Luiz Felipe Araujo Mod, Valério Ramos Batista
CMCC, Universidade Federal do ABC
Av. dos Estados, 5001, Santo André, SP
[email protected], [email protected]
0. RESUMO
3.
RELAÇÃO ENTRE SUPERFÍCIES MÍNIMAS E CUR-
Notamos que a expressão (5) é quociente de formas quadráticas. Logo, seu
VATURA MÉDIA
máximo e seu mı́nimo são as raı́zes da equação
Neste trabalho apresentamos um breve histórico da teoria de Superfı́cies
Mı́nimas e principais resultados introdutórios.
Inclusive, esta é sua definição original introduzida por Meusnier em 1776.
Vamos provar o seguinte resultado, que vale quando a superfı́cie é gráfico:
det (B − λG) = 0.
Teorema. Se os bordos da superfı́cie estão fixos e H = 0, então a área
1. HISTÓRICO
Há mais de dois séculos e meio, precisamente em 1744, Euler propôs o
seguinte problema de Cálculo Variacional: Para uma superfı́cie de revolução,
é mı́nima.
De fato, como G é simétrica e positiva definida, então existe uma única G 2
Demonstração: Considere o domı́nio Ω, a função f : Ω → R e a superfı́cie
que é definida positiva e simétrica. Portanto temos
1
dada por F = (x, y, f ). Façamos uma variação f + th, t ∈ (−ε, ε) ⊂ R e
h|∂Ω = 0. Temos assim
k(T ) =
qual geratriz implica área mı́nima?
A(t) =
ZZ √
1
1
1
a + bt + ct2 dxdy,
y
x
a
b
x
z
Rb p
= 2π a y 1 + y ′2 dx. Seja y : [a, b] → R a
O objetivo é minimizar Iy(x)
função procurada e η : [a, b] → R uma variação de y que fixa y(a) e y(b).
Ou seja, η(a) = η(b) = 0 e |η| < ε “pequeno”. Assim,
Z
Iy+tη = I(t) =
b
F (x, y + tη, y ′ + tη ′)dx.
(1)
a
Se I(0) é um mı́nimo, então (1) implica
′
I (0) = 0 =
Z
b
a
int.
=
prts
Z
b
a
onde a = 1 + fx2 + fy2, b = 2(fxhx + fy hy ) e c = h2x + h2y . Por série de Taylor
2
2
√
√
(b
−
4ac)t
bt
√
em t = 0, a + bt + ct2 = a + √ +
+ O(t3).
2 a
8 a3
Logo
ZZ
ZZ
b
fxhx + fy hy
√
√ dxdy =
dxdy
A′(t)|t=0 =
2 a
¶ Ω µ a ¶¸
ZZΩ· µ
fx
fy
∂
∂
h·√ +
h·√
dxdy
=
a
Ω ∂x·
µ a ¶ ∂y µ ¶¸
ZZ
∂ fy
∂ fx
√ +
√
−
dxdy.
h
∂x
∂y
a
a
Ω
Pelo Teorema de Green
µ
¶
¶¸
ZZ · µ
∂
fx
fy
∂
h·√ +
h·√
dxdy = 0
∂x
∂y
a
a
Ω
A′(0) = −
z }| {
{Fx · xt +Fy · η + Fy′ · η ′}dx
¯b Z b
Z b
¯
Fy · ηdx + Fy′ · η ¯¯ − (Fy′ )xηdx =
η[Fy − (Fy′ )x]dx,
1+
y ′2
a
a

φ̃ = 
X
Y

,
g(X, Y ) = X 2 + Y 2 − 1 = 0 e f (X, Y ) = φ̃tMφ̃. Usando multiplicadores de
Lagrange temos:

 f − λg = 0;
X
X
 f − λg = 0.
Y
(6)
Y
fY = 2[1 0] M[X Y ]t,
gX = 2X,
gY = 2Y.
µ
¶
′
d
yy
p
−
= 0.
′2
dx
1+y
(2)
Logo, de (6) temos
µ
fx
√
a
¶
+
x
µ
(1 + fx2)fyy − 2fxfy fxy + (1 + fy2)fxx = 0.
f
√y
a
¶

