Matemática II
11
AULA
Prof. Sérgio Tambellini
Medidas dos principais arcos da circunferência
Divisão da circunferência em 8 partes iguais:
Ao dividir a circunferência em 8 partes iguais, cada arco
Tópicos da aula
 Origem das medidas dos arcos
 Divisão da circunferência em 4 partes iguais (quadrante)
 Divisão da circunferência em 12 partes iguais
 Divisão da circunferência em 8 partes iguais
 Arcos simétricos
tem a medida de
2  
360 o

 .
 45 o  ou
8
4
8


45o  
4
Resumo teórico
Origem das medidas dos arcos:
Por convenção a origem das medidas dos arcos numa
circunferência é o ponto situado no semi eixo horizontal à
direita, com medidas positivas, dos arcos, no sentido anti
horário.
0o (0 rad)
Divisão da circunferência em 4 partes iguais:
Ao dividir a circunferência em 4 partes iguais ficam
definidos 4 quadrantes, numerados em ordem crescente, no
sentido anti horário. Cada quadrante tem a medida de
360 o
2  

 90 o  ou
 .
4
4
2


90o  
2
o
2 quadrante
180o  
3o quadrante
Arcos simétricos:
Um arco de medida x no 1o quadrante possui simétricos
nos demais quadrantes. A medida de cada arco simétrico
de x nos demais quadrantes, em graus ou radianos, é:
Simétrico de x no 2o quadrante = 180o – x (ou  – x).
Simétrico de x no 3o quadrante = 180o + x (ou  + x).
Simétrico de x no 4o quadrante = 360o – x (ou 2 – x).
1o quadrante
0o (origem)
360o 2
 3 
270o  
 2 
4o quadrante
180o – x
(ou  – x)
x
Divisão da circunferência em 12 partes iguais:
Ao dividir a circunferência em 12 partes iguais, cada arco
tem a medida de
360 o
2  

 30 o  ou
 .
12
12 6 

180o + x
(ou  + x)

30o  
6
360o – x
(ou 2 – x)
Exemplo: Obter os arcos simétricos no 2o, 3o e 4o
quadrantes do arco do 1o quadrante de medida 36o.
0o (0 rad)
Sendo x = 36o a medida do arco do 1o quadrante, temos:
2o quadrante : 180o – 36o = 144o.
3o quadrante : 180o + 36o = 216o.
4o quadrante : 360o – 36o = 324o.
23
Exemplo: Obter os arcos simétricos no 2o, 3o e 4o
2
quadrantes do arco do 1o quadrante de medida
.
7
Sendo x =
3) Obter os arcos simétricos no 2o, 3o e 4o quadrantes do

arco do 1o quadrante de medida 60o   .
3
2
a medida do arco do 1o quadrante, temos:
7

60o  
3
2 7  2 5
2 quadrante :  
.


7
7
7
o
3o quadrante :  
2 7   2  9
.


7
7
7
4o quadrante : 2 
2 14  2 12
.


7
7
7
Exercícios de aula
1) Obter os arcos simétricos no 2o, 3o e 4o quadrantes do

arco do 1o quadrante de medida 30o   .
6

30o  
6
4) Com relação aos resultados obtidos nos exercícios (1),
(2) e (3) dados anteriormente complete a circunferência
abaixo com as medidas, em graus e em radianos, das 17
principais medidas (0o, 30o, 45o, ... , 330o e 360o) dos arcos
da primeira volta positiva da circunferência.
2) Obter os arcos simétricos no 2o, 3o e 4o quadrantes do

arco do 1o quadrante de medida 45o   .
4

45o  
4
5) Obter os arcos simétricos no 2o, 3o e 4o quadrantes do
arco do 1o quadrante de medida 80o.
24
6) Obter os arcos simétricos no 1o, 3o e 4o quadrantes do
arco do 2o quadrante de medida 148o.
7) Obter os arcos simétricos no 2o, 3o e 4o quadrantes do

arco do 1o quadrante de medida .
5
10) Calcule, em radianos, a medida do arco simétrico, no
terceiro quadrante, do arco de medida 5 radianos.
8) Obter os arcos simétricos no 1o, 2o e 4o quadrantes do
11
arco do 3o quadrante de medida
.
9
Tarefa de casa
1) O arco simétrico no 3o quadrante do arco de medida
288o é igual a
a) 72o. b) 108o. c) 198o. d) 252o. e) 272o.
2) Sendo p a diferença entre as medidas, em radianos, de
dois arcos simétricos do 4o e do 2o quadrantes,
respectivamente, e q a diferença entre as medidas, em
radianos, de dois arcos simétricos do 3o e do 1o quadrantes,
respectivamente, então é certo afirmar que o valor de p + q
em radianos é igual a

3
a) 0.
b) . c)  . d)
. e) 2 .
2
2
3) O arco simétrico, no terceiro quadrante, do arco de
medida 2 radianos é igual a
a)   2 .
b)   2 .
c) 4   .
d) 2  2 .
e) 2  2 .
9) Considerando como 57o a medida aproximada de um
arco de medida 1 radiano
a) calcule em graus os arcos de medidas 2, 3, 4, 5 e 6
radianos;
b) localize na circunferência dada abaixo, as medidas dos
arcos de medidas 1, 2, 3, 4, 5 e 6 radianos, tendo como
referências as 17 principais medidas dos arcos da
circunferência, obtidas na questão (4) dada anteriormente.
Questão de raciocínio lógico
Dada a sequência (2, 12, 16, 17, 18, 19, ...) o próximo
número deste sequência é
a) 23.
b) 33.
c) 84.
d) 200.
e) 324.
25