Professor: Dr. Carlos Alessandro A. da Silva
VETORES
Definição - Vetores
Fig. 1 Vetores: C = A + B
Muitas grandezas da física têm módulo e direção e somam-se como os deslocamentos.
Entre elas a velocidade, a aceleração, o momento e a força. Todas são representadas por
vetores. Grandezas que têm módulo (magnitude), porém não estão associadas a qualquer
direção – por exemplo, distância, massa, energia – são escalares.
Definição: “Vetores são grandezas que têm módulo, direção e sentido e que se somam e
subtraem como os deslocamentos”.
Um vetor é representado graficamente por uma seta cuja direção coincide com a
direção do vetor e cujo comprimento é proporcional ao módulo do vetor. Dois vetores são
iguais quando têm o mesmo módulo e a mesma direção => “um vetor não se altera se for
deslocado paralelamente a si mesmo”.
Operações com vetores
Fig. 2 Adição de vetores
Fig. 3 Subtração de vetores
Componentes de um Vetor – Representação Cartesiana
A componente de um vetor sobre uma reta no espaço é o comprimento da projeção do vetor
sobre esta reta.
Fig. 4 Definição da componente de um vetor. A componente do vetor A sobre a reta S é As.
Fig. 5 As componentes cartesianas de um vetor.
Sendo θ o ângulo entre o vetor A e o eixo dos x, temos:
Ax = A cos θ
(componente x do vetor)
A y = A sen θ
(componente y do vetor)
onde A é o módulo do vetor A.
Direção e Módulo:
tg θ =
 Ay
⇒ θ = arctg 
Ax
 Ax
Ay
A=
A=




Ax2 + A y2 (em 2D)
Ax2 + A y2 + Az2 (em 3D)
Fig. 6 Soma de vetores no plano xy.
C x = Ax + B x
C y = Ay + B y
Vetores Unitários – Representação Algébrica
Um vetor unitário é um vetor adimensional cujo módulo é a unidade. Em muitos cálculos na
Estática e no Eletromagnetismo, por exemplo, é importante determinar vetores unitários. Os vetores
unitários nas direções cartesianas x, y e z são convenientes para se exprimirem os vetores em
termos das componentes cartesianas. Representam-se, comumente, por i, j e k.
Fig. 7 (a) Os vetores unitários i, j e k de um sistema cartesiano de coordenadas
(b) O vetor A em termos dos vetores unitários
Vetor Unitário
→
u =
→
A
→
A
Representação Algébrica
→
→
→
→
A = Ax i + A y j + Az k
CINEMÁTICA DA ROTAÇÃO
Variáveis angulares:
Velocidade angular média: ω
m
=
∆ϑ
∆t
∆ϑ dϑ
=
∆t →0 ∆t
dt
Velocidade angular instantânea: ω = lim
Aceleração angular média: α m =
∆ω
∆t
∆ω dω
=
dt
∆t → 0 ∆t
Aceleração angular instantânea: α = lim
Variáveis lineares e angulares
Deslocamento linear e angular:
S = rθ ⇒ 1 volta : S = 2πr
⇒ 2π rad ≡ 360 o ⇒ 1 rad = 57,3o
Velocidade linear e angular:
v=
dS d (rθ )
dθ
=
=r
= rω
dt
dt
dt
a=
dv d (rω )
dω
=
=r
= rα
dt
dt
dt
Aceleração linear e angular:
Em resumo,
S 
θ 
 
 
 v  = r ω 
a 
α 
 
 
(
(1)
As equações da cinemática linear permitem que escrevamos as equações da cinemática angular:
MRU
MCU
x = x0 + vt
v = cte
rθ = rθ 0 + rω t ⇒ θ = θ 0 + ω t
ω = cte
a=0
α =0
MRUV
MCUV
x = x0 + v0 t +
at 2
2
θ = θ 0 + ω 0t +
ω = ω 0 + αt
α = cte
v = v0 + at
a = cte
Equação de Torricelli
v 2 = v 2 + 2a∆x
0
⇒ ω 2 = ω 2 + 2α∆θ
0
αt 2
2
DINÂMICA E ENERGIA NA ROTAÇÃO
A energia cinética para um sistema de partículas é dada por
Ec =
1
1
1
m1v12 + m2 v 22 + m3 v32 + L =
2
2
2
n
∑2m v
1
2
i i
i =1
Com vi = ωri resulta
n
Ec =
∑
i =1
n

