RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO – 2o ANO DO ENSINO MÉDIO
DATA: 06/06/09
PROFESSOR: MALTEZ
O menor ângulo entre os ponteiros de um relógio que marca 10h46min é:
30º – 60 min
x – 46 min
x = 23º
Então o ponteiro pequeno andou 23º.
x
α
Logo, 23º + 24º = 47º
A primeira determinação positiva do ângulo de 2865º é:
2865 : 360º = 360 . 7 + 345º. portanto a primeira determinação positiva de 2865º é 345º.
Sobre os arcos, ângulos e ciclo trigonométrico é correto afirmar que:
−
60π
56π 4π
4π
=−
−
= − 8π −
7
7
7
7
2π −
4π 10 π
=
.
7
7
Na figura ao lado, OA = 15cm, OC = 10cm , o comprimento do arco AE é
11π cm e a medida do ângulo EÔB é 156º, sendo O o centro da
circunferência. Então o comprimento do arco CD é:
156 º =
13 π
15
EB 13 π
=
⇒ EB = 13 π
15
15
A circunferência toda tem comprimento 2πr = 2π . 15 = 30π; logo, AB = 6π
Se α =
AB
CD
AB CD
6π CD
60 π
eα=
⇒
=
⇒
=
⇒ CD =
= 4π
15
10
15
10
15
10
15
Um observador encontra-se na Avenida Contorno, em trecho retilíneo, horizontal e situado no mesmo
plano vertical que contém o Elevador Lacerda, localizado na praça do Mercado Modelo. De duas
posições A e B desse trecho retilíneo e distantes 50 m uma da outra, o observador vê a extremidade
superior do elevador, respectivamente sob os ângulos de 30º e 45º. O teodolito (aparelho usado para
medir os ângulos) foi colocado 2 m acima da avenida, que está 3 m do nível do mar.
Determine a altura mais aproximada do Elevador Lacerda em relação ao nível do mar.
Atenção: considere tg 30º = 0,58, sen 30º = 0,5 e cos 30º = 0,86.
Como y = h (ângulo de 45º)
h
tg 30º =
50 + h
h
0,58 =
50 + h
h ≅ 69m
2m
x=h+2+3
x = 69 + 5
x = 74 m
3m
h
A
45º
30º
B
50 m
y
Um observador, no ponto O da figura, vê um prédio segundo um ângulo de
75º. Se esse observador está situado a uma distância de 12 m do prédio e a
12 m de altura do plano horizontal que passa pelo pé do prédio, então a altura
do prédio, em metros, é:
x
12
3
x
=
3
12
x= 4 3
tg 30º =
x
12 m
(
h = x + 12 = 4 3 + 12 = 4 3 + 3
)
12m
30º
45º
x
Corta-se uma pirâmide regular de base quadrangular e altura 4 cm por um plano
paralelo ao plano da base, de maneira que os volumes dos dois sólidos obtidos
sejam iguais.
A altura do tronco de pirâmide é, em centímetros:
Como
vT = v1 – v2 e vT = v2
v2 = v1 – v2 ⇒ v1 = 2v2
3
3
v1  H 
2v 2  4 
4
=  ⇒
=  ⇒ =
v2  h 
v2
x
x
x
3
2
4
h–x
x=
4
3
2
=
43 4
= 23 4
2
h tronco = h − x = 4 − 23 4
As bases de um tronco de cone circular reto são círculos de raios 6 cm e 3 cm. Sabendo-se que o
volume desse tronco é v1 – v2, onde v1 é o volume do cone maior e v2 é o volume do cone menor, e que
v1 = 48 π , a altura do cone menor, em cm, igual a:
x
.
h
3
.
6
v1 = 48π
1
π . 6 2 . h = 48π
3
h = 4 cm
6
4
=
3
x
x = 2
Sobre o cone reto e a esfera de centro O1, representados na figura, sabe-se
que o raio da base do cone é igual ao raio da esfera.
Se VC é o volume do cone e VE é o da esfera, pode-se afirmar que:
4
πR 3
3
1
2
VC = π . R 2 . 2R = πR 3
3
3
2
3
πR
VC
2 1
V
= 3
= = ⇒ VC = E
4
VE
4 2
2
πR 3
3
VE =
Em uma esfera, foi feita uma secção de raio igual a 6 cm.
Se a menor distância polar vale 2 10 cm, o volume da esfera, em centímetros
cúbicos, é:
Obs.: A e B são pólos e CA e CB são distâncias polares.
(2 10 )
2
2 10
x
.
x2 = 4
x=2
.
6
= x 2 + 62
(2 10 )
2
a
=a.x
40 = a . 2
a = 20 ⇒ R = 10
ve =
4
4000 π
π . 103 =
3
3
QUESTÕES DISCURSIVAS
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação completa da figura ao lado
em torno do eixo r.
No cone
4
5
⇒
4
.
.
3
3
3
V=
1
1 4
π . 3 2 . 4 + . π . 33 = 12π + 18 π = 30π u.v.
3
2 3
.
Entre um topógrafo e um morro há um rio. Para medir a altura desse morro, o topógrafo instala um
teodolito em um ponto A e vê o topo do morro sob um ângulo de 60° com o te rreno plano e horizontal.
A seguir afasta-se 180 m até um ponto B, de onde vê o topo do morro sob um ângulo de 30° c om o
terreno, de modo que os pontos A e B e o centro da base do morro estejam alinhados.
Calcule a altura do morro.
M
30º
h
180m
120º
30º
180 m
B
.
60º
.
A
Como AB = AM ⇒ sen60º =
h
3
h
⇒
=
180
2
180
h = 90 3 m
A seguir está representado um esquema de uma sala de
cinema com piso horizontal. De quanto deve ser a medida
de AT para que um espectador sentado a 15 metros da
tela, com os olhos 1,2 metro acima do piso, veja o ponto
mais alto da tela, que é T, a 30° da horizontal?
Faça 3 = 1,73
30º
T
x
30º
1,2 m
A
tg30º =
x
15
3
x
=
⇒x=5 3
3
15
AT = 5 3 + 1,2
AT = 8,65 + 1,2
AT = 9,85 m
A figura mostra um arco AMB de compartimento 2π cm, contido em uma
circunferência de raio 8 cm.
Determine a medida, em radianos, do ângulo AÔB.
A
8
O
α
2π
B
α=
l
r
α=
2π
8
α=
π
rad
4