Teorema de Poncelet
1. (Poncelet para triângulos) Seja ABC um triângulo, Γ o circuncírculo e Γ0 o incírculo. Mostre que para
qualquer ponto à ∈ Γ, existem B̃, C̃ tal que Γ é o circuncírculo e Γ0 o incírculo do triângulo ÃB̃ C̃.
2. (Classificação de cônicas) Seja C ⊂ CP2 uma cônica. Mostre que existe uma mudança de variável que
transforma a cônica C em uma das seguintes cônicas:
(a) Reta dupla: x2 = 0
(b) Par de retas: x2 + y 2 = 0
(c) Cônica irredutível: x2 + y 2 + z 2 = 0
3. (Função de Gauss) Seja
C = {[x, y, z] ∈ CP2 |P (x, y, z) = 0} ⊂ CP2
uma curva de grau d no plano (isto é, P é um polinômio homogêneo de grau d). Seja p ∈ C um ponto
na curva. Nós chamamos a curva C de lisa no ponto p se
Px (p0 ) 6= 0 ou Py (p0 ) 6= 0 ou Pz (p0 ) 6= 0
(a) Mostre que se a curva C é lisa no ponto p, então a reta tangente a curva no ponto p é bem definida,
e que a equação da reta é
Px (p0 )x + Py (p0 )y + Pz (p0 )z = 0
(b) Nós chamamos uma curva C de lisa se ela for lisa em todos os pontos p ∈ C. Seja
C ∗ = {l ⊂ CP2 |l é tangente a C} ⊂ (CP2 )∗
Nós chamamos C ∗ a curva dual a C.
Seja Γ : C → C ∗ tal que Γ(p) é a reta tangente a C no ponto p. Esse é a função de Gauss.
Conclua que
Γ(p) = [Px (p) : Py (p) : Pz (p)]
4. (Dual de uma cônica é uma cônica) Seja C ⊂ CP2 uma cônica irredutível. Mostre que C é lisa. Mostre
que C ∗ ⊂ (CP2 )∗ é uma cônica.
Dica: Usando a classificação de cônicas, é suficiente checar para qualquer exemplo de cônica irredutível.
Outra maneira é a seguinte: reescreva a equação de C como
C : xT Ax = 0
onde A é uma matriz 3x3 simétrica. Mostre que a função de Gauss é Γ(x) = Ax, e que
C ∗ : xT A−1 x = 0
5. Mostre que CP1 é homeomorfo a esfera S 2 . Mostre que uma cônica irredutível é homeomorfa a uma
esfera.
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6. Mostre que uma subtriangulação de um poliedro tem a mesma característica de Euler que o poliedro
original.
7. Mostre que RP2 é uma superfície compacta, mas não orientada. Calcule a sua característica de Euler.
8. Calcule a característica de Euler da superfície compacta orientada de gênero g.
9. Mostre que uma curva cúbica lisa tem gênero 1.
10. (Fórmula geral de Riemann-Hurwitz) Seja X, Y superfícies compactas orientadas, f : X → Y uma
função contínua, e R ⊂ Y um subconjunto finito. Seja d = #π −1 (p) para p ∈ Y − R. Extenda a
definição de cobertura dupla para uma cobertura de grau d. Deduza a fórmula de Riemann-Hurwitz:
X
χ(X) = dχ(Y ) +
(#π −1 (p) − d)
p∈R
Como uma aplicação, mostre que uma curva lisa de grau d tem gênero
d−1
2
.
11. Como outra aplicação de Riemann-Hurwitz, mostre que se X → Y é uma cobertura, então g(X) ≥
g(Y ), onde g(S) é o gênero da superfície S.
Recomendações de livros e artigos:
• Griffiths, Harris - A Poncelet theorem in space (1977)
Um artigo sobre o teorema de Poncelet, usando métodos similares com o que a gente usou hoje.
• King - Three Problems in Search of a Measure (1994)
Um artigo muito interessante com uma demonstração completamente diferente do teorema de Poncelet.
• Allen Hatcher - Algebraic Topology
Uma introdução a topologia algébrica (disponível de graça no site do Hatcher).
• Harris - Algebraic Geometry - A First Course
Uma introdução excelente a geometria algébrica.
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