VETORES
Viviane
Maria Beuter
VETORES
Viviane Maria Beuter
Universidade do Estado de Santa Catarina - UDESC
Centro de Ciências Tecnológicas - CCT
Engenharia Civil
2014
Vetores
VETORES
Viviane
Maria Beuter
Muitas grandezas físicas, como velocidade, força, deslocamento
e impulso, para serem completamente identicadas, precisam,
além da magnitude, da direção e do sentido. Estas grandezas
são chamadas grandezas vetoriais ou simplesmente vetores.
Geometricamente, vetores são representados por segmentos (de
retas) orientados (segmentos de retas com um sentido de per-
curso) no plano ou no espaço. A ponta da seta do segmento orientado é chamada ponto nal ou extremidade e o outro ponto
extremo é chamado de ponto inicial ou origem do segmento
orientado.
Vetores
VETORES
Viviane
Maria Beuter
Segmentos orientados com mesma direção, mesmo sentido e
mesmo comprimento representam o mesmo vetor. A direção,
o sentido e o comprimento do vetor são denidos como sendo a
direção, o sentido e o comprimento de qualquer um dos segmentos orientados que o representam.
Este fato é análogo ao que ocorre com os números racionais e as
frações. Duas frações representam o mesmo número racional se
o numerador e o denominador de cada uma delas estiverem na
mesma proporção. Por exemplo, as frações 21 , 24 , e 36 representam o mesmo número racional.
Dizemos que dois vetores são iguais se eles possuem o mesmo
comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido.
Vetores
VETORES
Viviane
Maria Beuter
Na gura acima temos vários segmentos orientados, com origens
em pontos diferentes, que representam o mesmo vetor, ou seja,
são considerados como vetores iguais, pois possuem a mesma
direção, mesmo sentido e o mesmo comprimento.
Vetores
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Viviane
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−
Se o ponto inicial de um representante de um vetor →
v éAeo
→
−
−→
ponto nal é B , então escrevemos V = AB
−
Comprimento (Norma ou Módulo) de um vetor →
v é indicado
−
por ||→
v ||.
−
Um vetor é dito unitário se ||→
v || = 1.
Vetores nulo e oposto
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Viviane
Maria Beuter
O vetor que tem a sua origem coincidindo com a sua extremi→
−
dade é chamado vetor nulo e denotado por 0 , ou seja, qualquer
ponto no espaço é um representante do vetor nulo.
−
−
Para qualquer vetor →
v , o vetor oposto (ou simétrico) de →
v,
−→
denotado por −v , é o vetor que tem mesmo comprimento, mesma
−
direção e sentido contrário ao de →
v.
Vetores colineares e coplanares
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Viviane
Maria Beuter
−
−
Dois vetores →
u e→
v são paralelos (ou colineares) se tiverem a
mesma direção.
−
−
−
Três vetores →
u ,→
v e→
w são coplanares se pertencem ao mesmo
plano.
Soma de vetores
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−
−
Sejam os vetores →
u e →
v representados pelos segmentos ori−→ −→
entados AB e BC , respectivamente. Então os pontos A e C
−→ − →
determinam o vetor soma AC = →
u +−
v.
Observação: Quaisquer que sejam os pontos A, B e C vale a
−→ −→ −→
igualdade AB + BC = AC .
Propriedades da soma
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−
−
Sejam →
u ,→
v
(A1 )
(A2 )
−
e→
w vetores quaisquer:
−
−
−
−
−
−
(→
u +→
v )+→
w =→
u + (→
v +→
w)
→
−
→
−
→
−
→
−
u + v = v + u
→
−
(A3 ) Existe um único vetor nulo 0 tal que para todo
−
vetor →
v , tem-se
→
−
→
− −
→
−
−
v + 0 = 0 +→
v =→
v
−
−
(A4 ) Para todo →
v , existe um único vetor →
v (vetor
−
oposto de →
v ) tal que
→
−
−→
−→
→
−
−
v + (−v ) = (−v ) + →
v = 0
Propriedades:
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−
−
A diferença de dois vetores →
u e→
v quaisquer é denida por
−→
→
−
−
−
u −→
v =→
u + (−v )
A multiplicação de um vetor
→
−
v
por um escalar
a
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−
Sejam a um número real e →
v um vetor. A multiplicação de
→
−
um vetor v por um escalar a é determinada pelo vetor que
possui as seguintes características:
→
−
→
−
−
−
(a) Se a = 0 ou →
v = 0 , então a→
v = 0.
→
−
−
−
(b) Se a 6= 0 ou →
v 6= 0 , o vetor a→
v caracteriza-se por
→
−
−
−
−
(i) a v tem a mesma direção de →
v , ou seja, a→
v e→
v são
vetores paralelos
−
−
(ii) ||a→
v || = |a|||→
v ||
−
(iii) tem o mesmo sentido de →
v , se a > 0 e
−
tem o sentido contrário ao de →
v , se a < 0.
Propriedade de Vetores
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−
−
Propriedades: Sejam →
u e→
v vetores quaisquer, a e b constantes
quaisquer:
(M1 )
(M2 )
(M3 )
(M4 )
−
−
a(b →
u ) = (ab)→
u
→
−
→
−
−
(a + b) u = a u + b →
u
−
−
−
−
a(→
u +→
v ) = a→
u + a→
v
→
−
→
−
1u = u