Matemática e Suas Tecnologias
Prof.: Robermática
1. (Ufpr) Um criador de cães observou que as rações das marcas A, B, C e D contêm diferentes quantidades de três
nutrientes, medidos em miligramas por quilograma, como indicado na primeira matriz abaixo. O criador decidiu
misturar os quatro tipos de ração para proporcionar um alimento adequado para seus cães. A segunda matriz abaixo
dá os percentuais de cada tipo de ração nessa mistura.
nutriente 1
nutriente 2
nutriente 3
A
 210
340

145
B
370
520
225
C
450
305
190
D
290 
485 
260 
Percentuais de mistura
A
35%
25%
B


C
30%


D
10% 
Quantos miligramas do nutriente 2 estão presentes em um quilograma da mistura de rações?
(A) 389 mg.
(B) 330 mg.
(C) 280 mg.
(D) 210 mg.
(E) 190 mg.
2. (Uel) Conforme dados da Agência Nacional de Aviação Civil (ANAC), no Brasil, existem 720 aeródromos públicos
e 1814 aeródromos privados certificados. Os programas computacionais utilizados para gerenciar o tráfego aéreo
representam a malha aérea por meio de matrizes. Considere a malha aérea entre quatro cidades com aeroportos por
meio de uma matriz. Sejam as cidades A, B, C e D indexadas nas linhas e colunas da matriz 4  4 dada a seguir.
Coloca-se 1 na posição X e Y da matriz 4  4 se as cidades X e Y possuem conexão aérea direta, caso contrário
coloca-se 0. A diagonal principal, que corresponde à posição X = Y, foi preenchida com 1.
A B C D
A
B
C
D
1

0
0

1
0
1
1
1
0
1
1
0
1

1
0

1
Considerando que, no trajeto, o avião não pode pousar duas ou mais vezes em uma mesma cidade nem voltar para a
cidade de origem, assinale a alternativa correta.
(A) Pode-se ir da cidade A até B passando por outras cidades.
(B) Pode-se ir da cidade D até B passando por outras cidades.
(C) Pode-se ir diretamente da cidade D até C.
(D) Existem dois diferentes caminhos entre as cidades A e B.
(E) Existem dois diferentes caminhos entre as cidades A e C.
3. (Insper) Três amigos foram a uma papelaria para comprar material escolar. As quantidades adquiridas de cada
produto e o total pago por cada um deles são mostrados na tabela.
Amigo
Júlia
Bruno
Felipe
Quantidades compradas de
cadernos
canetas
lápis
5
5
3
6
3
3
4
5
2
Total pago (R$)
96,00
105,00
79,00
Os preços unitários, em reais, de um caderno, de uma caneta e de um lápis, são, respectivamente, x, y e z. Dessa
forma, das igualdades envolvendo matrizes fornecidas a seguir, a única que relaciona corretamente esses preços
unitários com os dados da tabela é
(A)  x
y
5 5 3 
z  6 3 3   96 105
 4 5 2
79.
 x  5 5 3   96 
(B)  y   6 3 3   105  .
 z   4 5 2  79 
5 5 3 
(C) 6 3 3   x
 4 5 2
y
z   96 105
79.
5 5 3   x   96 
(D) 6 3 3    y   105  .
 4 5 2  z   79 
 x   96  5 5 3 
(E)  y   105    6 3 3  .
 z   79   4 5 2
a b
4. (Ufpe) Seja 
 a inversa da matriz
c d
 3 1

 . Indique a  b  c  d .
11 4
5. (Uel) Atualmente, com a comunicação eletrônica, muitas atividades dependem do sigilo na troca de mensagens,
principalmente as que envolvem transações financeiras. Os sistemas de envio e recepção de mensagens codificadas
chamam-se Criptografia. Uma forma de codificar mensagens é trocar letras por números, como indicado na tabelacódigo a seguir.
1
2
3
4
5
1
Z
T
O
J
E
2
Y
S
N
I
D
3
X
R
M
H
C
4
V
Q
L
G
B
5
U
P
K
F
A
Nessa tabela-código, uma letra é identificada pelo número formado pela linha e pela coluna, nessa ordem. Assim, o
número 32 corresponde à letra N. A mensagem final M é dada por A  B  M, onde B é uma matriz fixada, que deve
ser mantida em segredo, e A é uma matriz enviada ao receptor legal. Cada linha da matriz M corresponde a uma
palavra da mensagem, sendo o 0 (zero) a ausência de letras ou o espaço entre palavras.
José tuitava durante o horário de trabalho quando recebeu uma mensagem do seu chefe, que continha uma matriz A.
De posse da matriz B e da tabela-código, ele decodificou a mensagem.
O que a chefia informou a José?
Dados:
12
0

