UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
STÉFANO CHARLES MARTINS DA SILVA
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLUÇÃO DE ESTRUTURAS – ESTADO
DA ARTE E APLICAÇÕES
MOSSORÓ-RN
2011
STÉFANO CHARLES MARTINS DA SILVA
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLUÇÃO DE ESTRUTURAS – ESTADO
DA ARTE E APLICAÇÕES
Monografia apresentada à Universidade Federal
Rural do Semi-Árido – UFERSA, Departamento
de Ciências Ambientais e Tecnológicas para a
obtenção do título de Bacharel em Ciência e
Tecnologia.
Orientador: Prof. M. Sc. Raimundo Gomes de
Amorim Neto – UFERSA
MOSSORÓ-RN
2011
Ficha catalográfica preparada pelo setor de classificação e
catalogação da Biblioteca “Orlando Teixeira” da UFERSA
S586m Silva, Stéfano Charles Martins da.
Métodos numéricos para resolução de estruturas-estado da
arte e aplicações/ Stéfano Charles Martins da Silva. -Mossoró, 2011.
38f. il.
Monografia (Graduação em Ciência e Tecnologia) –
Universidade Federal Rural do Semi-Árido.
Orientador: Prof°.M.Sc. Raimundo Gomes de Amorim
Neto.
1.Métodos numéricos - Funcionamento. 2.Método dos
elementos finitos. 3.Método dos elementos de contorno
finitos. I.Título.
CDD: 511.8
Bibliotecária: Marilene S. de Araújo
CRB/5 1013
STÉFANO CHARLES MARTINS DA SILVA
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLUÇÃO DE ESTRUTURAS – ESTADO
DA ARTE E APLICAÇÕES
Monografia apresentada à Universidade Federal
Rural do Semi-Árido – UFERSA, Departamento
de Ciências Ambientais e Tecnológicas para a
obtenção do título de Bacharel em Ciência e
Tecnologia.
DATA DA APROVAÇÃO: 04/07/2011
BANCA EXAMINADORA
________________________
Prof. M. Sc. Raimundo Gomes de Amorim Neto – UFERSA
Presidente
__________________________
Prof. D. Sc. Halane Maria Braga Fernandes Brito – UFERSA
Primeiro Membro
_________________________
Prof. M. Sc. Rodrigo Nogueira Codes – UFERSA
Segundo Membro
DEDICATÓRIA
Com todo meu amor e carinho, aos meus pais
Célio e Rita, e a meu irmão Stênio, os quais
sempre se mostraram presentes na minha
caminhada até aqui.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus, por estar sempre presente em minha vida, por me abençoar a cada dia
com saúde e capacidade suficientes para desenvolver este trabalho.
Aos meus pais Mário Célio e Maria Rita, que são a base do que sou hoje, agradeço a eles pelo
apoio emocional, moral e financeiro durante esses anos.
A meu irmão Stênio Matheus, por sempre me tomar como exemplo.
A minha namorada Vanessa Ravena, que mesmo distante nunca deixou de estar presente, mim
apoiando e incentivando na realização deste trabalho.
A todos os amigos do Bacharelado pela convivência agradável e enriquecedora.
Em especial ao prof. Raimundo Amorim, por sua orientação realmente participativa, com o
qual tive o prazer de conviver e aprender durante esse tempo, e cuja seriedade e dedicação
procuro imitar.
As dificuldades ensinam e fortalecem;
As facilidades iludem e enfraquecem.
(Arnon de Mello)
RESUMO
Muitos problemas na engenharia são caracterizados matematicamente por equações
diferenciais. A dificuldade com estas equações diferenciais é que elas não podem ser
resolvidas analiticamente, exceto para um conjunto restrito de casos. Assim, grande parte
destes problemas só é satisfatoriamente resolvida pela aplicação dos métodos numéricos de
análise. Tais métodos utilizam modelos discretos em substituição a os modelos contínuos dos
métodos analíticos. Com a constante evolução dos computadores, a aplicação dos métodos
numéricos na engenharia estrutural vem crescendo rapidamente. Há alguns anos atrás quando
não se dispunha desta ferramenta, a análise estrutural era feita de forma bastante simplificada.
Hoje, com equipamentos computacionais disponíveis, pode-se lançar mão de modelos
melhores que permitem a consideração da interação entre os diversos elementos estruturais.
Isto sem duvida vem fornecer cálculos mais precisos, que melhor traduzem o comportamento
da estrutura. Por isto, conhecimento sobre os métodos numéricos aplicados a engenharia é de
suma importância para nos estudantes, professores e profissionais que lidam com programas
computacionais que utilizam os métodos. Partindo disso, foram estudados os métodos de
maior importância, consequentemente os mais conhecidos dentro da engenharia em geral, são
eles: o método dos elementos finitos, método dos elementos de contorno e método das
diferenças finitas. Diante disso buscou-se esclarecer o funcionamento de cada método, suas
vantagens e desvantagens, onde podemos aplicá-los, e por fim, mostrar a resolução de alguns
problemas utilizando os mesmos.
