Análise Matemática - 2009/2010
I - Funções reais de variável real
1. Números Reais.
1.1 - Números naturais, números relativos, números racionais
e números reais.
De uma forma muito simples vamos recordar os números:
• Números Naturais ℕ -
1, 1+1=2, 2+1,...
• Números Relativos ℤ simétricos e o 0.
são os números naturais, os seus
…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…
• Números Racionais ℚ -
são todos os números que possam
representar-se na forma
x
, com x e y ∈ ℤ e y ≠ 0
y
• Números Reais ℝ - Além dos números racionais englobam também
os irracionais (exemplos: 2 , π ,…)
Obviamente ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
1.1 Propriedades básicas dos números reais, axiomática dos
números reais.
Vamos admitir o conjunto ℝ , cujos elementos são os números reais, e no
qual supomos definidas duas operações: adição (+) e multiplicação ( × ).
Na axiomática dos números reais os axiomas estão divididos em três
grupos:
• Axiomas de Corpo
• Axiomas de Ordem
• Axioma de Supremo
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Axiomas são propriedades/preposições que não se demonstram, pois
admitem-se (definem-se) como verdadeiras.
Axiomas de um Corpo
Axioma 1 - A adição e a multiplicação são operações comutativas no
conjunto dos reais.
x+ y= y+x
e xy = yx
Axioma 2 - A adição e a multiplicação são operações associativas no
conjunto dos reais.
( x + y ) + z = x + ( y + z ) e ( xy ) z = x ( yz )
Axioma 3 - A multiplicação é distributiva em relação à adição
x ( y + z ) = xy + xz
Quaisquer que sejam x, y , z ∈ ℝ
Axioma 4 - A adição e a multiplicação são operações com elemento
neutro: Os elementos neutros das duas operações são números reais
distintos.
Tem-se para todo o x ∈ ℝ , x + 0 = 0 + x = x
e
x.1 = 1. x = x
Axioma 5 - Todo o número real tem um simétrico (isto é, qualquer que
seja o real x existe pelo menos um y ∈ ℝ tal que x + y = 0 ; todo real
distinto de zero tem inverso (quer dizer, qualquer que seja o real x ≠ 0 ,
existe pelo menos um y ∈ ℝ tal que ( xy = 1) .
Axiomas de Ordem
Axioma 6 - O conjunto dos números positivos, ℝ + , é um subconjunto de
ℝ fechado para as operações de adição e de multiplicação (esta última
afirmação significa que, se x e y são números positivos, a sua soma e o seu
produto também o são).
Nota: um número real diz-se negativo sse o seu simétrico é positivo.
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Axioma 7- Qualquer número real ou é positivo, ou é negativo ou é nulo.
Axioma do Supremo
Axioma 8 - Qualquer subconjunto de ℝ majorado e não vazio tem
supremo.
1.2 Intervalos. Conjuntos ilimitados. Máximo, mínimo, supremo e
ínfimo de um conjunto.
Sendo
a, b ∈ ℝ
e
a≤b
é
costume
designar-se
por
[ a, b] ,[ a, b[ , ]a, b] e ]a, b[ respectivamente, os conjuntos dos reais, x que
verificam as condições: a ≤ x ≤ b , a ≤ x < b , a < x ≤ b e a < x < b .
Repare que:
• [ a , b ] é um intervalo fechado de extremos a e b
• ]a, b[ é um intervalo aberto de extremos a e b
• [ a, b[ e ]a, b ] são intervalos semi-fechados ou semi-abertos
Conjuntos ilimitados.
Sendo a ∈ ℝ existem dois tipos de intervalo de origem em a ilimitados à
direita:
• O conjunto fechado [ a, +∞[
• O conjunto aberto ]a, +∞[
• O próprio conjunto ℝ é também considerado um intervalo ilimitado
e designado às vezes por ]−∞, +∞[
Majorante e minorante.
Seja K um subconjunto de ℝ e a e b números reais:
• Diremos que b é majorante do conjunto K sse qualquer elemento de
K for menor ou igual a b.
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• Diremos que a é minorante de K sse a ≤ x , ∀x ∈ K
Exemplos:
• K = [1, 6]
1 é minorante, mas também o -2 é um minorante
6 é majorante mas também o 7 é majorante
• K = ]0, +∞[
Neste caso qualquer número negativo é minorante (o 0 também é um
minorante). Este conjunto não tem majorantes.