= 0. Um
y
 
f − λgX
0
X
X
1 0
 X
 · M ·   − 2λ   =   .
 = 2
fY − λgY
0
Y
Y
0 1
y ≡ cosh(0, 67x)/0, 67.
Em 1761, Lagrange estendeu o Cálculo Variacional para dimensão 2 e introduziu o problema: Dada f : Ω → R, sob quais condições graf(f ) tem tem
RR q
1 + fx2 + fy2 dxdy. Mais geralmente, se
RR
3
F : Ω → R é uma parametrização da superfı́cie, A = Ω ||Fx × Fy || dxdy.
Ω
4ac − b2
√
dxdy,
3
Ω 8 a
µ
onde 4ac − b2 = 2(fxhx + fy hy )2 + 4h2x(1 + fy2) + 4h2y (1 + fx2) ≥ 0. Mas
mı́nimo local
seções.
1
2
det G · G

− 12
− 21
·B·G
·B·G
− 21
− 12
¶
1
2
− λI ·det (G ) = 0
1
2
1
2
· G − λG · I · G
1
2
¶
=0
det (B − λG) = 0.
Espandindo esta equação temos
c.q.d.
λ2 − λ tr(G−1 · B) + det (G−1 · B) = 0.
4.
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA CURVATURA
Portanto
MÉDIA
tr(G−1 · B)
.
H=
2
No caso particular de F = (x, y, f ), temos a fórmula anterior. Veremos a
dedução da equação diferencial parcial das superfı́cies mı́nimas nas próximas
µ
1
2
ZZ
4ac − b2 = 0 se, e somente se hx = hy = 0, ou seja, h = 0. Logo, é ponto de

Por isto, det (M − λI) = 0 e assim,
det (G ) · det G
A′′(t)|t=0


 
0
X

.


=
(M − λI2x2)
0
Y
(4)
crı́tico é este. Temos
2
=
8



que por sua vez (4) equivale a H = 0. Vamos analisar que tipo de ponto
implica y = cosh x, e −a = b = 1/2 e y(a) = y(b) = cosh 1 implica


Ou seja,
Aplicando a definição H = tr(G−1B)/2 para o caso de F = (x, y, f ), vemos
αy(b) = cosh(αb + β). Por exemplo, −a = b = 1 e y(a) = y(b) = cosh 1
O objetivo é minimizar A =
1
Sejam
fX = 2[1 0] M[X Y ]t,
·µ ¶ µ ¶ ¸
fx
fy
dxdy.
h √ + √
a x
a y
Ω
cálculo simples mostra que esta igualdade é equivalente a
Solução geral de (2): y = cosh(αx + β)/α, onde αy(a) = cosh(αa + β) e
área mı́nima com f |∂Ω fixo?
1
É fácil ver que
ZZ
Como h é arbitrária, A′(0) = 0 se, e somente se
pois η(a) = η(b) = 0. Como η é arbitrária, então chegamos à Equação
p
Diferencial Ordinária Fy − (Fy′ )x = 0. No caso, F = 2πy 1 + y ′2, donde
p
1
onde φ = G 2 ·ϕ′(t), M = (G− 2 )t ·B ·G− 2 e φ̃ = φ/||φ||. Inclusive, Mt = M.
pois h|∂Ω = 0. Portanto
=0
a
1
φt · M · φ
=
φt · φ
k(T ) = φ̃t · M · φ̃,
z
y(x)
1
ϕ(t)t · (G 2 )t · G 2 · ϕ′(t)
Ω
y
1
ϕ′(t)t · (G 2 )t · (G− 2 )t · B · G− 2 · G 2 · ϕ′(t)
Seja S uma superfı́cie regular parametrizada por F : Ω → R3, e p ∈ S.
Para cada curva γ : (α, β) ⊆ R → S dada por γ(t) = F (x(t), y(t)) com
5. EXEMPLOS
γ(t0) = p, temos que o vetor tangente a γ em p é
2. CURVATURA MÉDIA DUMA SUPERFÍCIE
γ ′(t0) = Fx · x′(t0) + Fy · y ′(t0).
A superfı́cie é regular se, e somente se det G > 0, onde G = DF t · DF .
Considere todas as curvas de S que passam por p. A totalidade de seus
Observe que det G = ||Fx × Fy || . Logo, considerando h : Ω → R arbitrária,
vetores tangentes forma um espaço vetorial bidimensional, chamado plano
2
para cada número real λ seja F̃λ = F + λhN , onde N é o vetor normal
unitário. Então < N, Fx >= 0, < N, Fy >= 0 e
G̃ =
DF̃λt
t
t
A Primeira e Segunda Formas Fundamentais para superfı́cies são dadas por
t
· DF̃λ = (DF + λhDN + λN Dh ) · (DF + λhDN + λN Dh)
2
G̃ = G − 2λhB + λ C,
onde
B2×2