A   45

30
 1
20
0
26
45
50
13
34
13
16
21
8
32
24
20
3
50
3
0
11
35
25
4
0
17
42
1
0 
0

0
11
 10
14

B6

 8
 44
11 10
31 19
4 8
6 16
8 13
15
19
31
32
30
8
3
0
20
20
30
4
0
17
10
1
0 
0

0
20 
(A) Sorria voce esta sendo advertido.
(B) Sorria voce esta sendo filmado.
(C) Sorria voce esta sendo gravado.
(D) Sorria voce esta sendo improdutivo.
(E) Sorria voce esta sendo observado.
6. (Ufg) Uma metalúrgica produz parafusos para móveis de madeira em três tipos, denominados soft, escareado e
sextavado, que são vendidos em caixas grandes, com 2000 parafusos e pequenas, com 900, cada caixa contendo
parafusos dos três tipos. A tabela 1, a seguir, fornece a quantidade de parafusos de cada tipo contida em cada caixa,
grande ou pequena. A tabela 2 fornece a quantidade de caixas de cada tipo produzida em cada mês do primeiro
trimestre de um ano.
TABELA 1
Parafusos/caixa
Soft
Escareado
Sextavado
Pequena
200
400
300
Grande
500
800
700
TABELA 2
Caixas/mês
Pequena
Grande
Associando as matrizes
200 500 
A   400 800 
e
300 700 
JAN
1500
1200
FEV
2200
1500
1500 2200 1300 
B

1200 1500 1800 
às tabelas 1 e 2, respectivamente, o produto AxB fornece
(A) o número de caixas fabricadas no trimestre.
(B) a produção do trimestre de um tipo de parafuso, em cada coluna.
(C) a produção mensal de cada tipo de parafuso.
(D) a produção total de parafusos por caixa.
(E) a produção média de parafusos por caixa.
MAR
1300
1800
7. (Enem) Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as
entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4, e que poderia calcular as medias anuais dessas disciplinas
usando produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a
seguir.
Matemática
Português
Geografia
História
1º bimestre
5,9
6,6
8,6
6,2
2º bimestre
6,2
7,1
6,8
5,6
3º bimestre
4,5
6,5
7,8
5,9
4º bimestre
5,5
8,4
9,0
7,7
Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por
 1 1 1 1
(A) 

2 2 2 2
 1 1 1 1
(B) 

4 4 4 4
1
1
(C)  
1
 
1
 1
2
 
 1
 
(D)  2 
 1
2
 1
 
2
 1
4
 
 1
 
(E)  4 
 1
4
 1
 
4
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Observe a tabela a seguir, que mostra a relação entre três redes sociais da internet e a quantidade de usuários, em
milhões de pessoas, que acessam essas redes na Argentina, Brasil e Chile, segundo dados de junho de 2011.
Número de usuários de redes sociais em milhões de pessoas
Facebook
Twitter
Windows Live profile
Argentina
11,75
2,4
3,06
Brasil
24,5
12
14,6
Chile
6,7
1,2
1,44
(http://www.slideshare.net/ecommercenews/estudoredesocialameric
alatina?from=embed)
8. (Upf) Durante o mês de junho de 2011, os usuários da internet na Argentina tiveram uma média de 10 horas
gastas em sites de rede sociais. No Brasil, a média foi de 4,7 horas e no Chile, de 8,7 horas. Avalie as afirmações:
 10 
I. Se B é a matriz  4,7  , o produto matricial AB é uma matriz 3  1, cujo primeiro elemento representa o número de
8,7 
horas, em milhões, gasto pelos usuários dos três países no Facebook em junho de 2011.
II. 1,175  108 é a quantidade de horas que os argentinos gastaram com a rede social Facebook em junho de 2011.
III. O Windows Live Profile recebeu a visita de 19,1 milhões de usuários argentinos, brasileiros ou chilenos em junho
de 2011.
(A) Somente I é verdadeira.
(B) I e II são verdadeiras.
(C) I e III são verdadeiras.
(D) II e III são verdadeiras.
(E) Todas são verdadeiras.
9. (Fgv) Uma fábrica decide distribuir os excedentes de três produtos alimentícios A, B e C a dois países da América
Central, P1 e P2. As quantidades, em toneladas, são descritas mediante a matriz Q:
Para o transporte aos países de destino, a fábrica recebeu orçamentos de duas empresas, em reais por
tonelada, como indica a matriz P:
500 300  1º empresa
P

