O ESTUDO DAS MÉDIAS
1 Média Aritmética
Em uma família com 4 integrantes, o primeiro consome 1200 ml de leite por dia,
o segundo 1400 ml, o terceiro 1000 ml e o quarto integrante consome 1600 ml de leite
por dia.
O consumo total diário desta família também seria de 5200 ml se cada um dos
seus 4 integrantes consumisse 1300 ml diários de leite.
A função da média é justamente esta, transformar um conjunto de números
diversos em um único valor, a fim de que se possa ter uma visão global sobre os dados.
1.1 Média Aritmética Simples
Dos vários tipos de médias utilizados, o mais simples e o mais comum é a média
aritmética simples.
Dados os números 1200, 1400, 1000 e 1600, para apurarmos o valor médio
aritmético deste conjunto, simplesmente o totalizamos e dividimos o total obtido pela
quantidade de valores do conjunto:
1200 + 1400 + 1000 + 1600 5200
=
= 1300
4
4
Agora preste atenção neste conjunto de números após o colocarmos em ordem
crescente:
{1000, 1200, 1400, 1600}
Observe que se fossemos inserir o valor médio de 1300 neste conjunto de
números ordenados, a sua posição seria exatamente no meio da sequência, ou seja, seria
o valor médio.
1200 + 1400 + 1000 + 1600 5200
=
= 1300
4
4
Observe ainda, das propriedades das médias, que se o valor médio for inserido
ao conjunto de números originais, a média ainda continuará a mesma:
1200 + 1400 + 1000 + 1600 + 1300 6500
=
= 1300
5
5
Digamos que em um concurso você tenha feito três provas e tenha tirado as
seguintes notas: 10, 8 e 3. Qual foi a sua nota média afinal?
Vejamos:
10 + 8 + 3 21
=
=7
3
3
Como a nota mínima para passar no concurso era a nota 7, você se sente feliz e
aliviado por ter conseguido alcançá-la.
1.2 Média Aritmética Ponderada
Mas foi aí que lhe veio a surpresa! Na última hora você soube que a nota média
seria calculada atribuindo-se um peso diferente a cada prova. Você fica apreensivo. E
agora?!?
Nos bastidores você soube que a primeira prova teria peso 3, a segunda peso 2 e
a terceira teria peso 5. Vamos aos cálculos:
Que pena meu rapaz! Infelizmente a sua média de 6,1 não atingiu o valor
mínimo de 7.
Epa! Espere um pouco! Você cometeu um erro! Os pesos não estão na ordem
correta! A primeira prova teria peso 3, a segunda peso 5 e a terceira teria peso 2.
Vejamos se houve alguma mudança, parece-me que você ainda tem chances:
Parabéns! Você foi aprovado, afinal de contas a sua média final até melhorou!
Como você pode perceber, a média aritmética ponderada possibilita atribuir
pesos ou importâncias diferentes a cada valor. Provavelmente por ser mais importante
no processo de seleção, a segunda nota tinha um peso maior. Por isto os itens com
maior peso influenciam mais na média final que os de menor peso. Veja o exemplo
abaixo:
10 ∙ 1 + 2 ∙ 7 10 + 14 24
=
=
=3
1+7
8
8
Você percebe que o primeiro valor tem peso 1, sete vezes menor que o peso do
segundo valor que é igual a 7. Por isto a média final se aproximou muito mais de
segundo valor (2), que do primeiro (10), embora este tenha sido cinco vezes maior que o
segundo.
Resumindo, para se apurar a média aritmética ponderada, primeiramente
multiplique cada valor pelo seu respectivo peso. Some todos os produtos encontrados e
divida este total pela soma dos pesos.
2 Média Geométrica
Este tipo de média é calculado multiplicando-se todos os valores e extraindo-se a
raiz de índice n deste produto.
Digamos que tenhamos os números 4, 6 e 9, para obtermos o valor médio
aritmético deste conjunto, multiplicamos os elementos e obtemos o produto 216.
Pegamos então este produto e extraímos a sua raiz cúbica, chegando ao valor médio 6.
Extraímos a raiz cúbica, pois o conjunto é composto de 3 elementos. Se fossem
n elementos, extrairíamos a raiz de índice n.