• ℝ não tem majorantes nem minorantes
Definições:
Seja K ⊂ ℝ .
• K diz-se majorado (ou limitado superiormente, ou limitado à
direita) sse tiver majorantes.
• K diz-se minorado (ou limitado inferiormente, ou limitado à
esquerda) sse tiver minorantes.
• K diz-se limitado se for majorado e minorado.
Exemplos: {−2,10} ; {0} ; {1, 2, 3, 200} e ]1, 4[
• K diz-se ilimitado se não for limitado.
Exemplos: ]−∞, +∞[ ; ]−∞, 4] e [ −3, +∞[
Seja K ⊂ ℝ .
Pode existir ou não em K um elemento maior de que todos os outros, isto é
pode existir ou não um número real c que verifique conjuntamente as
condições: c ∈ K e c é majorante de K. Se existir chama-se máximo do
conjunto.
Analogamente, o mínimo de K, se existe, é o minorante de K que pertence a
K.
Nota: O máximo ou mínimo a existir é único.
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Exemplos
•
•
•
{0,1} tem máximo 1 e mínimo 0
[0,1] tem máximo 1 e mínimo 0
]−2, 9] tem máximo 9 e não tem mínimo (-2 é minorante mas não
pertence ao conjunto)
• Os conjuntos ℝ e ∅ não têm mínimo nem máximo
Supremo e ínfimo
Seja K ⊂ ℝ , designemos por V o conjunto de todos os seus majorantes
(ter-se-á que V = ∅ sse k não for majorado). Chama-se supremo de K (e
designa-se por sup K o elemento mínimo do conjunto V (no caso de V não
ter mínimo dir-se-á que K não tem supremo).
Nota: Quando o supremo de k existe, é único e pode pertencer ou não ao
conjunto K; pertence certamente ao conjunto V, isto é, é um majorante de K
(precisamente o menor de tais majorantes).
Raciocínio idêntico pode ser feito para o ínfimo de K ou inf K, ou seja
representa o maior dos minorantes.
É óbvio que qualquer conjunto K que tenha máximo tem supremo, sendo
sup K = max K; Assim como qualquer conjunto com mínimo tem ínfimo
igual ao mínimo inf K = min K.
Exemplos:
sup [ 0,1] =max [ 0,1] = 1
sup ]0,1[ = 1
;
;
inf [ 0,1] =min [ 0,1] = 0
inf ]0,1[ = 0
Nota: No intervalo aberto ]0,1[ não existe máximo nem mínimo.
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2 . Noções topológicas no conjunto dos reais.
2. 1- Módulo, distância, vizinhança.
Def.1.1 Seja x ∈ ℝ , designa-se módulo ou valor absoluto ao
real positivo (ou nulo),
 x se x ≥ 0
x =
− x se x < 0
Prop.1.2* Sejam x e y, dois números reais, então:
(2)
x ≥0
x≤ x
(3)
−x = x
(4)
xy = x × y
(5)
se y ≠ 0,
(1)
(6)
x
x
=
y
y
x+ y ≤ x + y
(7)
x− y ≥ x − y
(8)
se n∈ ℕ ,
xn = x
n
Equações com módulos
x =0⇔ x=0
x = a ⇔ x = a ∨ x = −a
x − b = a ⇔ x − b = a ∨ x − b = −a
*
A demonstração destas propriedades encontra-se no livro do Prof. Campos Ferreira
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Inequações com módulos
Supondo a ∈ ℝ + e b ∈ ℝ −
x < a ⇔ x < a ∧ x > −a ⇔ −a < x < a ⇔ x ∈ ]− a, a[
x ≤ a ⇔ x ≤ a ∧ x ≥ −a ⇔ −a ≤ x ≤ a ⇔ x ∈ [− a, a ]
x > a ⇔ x > a ∨ x < −a ⇔ x ∈ ]− ∞,−a[ ∪ ]a,+∞[
x ≥ a ⇔ x ≥ a ∨ x ≤ −a ⇔ x ∈ ]− ∞,−a] ∪ [a,+∞[
x < 0 ⇔ x ∈∅
x ≤0⇔ x=0
x < b ⇔ x ∈∅
Exemplos:
 x + 1 se x + 1 ≥ 0
− ( x + 1) se x + 1 < 0
a) x + 1 = 
b) x + 2 = 3 ⇔ x + 2 = −3 ∨ x + 2 = 3 ⇔ x = −5 ∨ x = 1
c) x + 2 < 3 ⇔ −3 < x + 2 < 3 ⇔ −5 < x < 1
d) x + 2 > 3 ⇔ x + 2 < −3 ∨ x + 2 > 3 ⇔ x < −5 ∨ x > 1
Distância entre dois números reais
Def.1.3
Seja x, y ∈ ℝ , define-se distância entre x e y, d ( x, y) = x − y
Prop.1.4 * Sejam x, y, e z ∈ ℝ e d a distância definida
anteriormente então, são válidas as três propriedades:
(1) d ( x , y ) ≥ 0
e
d ( x , y ) = 0 sse
x= y
(2) d ( x , y ) = d ( y , x )
(simetria da distância)
(3) d ( x, z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z )
(desigualdade triangular)
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Def.1.5 Vizinhança
Seja a um n.º real, dado um n.º ε > 0, designa-se por vizinhança
de a, de raio ε , ao conjunto Vε (a ) = { x ∈ ℝ : d ( x, a) < ε } = { x ∈ ℝ : x − a < ε }
Exemplo:
V1 (5) = { x ∈ ℝ : x − 5 < 1} = { x ∈ ℝ : 4 < x < 6}
2.2- Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um
conjunto.
