Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
Ângulo entre uma reta e um plano
Quando duas figuras espaciais se interceptam, elas determinam um conjunto de pontos ao qual
chamamos de traço entre as figuras. Assim, quando uma do espaço intercepta um plano em um único
ponto, o traço é unitário e o ponto é chamado de traço da reta no plano.
r
r∩α = P
x
P
α
r’
Traço da reta r
no plano α
s
Encontrar o ângulo de inclinação relativa requer muito cuidado, primeiro devemos saber onde está. Para
isso vamos encontrar um ângulo geométrico que represente esta situação.
Considerando-se todas as ratas do plano α que passam pelo ponto P e, medindo-se os ângulos que
cada uma forma com a reta r, obtém-se uma infinidade de medidas diferentes, mas apenas uma, a menor
possível, será aquela que expressa corretamente a inclinação relativa entre a reta r e o plano α.
Assim, sendo r’ a reta de do plano α que forma com r o menor ângulo agudo possível, e sendo x a
medida deste ângulo, então todos os ângulos determinados por r e alguma reta s, contida em α, têm
medida y que varia de acordo com relação:
x ≤ y ≤ 180º– x
Então, se uma reta r tem, por exemplo, uma inclinação de 50º em relação um plano α, então a nossa
medida x e do 50º, e com x=50º temos 50º ≤ y ≤ 130º, indicando que as retas de α formam com r ângulos
cuja medida varia no intervalo de 50º a 130º.
Mas, quando uma reta é perpendicular a um plano, então x = 90º ⇒ 90º ≤ y ≤ 90º, o que nos leva aos
primeiros teoremas do perpendicularismo no espaço:
Teorema 1
1:: Se uma reta é perpendicular a um plano, então ela é perpendicular ou ortogonal a qualquer
reta deste plano”
r⊥α
r⊥α
t⊂α
P
s
s⊂α
t
α
r∩α = P
P∈s
⇒
r@t
(rr é ortogonal à s)
r∩α = P
r⊥α
P∉t
⇒
r⊥s
(rr é perpendicular à s)
Teorema 2: Uma reta só é perpendicular a um plano, quando neste plano há duas retas concorrentes uma à
outra, que sejam perpendiculares p primeira.
r
r⊥s⊂α
r⊥t⊂α
s∩t = P
s
⇒ r⊥α
α
P
t
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Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
Projeção ortogonal de um ponto sobre uma reta
No estudo da geometria plana, definimos a projeção ortogonal de um ponto P sobre uma reta r como
sendo o ponto P’ dessa reta r que esteja o mais próximo possível de P.
P∉r
P
P’ ∈ r
r
PP’ ⊥ r
⇒ P’ é a projeção ortogonal de P em r
⇓
P
r
Q
dist( P, r ) = dist( P, P’ )
P’
P’
Para determinar a projeção ortogonal de um ponto dado sobre uma reta dada, basta traçar pelo ponto
dado uma perpendicular à reta dada. O cruzamento dessas perpendiculares será a projeção ortogonal.
Note que qualquer outro ponto Q da reta r, diferente de P’, está necessariamente mais distante do
ponto P, pois determina um triângulo retângulo QPP’ de hipotenusa PQ e cateto PP’. Logo: PQ > PP’.
A distância de um ponto a uma reta é definida como sendo a distância entre o ponto e sua projeção
ortogonal na reta, portanto, a distância de P à r, na figura acima, é igual ao comprimento do segmento PP’.
PP’
Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano
Analogamente, definimos a projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano α como sendo o ponto P’
desse plano α que esteja o mais próximo possível de P.
Para determinar a projeção ortogonal de um ponto num plano, basta traçar pelo ponto uma reta
perpendicular ao plano. O traço desta perpendicular no plano será a projeção ortogonal.
A distância de um ponto a um plano também é definida como sendo a distância entre o ponto e sua
projeção ortogonal no plano.
P
P∉α
⇒ P’ é a projeção ortogonal de P em α
⇓
P’ ∈ α
PP’ ⊥ α
dist( P, α ) = dist( P, P’ )
P’
α
A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano também pode ser usada para se determinar o ângulo
de inclinação relativa entre uma reta e um plano:
r
B
r∩α = A
B∉r
B∉α
^ α ) = med( B A
^ B’ ) = x
⇒ med( r A
x
B’ ∈ α
BB’ ⊥ α
r’
B’
A
α
Seja r uma reta oblíqua a um plano α, e seja A o traço desta reta no plano. Tomando-se um ponto B
qualquer de r, diferente de A, traçamos por B uma perpendicular ao plano α para obter sua projeção
ortogonal B’ sobre o plano α. Feito isso, a medida do ângulo geométrico BÂB’ coincide com a inclinação
entre a reta e o plano.
Outro fato importante é que a reta r’,
r’ determinada pelos pontos A e B’,
B’ contém as projeções ortogonais
de todos os pontos da reta r sobre o plano α, por isso dizemos que a reta r’ é a projeção ortogonal da reta
r sobre o plano α.
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Exercícios:
1. A figura a seguir apresenta uma reta r, que
intercepta um plano α num ponto P:
r
α
P
3. Considere o cubo ABCDEFGH representado
pela figura a seguir e determine as inclinações
relativas entre as figuras citadas em cada item,
expressando-as em graus, ou calculando os
valores de suas tangentes, senos ou cossenos.
Para se ter certeza de que r é perpendicular ao
plano α, o número mínimo de retas contidas em
α passando pelo ponto P que se deve verificar
serem perpendiculares à reta r é:
A) 1
B) 2
a) aresta EF e a face BCGF.
C) 3
b) diagonal EG e a face BCGF.
D) 4
c) diagonal HB e a base ABCD.
E) 5
d) aresta EF e a secção EHBC.
2. Um cilindro oblíquo tem seu eixo inclinado de
e) diagonal EC e a secção BDHF.
60º em relação aos planos de suas bases
circulares de centros O e O’:
f) diagonal EC e a secção CFH.
4. As torres Puerta de Europa, também
conhecidas como Torres KIO, são duas torres
inclinadas uma contra situadas na Praça de
Castilla em Madrid, Espanha.
Eixo do cilindro
60º
O’
α
O
P
Na base inferior desse cilindro toma-se um
raio OP que forma com o eixo do cilindro um
ângulo de medida α.
Qualquer que seja o raio OP tomado pode-se
afirmar que:
Se a inclinação de cada torre é de 15º com a
vertical e o comprimento das arestas inclinadas é
de 120 m, então a altura destas torres é de
aproximadamente:
A) α = 60º
B) 102 m
A) 96 m
B) α ≠ 90º
C) 106 m
C) α < 100º
D) 110 m
D) α ≠ 125º
E) 115 m
E) α = 115º
Sugestão: cos(a - b) = cosa ⋅ cosb + sena ⋅ senb
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