Neste exemplo teríamos a seguinte solução:
√4 ∙ 6 ∙ 9 = √216 = 6
A média geométrica pode ser entendida em termos da geometria. A média
geométrica de dois números, a e b, é o tamanho do lado de um quadrado cuja área é
igual à área de um retângulo com lados de tamanho a e b. Similarmente, a média
geométrica de três números, a, b e c, é o tamanho dos lados de um cubo cujo volume é o
mesmo que o de um paralelepípedo com lados de tamanho igual aos três números
dados.
2.1 Utilidades da Média Geométrica
a) Progressão Geométrica
Uma das utilizações deste tipo de média é na definição de uma progressão
geométrica, que diz que em toda P.G. qualquer termo é média geométrica entre o seu
antecedente e o seu consequente:
= ∙ Tomemos como exemplo três termos consecutivos de uma P.G.: 7, 21 e 63.
Temos, então, que o termo 21 é média geométrica dos termos 7 e 63.
Vejamos:
√7 ∙ 63 = √441 = 21
b) Variações Percentuais em Sequência
Outra utilização para este tipo de média é quando estamos trabalhando com
variações percentuais em sequência.
Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 20%
após um mês, 12% após dois meses e 7% após três meses. Qual o percentual médio
mensal de aumento desta categoria?
Sabemos que para acumularmos um aumento de 20%, 12% e 7% sobre o valor
de um salário, devemos multiplicá-lo sucessivamente por 1,2, 1,12 e 1,07 que são os
fatores correspondentes a tais percentuais.
A partir dai podemos calcular a média geométrica destes fatores:
1,2 ∙ 1,12 ∙ 1,07 = 1,43808 = 1,128741
Como sabemos, um fator de 1,128741 corresponde a 12,8741% de aumento.
Este é o valor percentual médio mensal do aumento salarial, ou seja, se aplicarmos três
vezes consecutivas o percentual 12,8741%, no final teremos o mesmo resultado que se
tivéssemos aplicado os percentuais 20%, 12% e 7%.
Digamos que o salário desta categoria de operários seja de R$ 1.000,00,
aplicando-se os sucessivos aumentos temos:
Salário inicial
R$ 1.000,00
R$ 1.200,00
R$ 1.344,00
+ % informado
20%
12%
7%
Salário final
R$ 1.200,00
R$ 1.344,00
R$ 1.438,08
Salário inicial
R$ 1.000,00
R$ 1.128,74
R$ 1.274,06
+ % médio
12,8417%
12,8417%
12,8417%
Salário final
R$ 1.128,74
R$ 1.274,06
R$ 1.438,08
Observe que o resultado final de R$ 1.438,08 é o mesmo nos dois casos.
Se tivéssemos utilizado a média aritmética no lugar da média geométrica, os
valores finais seriam distintos, pois a média aritmética de 13% resultaria em um salário
final de R$ 1.442,90, ligeiramente maior como já era esperado, já que o percentual de
13% utilizado é ligeiramente maior que os 12,8417% da média geométrica.
c) Comparação de diferentes itens
A média geométrica é frequentemente utilizada quando comparamos diferentes
itens – encontrando uma única “figura representativa” para estes – quando cada um
desses itens possuem múltiplas propriedades que possuem diferentes alcances
numéricos.
Por exemplo, a média geométrica pode nos dar uma “média” significativa para
comparar duas companhias que estão sendo classificadas numa escala de 0 a 5 para suas
sustentabilidades ambientais, e sendo classificadas de 0 a 100 para suas viabilidades
financeiras.
Se e a média aritmética fosse usada em vez da média geométrica, a viabilidade
financeira pesaria mais, pois seu alcance numérico é grande; logo, uma pequena
mudança percentual na classificação financeira (por exemplo: uma mudança de 80 para
90) faz uma grande diferença na média aritmética do que uma grande diferença
percentual na classificação da sustentabilidade ambiental (por exemplo: uma mudança
de 2 para 5 na escala).
O uso da média geométrica normaliza os alcances que podem ser atingidos,
então nenhum alcance dominará os pesos, e uma dada mudança percentual em qualquer
das propriedades possui o mesmo efeito na média geométrica.