Prop.1.6 Seja A um subconjunto de números reais, A ⊂ ℝ , e b um
número real. Diz-se que:
(i) b é um ponto interior ao conjunto A se existir uma
vizinhança de b contida em A, (isto é se existir ε >0 Tal que
Vε (b) ⊂ A ).
(ii) b é um ponto exterior ao conjunto A se existir uma
vizinhança de b disjunta de A isto é se existir ε >0 tal que
Vε (b) ∩ A = ∅ .
(iii)
b é um ponto fronteiro de A se b não for ponto
interior nem ponto exterior de A .
(iv)
b é um ponto aderente de A se ∀Vε (b) ∩ A ≠ φ
(v)
b é um ponto de acumulação de A se
∀Vε (b) ∩ ( A | {b}) ≠ φ
Faça a aplicação dos conhecimentos anteriores ao conjunto A
A = ]1,4] ∪ {10}
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Def.1.7 Dado um conjunto A ⊂ ℝ , designa-se:
o
(1) Interior de A, int(A) (ou A ), o conjunto das pontos interiores
de A.
(2) Exterior de A, ext(A), o conjunto dos pontos exteriores de A.
(3) Fronteira de A, fr(A), o conjunto dos pontos fronteiros a A.
(4) Aderência de A, ou fecho de A, o conjunto int(A) ∪ fr(A) e
denota-se por A , ( A = A ∪ fr ( A) )
(5) Derivado de A, A´, é o conjunto dos pontos de acumulação.
Exemplos:
(1)
B = [0,1]
int( B) = ]0,1[ fr(B)= {0,1}
ext (B) = ]− ∞,0[ ∪ ]1,+∞[
(2)
(3)
X =∅
int ( X ) = ∅
ext(X)= ℝ
B = [0,1]
fr(X)= ∅
X
=∅
fr(X)= ∅
X
=ℝ
B′ = [0,1]
X ′ =∅
X =ℝ
int(X)= ℝ
ext (X)= ∅
X′ = ℝ
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Obs.:
Sendo X c o complementar do conjunto X ( X c = ℝ \X)
Qualquer que seja X ⊂ ℝ e X c :
(i) int( X c )=ext(X)
(ii) fr( X c )=fr(X)
(iii) int(X) ⊂ X′ ⊂ X ⊂ X
2.3- Conjuntos abertos e conjuntos fechados. Conjuntos
limitados.
Def.1.8 Um conjunto A ⊂ ℝ diz-se aberto se coincide com o
interior (A= A ) e A ⊂ ℝ diz-se fechado se coincidir com o fecho
−
( A = A ).
Exemplos:
A= ]0,5[
B= [0,3]
C= ]0,5]
A é aberto
B é fechado
C não é aberto nem fechado
Def.1.9 Conjunto limitado
Um conjunto A ⊂ ℝ diz-se limitado se, dado um elemento b ∈ A ,
existe ε ∈ ℝ + tal que A ⊂ Vε (b) . Caso contrário diz-se que A é
ilimitado.
Exemplos:
(1)
{
B= [− 5,3[ ∪ ]10,100[ ∪ π ,10 4
}
B é limitado
(2)
C= ]− ∞, π ]
C não é limitado, diz-se então que é ilimitado.
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