400 200  2º empresa
a) Efetue o produto das duas matrizes, na ordem que for possível. Que representa o elemento a13 da matriz
produto?
b) Que elemento da matriz produto indica o custo de transportar o produto A, com a segunda empresa, aos dois
países?
c) Para transportar os três produtos aos dois países, qual empresa deveria ser escolhida, considerando que as duas
apresentam exatamente as mesmas condições técnicas? Por quê?
10. (Uff) Nos processos de digitalização, imagens podem ser representadas por matrizes cujos elementos são os
algarismos 0 e 1.
Considere que a matriz linha L = (1 0 1 0 0 1) representa a figura P, onde 1 representa "quadrinho" escuro e 0
representa "quadrinho" branco.
Seja X a matriz linha dada por X = LM, onde M é a matriz M = (m ij) com
1, se i  j  7

mij = 
0, se i  j  7, 1  i  6, 1  j  6

Dessa forma, a matriz X representa a figura da opção:
Gabarito:
Resposta da questão 1: [A]
Basta fazer o produto das matrizes
35% 


25%
340 520 305 485   30%   340  0,35  520  0,25  305  0,30  485  0,10  389 mg.


10% 
Resposta da questão 2: [A]
[A] Verdadeira, pode se ir de A até B passando por D.
[B] Falsa, pois A não possui conexão até B.
[C] Falsa, pois a43 = 0.
[D] Falsa, existe apenas um caminho passando por D.
[E] Falsa, existe apenas um caminho (ADBC).
Resposta da questão 3: [D]
Os totais pagos por Júlia, Bruno e Felipe são dados, respectivamente, por
5x  5y  3z  96, 6x  3y  3z  105 e 4x  5y  2z  79.
Portanto, a única alternativa que relaciona corretamente os preços unitários com os dados da tabela é a alternativa
[D].
Resposta da questão 4:
 a b
Se a matriz 
 é a inversa de
 c d
 3 1

 , então:
11 4
3a  11b  1

a b   3 1  1 0 
a  4b  0




 
 


c
d
11
4
0
1

 
 

3c  11d  0
c  4 d  1

a  4

b  1

.
c  11
d  3

Portanto,
| a |  | b |  | c |  | d |  | 4 |  | 1|  | 11|  | 3 |  19.
Resposta da questão 5: [B]
A matriz M é tal que
12
0

M   45

 30
 1
20
0
26
45
50
 22
14

  51

 22
 45
31
31
22
51
42
13 8 50 25 1   10 11
34 32 3 4 0   14 31
13 24 0 0 0    6 4
 
16 20 11 17 0   8 6
21 3 35 42 11  44 8
23 23 42 55 0 
53 51 0 0 0 
21 55 0 0 0  .

32 52 31 0 0 
34 33 55 52 31
10
19
8
16
13
15
19
31
32
30
8 30 1
3
4 0 
0
0 0

20 17 0 
20 10 20 
Portanto, a chefia informou a José: “Sorria, você está sendo filmado”.
Resposta da questão 6: [C]
Se cada linha da matriz A representa o tipo de parafuso e cada coluna da matriz B o mês de produção, o produto das
matrizes nos revelará a produção mensal de cada tipo de parafusos.
Resposta da questão 7: [E]
A média de cada matéria é a soma das notas dividido por 4, e a única matriz que possibilita esta condição é a da
alternativa [E].
 5,9 6,2 4,5

 6,6 7,1 6,5
 8,6 6,8 7,8

 6,2 5,6 6,9
 1
4
5,5   1 
  
8,4   4 
. =
9,0   1 

7,7   4 
 1
 
4
 5,9  6,2  4,5  5,5 


4


 6,6  7,1  6,5  8,4 


4


 8,6  6,8  7,8  9 


4


 6,2  5,6  5,9  7,7 
4


Resposta da questão 8: [E]
I. Verdadeira. O número de horas, em milhões, gasto pelos usuários dos três países no Facebook em junho de 2011
é dado por 11,75  10  24,5  4,7  6,7  8,7.
Por outro lado, temos que 11,75  10  24,5  4,7  6,7  8,7 corresponde ao elemento c11 da matriz
A 33  B31  C31.
II. Verdadeira. A quantidade de horas que os argentinos gastaram com a rede social Facebook em junho de 2011 é
dada por
11,75  106  10  11,75  107  1,175  108.
III. Verdadeira. O Windows Live Profile recebeu a visita de 3,06  14,6  1,44  19,1 milhões de usuários argentinos,
brasileiros ou chilenos em junho de 2011.
Resposta da questão 9:
500 300 
a) P.Q = 
 
400 200 
200
100
100
150
150
200
 130000
 = 100000
 
95000
70000
135000
100000
o elemento a13 representa o preço, em reais, que a empresa 1 cobra para transportar o produto C aos dois países.
b) O elemento que representa o custo para transportar o produto A, pela segunda empresa, é o a 21.
c) Pela empresa
1130 000 + 95 000 + 135 000 = 360 000.
Pela empresa 2,
100 000 + 70 000 + 100 000 = 270 000;
portanto, a empresa 2 seria a mais vantajosa.
Resposta da questão 10: [B]