2
=D F ·N =
Fxx Fxy
Fyx Fyy
(3)
a1 = (det G̃) |λ=0. Multiplicando (3) por G
−1
−1
2
−1
−1
p11(λ) p12(λ)

, donde
temos

G G̃ = I − 2λhG B + λ G C = I − λM, M = 
a b
c d

.
Desta forma, det (G−1G̃) = 1−λ trM +λ2det M = det G̃/a0 = 1+a1λ/a0 +
O(λ2), donde a1 = −a0 trM |λ=0 = −a0 tr(2hG−1B) = −2h tr(Gadj B). Va−1
ϕ′(t)t · B · ϕ′(t) e ϕ′(t)t · G · ϕ′(t), respectivamente, onde ϕ′(t) = [x′(t) y ′(t)]t.
Considere agora
ϕ′(t)t · B · ϕ′(t)
.
ϕ′(t)t · G · ϕ′(t)
(5)
perfı́cie. Sua homogeneidade nas componentes de ϕ′ mostra que ele depende
p21(λ) p22(λ)
independem de λ. Assim, det G̃|λ=0 = a0 e
′
Figura 4: Helicóide
quadráticas no vetor tangente ϕ′ e cujas matrizes dependem do ponto da su-
·N

Figura 3: Catenóide
Temos que tanto o numerador quanto o denominador de (5) são formas

e C é uma função contı́nua em x, y, λ. Temos G̃ = 
det G̃ = a0 + a1λ + O(λ2) e a0,1
tangente a S em p, denotado TpS.
mos definir H = tr(G B)/2, chamada curvatura média da superfı́cie.
somente da direção de um vetor tangente T = DF · ϕ′ que seja unitário.
Figura 5: Scherk
Desta forma, podemos reescrever (5) como
ϕ′(t)t · B · ϕ′(t)
,
k(T ) = ′ t
ϕ (t) · G · ϕ′(t)
T ∈ S 1 ⊂ TpS,
Figura 6: Enneper
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
que é uma função contı́nua em T , chamada curvatura normal de S na di-
[1] L.F. Lopes, Superfı́cies Mı́nimas Folheadas por Circunferências, tese
reção T . Os valores máximo e mı́nimo de k são as curvaturas principais,
de mestrado, 2004, capı́tulos 1 e 3.
denotadas respectivamente por k1 e k2.
[2] R. Osserman, A survey of minimal surfaces, Dover, New York, 2nd ed
Mostremos que a curvatura média H de S em p é dada por
H=
k1 + k2
.
2
(1986).
[3] R. Churchill, Variáveis Complexas e suas Aplicações, capı́tulos 1, 2 e 5.
[4] J. Stewart, Cálculo Vol. II, 4a ed, pp 872–920.