Concluímos então, que uma mudança de 20% na sustentabilidade ambiental (de
4 para 4,8 na classificação) possuirá o mesmo efeito na média geométrica que uma
mudança de 20% na viabilidade financeira (de 60 para 72 na classificação).
3 Média Harmônica
Definimos a média harmônica entre os números reais e positivos x1, x2, x3, ..., xn
como sendo o inverso da média aritmética do inverso destes números.
Como sabemos a média aritmética dos números x1, x2, x3, ..., xn é dada por:
+ + + ⋯ + Só que no caso da média harmônica estamos falando do inverso destes números,
então teríamos a seguinte média aritmética:
1
1
1
1
+ + + ⋯+
Além disto, como vimos que a média harmônica é o inverso da média aritmética
do inverso dos referidos números, então finalmente temos:
1
1
1
1
+
+
+
⋯
+
3.1 Quando utilizamos a Média Harmônica
A média harmônica é utilizada quando estamos trabalhando com grandezas
inversamente proporcionais.
Um exemplo clássico é aquele onde estamos trabalhando com velocidade e
tempo, pois ao aumentarmos a velocidade diminuímos o tempo necessário para
percorrer um determinado trajeto e vice-versa.
3.2 Compreendendo o Conceito de Média Harmônica
Já estudamos a média aritmética e a média geométrica, que conceitualmente são
de mais fácil compreensão, no entanto apesar de simples o seu cálculo, a média
harmônica é um conceito um pouco mais difícil de entender.
Para uma maior facilidade de assimilação do conceito, como de costume vamos
recorrer a um exemplo:
- Um veículo realizou o trajeto de ida e volta entre as cidades A e B. Na ida ele
desenvolveu uma velocidade média de 80 km/h, na volta a velocidade média
desenvolvida foi de 120 km/h. Qual a velocidade média para realizar todo o percurso de
ida e volta?
Embora não tenha sido dito no enunciado, estamos considerando que os trajetos
de ida e de volta tem a mesma medida.
É fácil entender que a média aritmética das velocidades seria de 100 km/h:
80 + 120
= 100
2
Porém, a pergunta não foi qual a média das velocidades, mas sim qual a
velocidade média para realizar todo o percurso.
A resposta para esta pergunta seria a média harmônica de 96 km/h:
Mas por que 96 km/h? Em que se baseia este resultado?
Vamos fazer o seguinte, já que independentemente da distância entre as cidades
as velocidades médias foram de 80 km/h na ida e de 100 km/h na volta, para facilitar a
explicação vamos arbitrar que a distância entre as cidades A e B seja de 120 km.
Como base nestas informações, podemos concluir que o tempo gasto na ida seria
de uma hora e meia, que é a distância entre as cidades dividida pela velocidade média
da ida:
120
= 1,5
80
Analogamente na volta o tempo gasto seria de uma hora:
120
=1
120
Então, para realizar o percurso total de 240 km se gastaria 2,5 h, donde
concluímos que a velocidade média foi de 96 km/h:
240
= 96
2,5
Para ficar mais claro que os 96 km/h se referem à média harmônica, vamos
incluir um passo a mais no cálculo realizado acima para apurá-la:
2
1
1
80 + 120
=
2
2 ∙ 240 480
=
=
= 96
3+2
5
5
240
Percebeu?
Portanto: A velocidade média para se percorrer todo o percurso de ida e volta
seria de 96 km/h.
4 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Média Aritmética Simples e Ponderada e Média Geométrica
1) Qual é a média aritmética simples dos números 11, 7, 13 e 9?
Como visto na parte teórica, a solução deste exercício resume-se em somarmos
os números e dividirmos este total por quatro, que é a quantidade de números:
11 + 7 + 13 + 9 40
=
= 10
4
4
Logo: A média aritmética simples destes números é 10.
2) Qual é a média aritmética ponderada dos números 10, 14, 18 e 30 sabendo-se que os
seus pesos são respectivamente 1, 2, 3 e 5?
Neste outro caso a solução consiste em multiplicarmos cada número pelo seu
respectivo peso e somarmos todos estes produtos. Este total deve ser então dividido pela
soma total dos pesos:
Assim sendo: A média aritmética ponderada deste conjunto de números é 22.