Palavras-chave: Métodos numéricos – Funcionamento. Método dos elementos finitos. Método
dos elementos de contorno.
ABSTRACT
Many engineering problems are characterized mathematically by differential equations. The
difficulty with these equations is that they cannot be solved analytically, except for a
restricted set of cases. Thus, most of these problems are solved by the application of
numerical methods of analysis. Such methods use discrete models to replace the continuous
models of analytical methods. With the constant evolution of computers, the application of
numerical methods in structural engineering is growing rapidly. A few years ago when this
tool was not available, structural analysis was made of very simple way. Today, with
computer equipment available, one can resort to models that allow better consideration of the
interaction between structural elements. This is no doubt provide more accurate calculations,
that best reflect the behavior of the structure. Therefore, knowledge of numerical methods
applied to engineering is very important for the students, teachers and professionals who deal
with computer programs that use the methods. On this basis it was studied the methods of the
utmost importance, therefore the best known in engineering in general, they are the finite
element method, boundary element method and finite difference method. Given this we
sought to clarify the operation of each method, its advantages and disadvantages, which we
can apply them, and finally, show the resolution of some problems using them.
Keywords: Numerical methods – Working. Finite element method. Boundary element
method.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Viga engastada 2D – Discretização pelo MDF ....................................................... 15
Figura 2 – Rede de elementos finitos ....................................................................................... 18
Figura 3 – Viga engastada 1D .................................................................................................. 18
Figura 4 – Viga engastada 1D – Discretização pelo MEF ....................................................... 19
Figura 5 – Viga engastada 2D .................................................................................................. 19
Figura 6 – Viga engastada 2D – Discretização pelo MEF ....................................................... 19
Figura 7 – Viga engastada 3D .................................................................................................. 20
Figura 8 – Viga engastada 3D – Discretização pelo MEF ....................................................... 20
Figura 9 – Discretização do problema pelo MEC. ................................................................... 24
Figura 10 – Viga engastada 1D – Discretização pelo MEC ..................................................... 24
Figura 11 – Viga engastada 2D – Discretização pelo MEC ..................................................... 25
Figura 12 – Viga engastada 3D – Discretização pelo MEC ..................................................... 25
Figura 13 – Métodos numéricos aplicados a problemas de engenharia ................................... 26
Figura 14 – Sólido com múltiplas fissuras ............................................................................... 29
Figura 15 – Chapa com fenda – Geometria e carregamento. ................................................... 31
Figura 16 – Chapa com fenda – Considerando as condições de Simetria. ............................... 32
Figura 17 – Chapa com fenda – Rede de elementos finitos adotada. ....................................... 32
Figura 18 – Chapa com fenda – Tensão σx para a rede de elementos finitos. .......................... 33
Figura 19 – Chapa com fenda – Tensão σy para a rede de elementos finitos. .......................... 33
Figura 20 – Chapa com fenda – Tensão de cisalhamento τxy para a rede de elememtos finitos.
.................................................................................................................................................. 34
Figura 21 – Viga engastada ...................................................................................................... 34
Figura 22 – Viga engastada - Diagrama de deformação .......................................................... 35
Figura 23 – Viga engastada - Tensão σx para a rede de elementos de contorno ...................... 35
Figura 24 – Viga engastada - Tensão σy para a rede de elementos de contorno ...................... 36
Figura 25 – Viga engastada - Tensão de cisalhamento τxy para a rede de elememtos de
contorno .................................................................................................................................... 36
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 11
2 OBJETIVOS.................................................................................................................... 13
2.1 GERAL .......................................................................................................................... 13
2.2 ESPECÍFICOS ............................................................................................................... 13
3 MATERIAL E MÉTODOS ........................................................................................... 14
4 REVISÃO DE LITERATURA ...................................................................................... 15
4.1 MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ................................................................... 15
4.1.1 Definição .................................................................................................................... 15
4.1.2 Histórico de alguns trabalhos sobre o MDF ........................................................... 16
4.1.3 Vantagens e desvantagens do MDF ......................................................................... 16
4.1.4 Aplicações .................................................................................................................. 17
4.2 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS .................................................................... 17
4.2.1 Definição .................................................................................................................... 17
4.2.2 Histórico de alguns trabalhos sobre o MEF ........................................................... 20
4.2.3 Vantagens e desvantagens do MEF ......................................................................... 22
4.2.4 Aplicações .................................................................................................................. 23
4.3 MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO ....................................................... 23
4.3.1 Definição .................................................................................................................... 23
4.3.2 Histórico de alguns trabalhos sobre o MEC ........................................................... 26
4.3.3 Vantagens e desvantagens do MEC ........................................................................ 27
4.3.4 Aplicações .................................................................................................................. 28
4.4 OUTROS MÉTODOS UTILIZADOS NA ENGENHARIA DE ESTRUTURAS ....... 29
4.4.1 Método da partição ................................................................................................... 29
4.4.2 Método dos elementos compostos ............................................................................ 30
4.4.3 Métodos sem malha .................................................................................................. 30
4.5 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO .................................................................................... 31
4.5.1 Exemplo utilizando o MEF ...................................................................................... 31
4.4.2 Exemplo utilizando o MEC ...................................................................................... 34
5 CONCLUSÕES ............................................................................................................... 37
REFERÊNCIAS ................................................................................................................. 38
11
1 INTRODUÇÃO
A análise de estruturas, com emprego dos métodos numéricos, em computadores,
tornou-se, hoje em dia, um procedimento absolutamente comum e instrumento até
indispensável para qualquer especialista na área de engenharia de estruturas.
