Colégio da Polícia Militar de Goiás - Hugo
Polícia Militar do Estado de Goiás
CPMG – Hugo de Carvalho Ramos
Ano Letivo - 2013
Disciplina: Álgebra
Série
2º
Valor da Lista
Estudo dirigido
TURMA (S)
A-B-C-D-E-F-G-H
Professor: Luciano Pinto e Silva
Aluno (a):
R$
Turno
Matutino
Data:
/
/ 2013.
Nº
Propriedades dos determinantes
O estudo das propriedades dos determinantes nos permite mais agilidade em alguns cálculos de
determinantes. É possível provar que todas as propriedades a seguir são verdadeiras.
1a propriedade: fila de zeros
Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada M forem iguais a zero, seu
determinante será nulo, isto é, det M = 0.
Exemplos:
 1 - 4 9 
0 48

o
o
8
3 , então det A  0.
1)
2 ) Se A = 2
1 0

0 0
0
0
3
2a propriedade: filas iguais
Se os elementos correspondentes de duas linhas (ou colunas) de uma matriz quadrada M forem
iguais, seu determinante será nulo, isto é, det M = 0.
Exemplos:
4
5
5
9
6 -2 -2
8
1o)
 0 (2a e 3a colunas iguais)
-7
3
3
0
1
8
8 6
x

2 ) Se A = 8

 x
o
3
-6
4
9 , então det A  0, pois a 1a e 3a linhas são iguais.
4
3
3 propriedade: filas proporcionais
Se uma matriz quadrada M possui duas linhas (ou) colunas proporcionais, seu determinante será
nulo, isto é, det M=0.
Exemplos:
3
7
o
 0 (2a linha : triplo da 1a )
1)
9
21
a
2o)
1
4
0
2
2
8
4
-7
 0 ( 3a coluna : dobro da 1a )
-3
8 -6
9
5
6
10
6
a
4 propriedade: multiplicação de uma fila por uma constante
Se todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) de uma matriz quadrada são multiplicados
por um mesmo número real K, então seu determinante fica multiplicado por K.
Exemplos:
21
- 35
3
-5
7
1o)
4
9
4
9
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3

2 ) Se A  9

4
o
-6
8
2
7
3

- 5  e B  9
4
- 9
-3
4
1
7
1
- 5, então det B  det A ou det A  2 det B.
2
- 9 
a
5 propriedade: multiplicação da matriz por uma constante
Se uma matriz quadrada M de ordem n é multiplicada por um número real k, o seu determinante fica
multiplicado por kn, isto é:
Exemplos:
3 4
1o) A  
  det A  15 - 8  7
2 5
15 20
5A  
 det (5A)  375 - 200  175  52  7

10 25
2
- 1
1

o
3
0   det B  15  0  10  6  50  0  19
2 ) B 5

2
-2
5
4
-2
2

2B  10
6
0   det (2B)  120  0  80  48  400  0  23  (19)
 4
-4
10
6a propriedade: determinante da transposta
O determinante de uma matriz quadrada M é igual ao determinante de sua transposta, isto é, det M=
det (Mt).
Exemplo:
2 3
2 3
t
t
A
e At  

  det A  - 2 e det A  2  det A  det A
4
5
4
5




7a propriedade: troca de filas paralelas
Se trocarmos de posição duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz quadrada M, o determinante
da nova matriz obtida é o oposto do determinante da matriz anterior.
Exemplo:
-2
3
1
3
1
 2



A  4
5
6 e B   5
4
6
8
- 5 
7
- 5
7
 8
A matriz B foi obtida a partir de A, trocando a 1ª e a 2ª colunas.
det A = -45 – 84 + 96 -105 – 72 – 48 = 96 -354= -258
det B = 72+ 48 +105 – 96 +84 +45 = -96 + 354 = 258
Observe que det A = - det B.
8a propriedade: Determinante da matriz triangular
O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Exemplos:
5 3 
1o) A  
  det A  5  2  0  3  10 (Observe que 2  5  10)
0 2
 5

2 ) B  1

 2
o
0
2
1
0
0   det B  5  2  4  0  0  0  3  0  (1)  1  0  2  3  0  1  5  0  (1)  4  40
4 
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Observe que 5∙2∙4 = 40
9a propriedade: Teorema de Binet
Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz produto, então det (AB) =
(det A)(det B).
Exemplo:
3 2
0 2
A
, B 


5 - 1 
3 4 
6 14
AB  
  det(AB)  36  42  78
- 3 6 
det A  det B  (- 3 - 10)( 0 - 6)  (-13)(-6)  78
10a propriedade: Teorema de Jacobi
Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou coluna) pelo
mesmo número e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha (ou coluna), formando a
matriz B, então det A = det B (Teorema de Jacobi).
Exemplos:
1 5 
1o) A  
  det A  9  20   11
 4 9
Multiplicando a 1ª linha por -2 e somando os resultados à 2ª linha, obtemos:
1 5 
B
  det A   1  10   11 , ou seja, det A  det B
 2 - 9
Vamos indicar assim:
-2
5
 1

4
- 10
2 ) A  1

 3
3
- 4 
Vamos obter a matriz B, multiplicando a 2ª coluna por 3 e somando os resultados à 3ª coluna:
-2
-1 
 1

B   1
4
2
 3
3
5 
o
Usando a regra de Sarrus, verificamos:
det A = - 16 + 60 - 15 - 60 + 8 + 30 = 7
 det A  det B
det B = 20 - 12  3  12 - 10 - 6 = 7 
11a propriedade: determinante da inversa
Seja A uma matriz quadrada invertível e A-1 sua inversa. Então, det A -1 
Exemplo: Observe que
1 

0
0

1 - 1 
2 

 
2
0 
1 

-1
-1

2  
1
2  1

1  2
2 
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- 1  1

0 0
0
1
1
det A
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1

0

- 1
2
, temos que A -1  


1
0
- 1

2 
1 1
1
Assim, det A = 0 + 2 = 2 e det A-1 = 0   , ou seja, det A-1 =
2 2
det A
Exercícios:
1  Aplicando propriedades dos determinantes, calcule:
1
Então, se A  
2
1 2 -1
a) 0 0
0
b)
5 3 11
c)
4
1
-1
3
2
7
5
9
0
2
-1 4
6 14
5
18
d)
1 3 0 -2
5 -7 0 4
5
0
3
6
0 11
0 9
1
7
1
2
4
3
2 2
0 4
-1 3
11
1
3
7
2 – Se det A = 20, calcule det (At).
a b
 10 , calcule:
3 – Se det A 
c d
a)
det A 
b
d
b)
det A 
4a
c
 3
4 – Sabendo que A   0
 1
1
5 – Dada a matriz A  3
0
det A ≠ 0).
-1
1
2
0
6 – Sendo A  
0

0
5
3
-1
0
0
0
5
0
1
2
2
1
a
c
4b
d
0
2  , calcule det A-1, se existir A-1.
3
a
2  , calcule a para que A seja invertível, (Lembre-se: A é invertível se
1 
3
1 
, calcule det A.
- 1

10
7 – Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Sabendo que det A = 6 e det B = 4, calcule
det (AB).
1
8 – Sendo A  
2
- 1
, calcule det A-1.
0
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