3) Qual é a média geométrica dos números 2, 4, 8, 16 e 32?
Se dispusermos de uma calculadora científica, este exercício pode ser
solucionado multiplicando-se todos os números e extraindo-se do produto final, a raiz
de índice cinco, pois se tratam de cinco números:
√2 ∙ 4 ∙ 8 ∙ 16 ∙ 32 = √32768 = 8
Se não dispusermos de uma calculadora científica esta solução ficaria meio
inviável, pois como iríamos extrair tal raiz, isto sem contar na dificuldade em
realizarmos as multiplicações?
Repare que todos os números são potência de 2, podemos então escrever:
Como dentro do radical temos um produto de potências de mesma base,
somando-se os expoentes temos:
2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 → 2
Finalmente dividindo-se o índice e o expoente por 5 e resolvendo a potência
resultante:
!
2 → 2 →2 →8
Então: A média geométrica deste conjunto de números é 8.
4) Dado um conjunto de quatro números cuja média aritmética simples é 2,5, se
incluirmos o número 8 neste conjunto, quanto passará a ser a nova média aritmética
simples?
Na parte teórica vimos que a soma dos elementos de um conjunto de números,
dividida pela quantidade de elementos deste conjunto, resulta na média aritmética
simples entre eles. Se chamarmos esta soma de S, em função do enunciado podemos nos
expressar matematicamente assim:
"
= 2,5
4
Passando o divisor 4 para o segundo membro e o multiplicando pelo termo 2,5,
obteremos a soma destes quatro números que é igual a 10:
Ao incluirmos o número 8 neste conjunto de números, a soma dos mesmos
passará de 10 para 18 e como agora teremos 5 números ao invés de 4, a média dos
mesmos será 18 dividido por 5 que é igual a 3,6:
10 + 8 18
→
= 3,6
4+1
5
Portanto: Ao inserirmos o número 8 neste conjunto de números, a média
aritmética simples passará a ser igual a 3,6.
5) Em uma sala de aula os alunos têm altura desde 130 cm até 163 cm, cuja média
aritmética simples é de 150 cm. Oito destes alunos possuem exatamente 163 cm. Se
estes oito alunos forem retirados desta classe, a nova média aritmética será de 148 cm.
Quantos alunos há nesta sala de aula?
Sabemos que a média aritmética simples de um conjunto de números é igual à
soma dos mesmos, dividida pela quantidade de números deste conjunto. Se chamarmos
de S a soma da altura de todos os alunos desta classe e de n o número total de alunos,
podemos escrever a seguinte equação:
"
= 150
Isolando a variável S temos:
" = 150 ∙ O enunciado nos diz que se retirarmos todos os oito alunos que medem 163 cm,
teremos 148 cm como a nova média de altura da turma. Expressando esta informação
em forma de equação temos:
" − 8 ∙ 163
= 148
−8
Novamente isolemos a variável S:
" − 8 ∙ 163 " − 1304
=
= 148
−8
−8
" = 148$ − 8% + 1304
" = 148 + 120
Como na primeira equação calculamos que S = 150n, vamos trocar S na segunda
equação por 150n:
" = 148 + 120 = 150
−2 = −120
= 60
Enfim: Nesta sala de aula há 60 alunos.
6) Dados dois números quaisquer, a média aritmética simples e a média geométrica
deles são respectivamente 20,5 e 20. Quais são estes dois números?
Chamemos de a e b estes dois números.
A média aritmética deles pode ser expressa como:
+&
= 20,5
2
Já média geométrica pode ser expressa como:
√ ∙ & = 20
Vamos isolar a na primeira equação:
Agora, para que possamos solucionar a segunda equação, é necessário que
fiquemos com apenas uma variável na mesma. Para conseguirmos isto iremos substituir
a por 41 - b:
Note que acabamos obtendo uma equação do segundo grau:
−& + 41 ∙ & − 400 = 0
Solucionando a mesma temos:
O número b pode assumir, portanto os valores 16 e 25.
É de se esperar, portanto que quando b for igual a 16, que a seja igual a 25 e
quando b for igual a 25, que a seja igual a 16. Vamos conferir.