1
1
1
2
2
mi (ωri ) = 
mi ri ω 2 = Iω 2

2
2  i =1
2

∑
onde I informa como a massa do corpo em rotação está distribuída em torno do eixo de rotação.
Definimos a grandeza
I=
∑m r
2
i i
i
(2)
como o “Momento de Inércia ou Inércia Rotacional” do sistema de partículas em relação ao eixo de
rotação.
2
A unidade no SI é: [I ] = [M ] [r ] = Kg m 2
Para um corpo que esteja em translação e rotação, a sua energia cinética será dada por
Ec = Ectransl + Ecrot =
1
1
2
MvCM
+ Iω 2
2
2
Cálculo do momento de inércia
Sistema discreto: I =
∑m r
2
i i
i
onde ri é a distância perpendicular da partícula ao eixo de rotação.
∫
Sistema contínuo: I = r 2dm
Torque
Da figura, temos que o torque (em módulo) é definido como: τ = rFt = rF sen φ
A unidade no SI é: [τ ] = [r ] [F ] = N m
2ª Lei de Newton para a rotação
Da definição de torque temos que
τ = Ft r = mat r = m(αr )r
então,
τ = mr 2α = Iα
Para um Sistema de Forças:
∑τ = Iα
(3)
PRODUTOS DE VETORES
Produto Escalar
Existem duas formas de multiplicar um vetor por outro vetor. A primeira produz um
escalar; a segunda, um novo vetor.
O produto escalar dos vetores a e b da figura a seguir é definido da seguinte forma
→→
→→
a ⋅ b = a b cos θ
(
onde θ é o ângulo entre os vetores e o resultado é um escalar.
Fig. 8 Produto Escalar de dois vetores
Em termos de suas componentes, podemos escrever o produto escalar de dois vetores como
→
→
→
→
A = Ax i + A y j + Az k
→
→
→
→
B = Bx i + B y j + Bz k
→ →
A ⋅ B = Ax B x + A y B y + Az B z
Produto Vetorial
Definimos Produto Vetorial como: A × B = C
Onde o módulo de C é dado por: A × B = A B sen θ e o sentido de C é dado pela
“Regra da mão direita”. Cabe observar que, como conseqüência da definição, B × A = − A × B .
Além
disso,
A × B = 0 ( se
se
os
vetores
A
e
B
são
vetores
paralelos
entre
si
temos
A // B ) .
Escrevendo os vetores A e B em termos dos vetores unitários:
r
r
r
A = Ax i + Ay j + Az k
e
r
r
r
B = Bx i + B y j + Bz k
A base ortonormal satisfaz as relações:
i× j = − j×i = k
j × k = −k × j = i
k × i = −i × k = j
(4)
Então, podemos escrever o produto vetorial dos vetores A e B na forma:
r
i
r
j
r
k
A × B = Ax
Ay
Az
Bx
By
Bz
(5)
Vetor Torque
O vetor torque é definido como um produto vetorial:
r
τ =r×F
(6)
Momento angular de uma partícula
O momento angular é uma grandeza física muito importante no estudo das rotações e
está relacionada com o vetor torque.
Esta grandeza vetorial é definida, para uma partícula, como:
r
l = r× p = m r×v
( )
(7)
Forma angular da 2a. Lei de Newton
Derivando o momento angular em relação ao tempo,
 dv dr

d r d
d
l = (r × p ) = m r × v = m r ×
+
× v 
dt
dt
dt
dt dt


( )
r
dr
dl
com
× v = v × v = 0 resulta, então,
= m r × a = r × ma = r × F = τ
dt
dt
( ) (
)
Logo, “a variação do momento angular da partícula em relação ao tempo é o torque
aplicado sobre a partícula, em relação ao eixo de rotação”. Para diversos torques atuando
podemos escrever
∑
r
dl
τ =
dt
r
(8)
Momento angular de um sistema de partículas
Para um sistema de partículas:
r
r r r
L = l1 + l2 + K + ln =
n
∑
r
li
i =1
Então,
∑τ
r
ext
r
dL
=
dt
(9)
Para um corpo rígido, vimos que [Eq. (3)]:
∑
r
v
dL
dω
=I
τ = Iα ⇒
dt
dt
Logo
r
r
L = Iω
(10)
Lei da conservação do momento angular
Se
r
r
dL
L = cte ⇒
= 0∴
dt
∑τ
r
ext
=0
Então, se o torque externo resultante sobre o sistema for nulo, o momento angular do sistema
permanecerá constante, isto é, se conserva.
Lei da conservação do momento angular
Se
r
r
dL
= 0∴
L = cte ⇒
dt
∑τ
r
ext
=0
Então, se o torque externo resultante sobre o sistema for nulo, o momento angular do sistema
permanecerá constante, isto é, se conserva.
Exercícios
1) Dados os vetores A = i + 2j + 5k e B = 2i - j + 2k, calcule:
a) A + B e A – B; b) o módulo de cada vetor, ié, | A | e | B |; c) o produto escalar A.B
d) o ângulo entre os vetores; e) o produto vetorial AXB
2) Uma partícula P de massa igual a 2 kg, tem vetor posição r (|r| = 3m) e velocidade v (|v| = 4
m/s), como mostra a figura. Sobre ela atua uma força F (|F| = 2,0 N). Todos os três vetores estão no
plano xy. Determine (a) o momento angular da partícula e (b) o torque exercido sobre ela, em torno
da origem?
3) Uma partícula de 3,0 kg está nas coordenadas x = 3,0 m , y = 8,0 m com velocidade v = (5,0
m/s) i – (6,0 m/s) j. Sobre ela atua uma força de 7,0 N que aponta no sentido negativo de x. (a) Qual
o momento angular da partícula? (b) Qual o torque que atua sobre ela? (c) Qual a taxa de variação
do seu momento angular, em relação ao tempo?
4) O momento angular de um volante, que possui momento de inércia 0,140 kgm2, decresce
de 3,0 para 0,8 kg m2/s em 1,5 s. Determine: (a) o torque médio que atua sobre o volante
durante esse período (b) o ângulo girado pelo volante, supondo que a aceleração angular seja
uniforme (c) o valor do trabalho realizado sobre ele (d) a potência média.
5) O cabo de sustentação de uma torre está ancorada por meio de um parafuso em A. A tração no
cabo é de 2500 N. Determine: (i) o vetor força que atua sobre o parafuso (ii) os ângulos θx, θy e θz
que definem a direção da força.
6) Um engradado é elevado do porão de um navio utilizando o arranjo de cabos mostrado na figura.
Se uma força vertical de 2,50 kN é aplicada ao gancho em A, determine a tração em cada um dos
três cabos na condição de equilíbrio. Faça d = 1m.
7) Determine o momento da força mostrada na figura em relação ao ponto O.