogramo teremos:
Colocando agora o vetor resultante cortando o desenho ao meio, obteremos:
Como podemos ver se movermos o vetor que está na vertical ao lado esquerdo do paralelogramo
até a direita, obteremos uma espécie de triangulo, desta forma:
Podemos ver que existe um ângulo entre os vetores principais (não com o resultante), colocando o
ângulo e chamando ele de teta teremos:
B
R
Ѳ
A
Como podemos ver, este tipo de forma geométrica é facilmente resolvida com a lei dos cossenos,
sejam dados dois lados e um ângulo. Portanto a forma de achar o resultante R é com a lei dos
cossenos, ficando assim:
² || || || || Caso Especial:
Teremos um caso especial do método do
paralelogramo quando os dois vetores que serão
somados forem paralelos, o que faz um ângulo
de 90° entre eles, como o cosseno de 90° é 0
então toda segunda parte da equação acima
será destruída, por dedução teremos:
CosѲ = 0, então
² || || || || ² || || || || ² || ||
Como podemos ver, acabamos caindo em um teorema de Pitágoras, então quando os
vetores são paralelos usaremos o teorema de Pitágoras para resolver o módulo do
resultante.
•
Decomposição de Vetores
A decomposição de vetores é um método extremamente eficiente para resolução de
inúmeros problemas físicos do Ensino Médio; todo vetor pode se decompor em outros dois
vetores e dois vetores podem resultar em apenas um. Todavia, usaremos este método
apenas para um vetor inclinado ou dois vetores paralelos.
Todo vetor inclinado pode ser expresso como dois vetores componentes em paralelo,
temos desta forma que um vetor inclinado (como o vetor acima) pode ser expresso com
uma componente x e outra y, desta forma:
Y
X
O vetor principal foi decomposto em dois vetores secundários, podemos ver que isto forma
um triângulo retângulo, que já sabemos usar o teorema de Pitágoras para descobrir o
módulo. Porém o que mais importa na decomposição é o fato de ser fácil descobrir o valor
das componentes.
Y
R
Ѳ
X
Usando trigonometria básica encontraremos que:
e
Este método da decomposição é interessante e extremamente usado em toda física,
posteriormente veremos que várias formulas físicas usam a decomposição. Quando ocorre questões
envolvendo, por exemplo, o plano inclinado, usamos a decomposição e substituímos o R pela
formula padrão e mantemos o Seno ou Cosseno.
• Vetor Inverso
O vetor inverso é idêntico ao normal, porém possui APENAS sentido diferente. Por exemplo:
Temos que o vetor inverso do mesmo é o vetor debaixo.
•
Produto de um Vetor por um Número
Sempre que um vetor V1 for multiplicado por um número o resultado é outro vetor V2, de
modulo equivalente ao resultado do produto e mesma direção. Sobre o sentido algo deve
ficar bem claro:
1. Se V2 > 0 continua o mesmo sentido de V1
2. Se V2 < 0 o sentido é oposto (inverso) ao de V1
•
Subtração de Vetores
Para subtrair dois vetores A e B, basta usarmos o oposto de B no lugar de B, assim dará o
resultante por subtração. Então teremos que R = A + (-B) onde –B é o oposto. De forma
visual teremos:
A
B
Para subtrair temos que ter o Oposto de B, que ficará assim:
-B
Agora basta usar o método do polígono e ter o vetor resultante:
A
R
-B
Temos então o vetor resultante em vermelho, dado a direção e sentido. A partir do método
do polígono, usando a cabecinha na bundinha.
•
Adição de vários vetores (Método do Poligono)
Para adicionar vários vetores iremos primeiro fazer uma espécie de tabela correspondendo a
uma folha quadriculada e colocaremos os vetores dentro. Cada quadrado que o vetor
ultrapassar equivale a +1 módulo. Desta forma um vetor que se estenda por 2 quadrados tem 2
de módulo, por 5 quadrados, tem 5 de módulo e assim por diante. De forma intuitiva veremos a
tabela a seguir.
C
A
D
B
Usaremos o método do polígono, ou seja, cabecinha na bundinha para unir todas as setas e
traçar uma resultante com a cabecinha na cabecinha.
B
C
D
A
R
O que faremos agora para achar o módulo do vetor é usar o teorema de Pitágoras, não podemos
apenas contar os quadrados neste caso, traçaremos então linhas que se juntem formando um
triângulo retângulo.
B
C
A
D
R
Y
X
Como podemos ver acima temos um triângulo retângulo que pode ser resolvido com a seguinte
fórmula: R² = Y² + X²; como dito anteriormente basta contarmos os quadradinhos para
chegarmos ao resultado, então temos que o módulo de Y é 2 (ocupa 2 quadradinhos) e o
módulo de x é 6 (ocupa 6 quadradinhos), logo:
R² = 2² + 6²
R² = 4 + 36
R² = 40
√40
Não existe raiz de 40 então deixaremos assim.
Vetores são de extrema importância para inúmeras matérias do ensino médio, o que se torna
claro visto nas explicações acima, eles são necessários para resolução de grande parte dos
problemas e não dominá-los significa ter uma extrema dificuldade de resolução de problema no
ensino médio o que acarretará em uma grande dificuldade de entender a física de forma geral e
acabar se saindo bem.
Autor: Wyllyan Rodrigues do Nascimento
Publicado em: Educa Genius
Link: www.educagenius.com