Sabemos que a = 41 – b, portanto atribuindo a b um de seus possíveis valores,
iremos encontrar o valor de a.
Para b = 16 temos:
= 41 − & → = 41 − 16 → = 25
Para b = 25 temos:
= 41 − & → = 41 − 25 → = 16
Concluindo: Os dois números são 16 e 25.
7) A média geométrica entre dois números é igual a 6. Se a eles juntarmos o número
48, qual será a média geométrica entre estes três números?
Se chamarmos de P o produto destes dois números, a partir do que foi dito no
enunciado podemos montar a seguinte equação:
√' = 6
Elevando ambos os membros desta equação ao quadrado, iremos obter o valor
numérico do produto destes dois números:
√' = 6 → (√') = 6 → ' = 36
Agora que sabemos que o produto de um número pelo outro é igual 36, resta-nos
multiplicá-lo por 48 e extrairmos a raiz cúbica deste novo produto para encontrarmos a
média desejada:
Note que para facilitar a extração da raiz cúbica, realizamos a decomposição dos
números 36 e 48 em fatores primos. Acesse a página decomposição de um número
natural em fatores primos para maiores informações sobre este assunto.
Respondendo à pergunta:
Ao juntarmos o número 48 aos dois números iniciais, a média geométrica
passará a ser 12.
8) Um comerciante pretende misturar 30 kg de um produto A, que custa R$ 6,80/kg com
um produto B que custa R$ 4,00/kg para obter um produto de qualidade intermediária
que custe R$ 6,00/kg. Quantos quilogramas do produto B serão utilizados nesta
mistura?
Interpretando o enunciado, entendemos que devemos somar o valor total de dois
produtos e depois dividir este total pela soma da quantidade destes dois produtos, de
sorte que o resultado, ou seja, a média, resulte em R$ 6,00/kg.
A representação matemática desta situação pode ser vista abaixo:
* ∙ 6,8 + + ∙ 4
=6
*++
Como sabemos que A = 30, vamos substituí-lo na equação a fim de podermos
encontrar o valor de B:
Portanto: 12 kg do produto B serão utilizados nesta mistura para que o
quilograma do produto final custe R$ 6,00.
9) A média das notas dos 50 alunos de uma classe e 7,7. Se considerarmos apenas as
notas dos 15 meninos, a nota média é igual a 7. Qual a média das notas se
considerarmos apenas as meninas?
Nesta classe de 50 alunos temos 15 meninos e consequentemente temos 35
meninas.
Se somarmos a pontuação total obtida pelas meninas, à pontuação total obtida
pelos meninos e dividirmos o valor desta soma pelo número de alunos da classe, iremos
obter a sua média que é igual a 7,7.
Como sabemos, ao multiplicarmos o valor da média pela quantidade de
elementos, obtemos o somatório dos mesmos.
Em função do explanado acima, para solucionar o problema vamos montar uma
equação onde chamaremos de x a média das notas das meninas:
35 ∙ + 15 ∙ 7
= 7,7
50
Solucionando a equação temos que média das notas das meninas é igual a 8.
10) A média aritmética simples de 4 números pares distintos, pertencentes ao conjunto
do números inteiros não nulos é igual a 44. Qual é o maior valor que um desses
números pode ter?
Quando falamos de média aritmética simples, ao diminuirmos um dos valores
que a compõe, precisamos aumentar a mesma quantidade em outro valor, ou distribuí-la
entre vários outros valores, de sorte que a soma total não se altere, se quisermos obter a
mesma média.
Neste exercício, três dos elementos devem ter o menor valor possível, de sorte
que o quarto elemento tenha o maior valor dentre eles, tal que a média aritmética seja
igual a 44. Este será o maior valor que o quarto elemento poderá assumir.
Em função do enunciado, os três menores valores inteiros, pares, distintos e não
nulos são: 2, 4 e 6.
Identificando como x este quarto valor, vamos montar a seguinte equação:
2+4+6+
= 44
4
Solucionando-a temos que o maior valor que um desses números pode ter é 164.
REFERÊNCIAS
http://www.matematicadidatica.com.br;
http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia_geom%C3%A9trica