Um dos grandes desafios do engenheiro estrutural é a concepção de um modelo
matemático capaz de prever com relativa precisão o comportamento real da estrutura. Em
geral, tal modelo é regido por equações matemáticas que representam três condições básicas:
de equilíbrio, de compatibilidade e constitutiva. Essas equações têm por incógnitas
componentes de três campos importantes para a análise da estrutura: os campos de
deslocamento, de tensão e de deformação. As equações matemáticas devem ainda atender a
certas restrições dadas pelas condições de contorno da estrutura. Por esse motivo, problemas
desse tipo são denominados problema de valor de contorno (PVC). Apesar das hipóteses
simplificadoras, a solução analítica do PVC é restrita a poucos problemas estruturais. Diante
desse entrave, a busca de soluções aproximativas se justifica plenamente.
Os métodos numéricos fornecem a solução aproximada do problema em pontos da
estrutura que constituem sua discretização (AMORIM NETO, 2008). Historicamente e
segundo uma sequência cronológica, pode-se afirmar que os principais métodos
desenvolvidos e utilizados na resolução de problemas estruturais foram: o método das
diferenças finitas (MDF), o método dos elementos finitos (MEF) e por último o método dos
elementos de contorno (MEC).
O método dos elementos finitos, segundo Assan (2003), prevê a divisão do domínio de
integração, contínuo, em um número finito de pequenas regiões denominadas elementos
finitos, tornando o meio contínuo em discreto. A essa divisão do domínio dá-se o nome de
rede de elementos finitos.
O método das diferenças finitas, segundo Proença (1981), constitui de um modo geral
uma alternativa sugestiva e de grande eficiência no tratamento numérico de equações
diferenciais. Tal tratamento consiste, basicamente, na determinação de valores da função
desconhecida em certo número de pontos contidos no domínio de integração.
No método dos elementos de contorno, segundo Freitas (2008), a solução dos
problemas físicos será calculada em pontos discretos, nós, agora definidos apenas sobre o
contorno. Essa característica do método leva sempre a uma redução das dimensões dos
12
problemas analisados, o que significa menor quantidade de dados de entrada, diminuição do
tempo de processamento e menor área auxiliar para armazenamento das informações
necessárias no processamento.
O MDF é pouco utilizado hoje em dia. Os elementos finitos e os elementos de
contorno tornaram-se ao longo das últimas décadas as principais entre as ferramentas de
análise estrutural, em virtude de sua simplicidade, eficiência e boa precisão.
Atualmente não é de interesse dos estudantes de engenharia conhecer o funcionamento
dos métodos, como foram criados e suas vantagens e desvantagens. A grande justificativa da
escolha do tema é incentivar estudantes, professores e profissionais da área a conhecer os
métodos, como um programa deu aquela resposta tão desejada e despertar o interesse para
futuros estudos sobre os métodos numéricos.
13
2 OBJETIVOS
2.1 GERAL
Por meio de uma pesquisa bibliográfica de forma descritiva o trabalho tem o intuito de
conhecer e apresentar para a comunidade acadêmica a importância dos métodos numéricos na
engenharia de estruturas, os tipos de métodos, vantagens e desvantagens.
2.2 ESPECÍFICOS
Esclarecer o funcionamento do método dos elementos finitos, do método dos
elementos de contorno e do método das diferenças finitas;
Mostrar alguns problemas aos quais os mesmos, estes métodos, podem ser aplicados;
Apresentar outros métodos numéricos utilizados na engenharia de estruturas.
14
3 MATERIAL E MÉTODOS
O presente trabalho consiste de uma pesquisa bibliográfica em teses, dissertações e
livros, de modo a descrever o estado da arte dos métodos numéricos aplicados em problemas
estruturais, focando essencialmente nos métodos clássicos MDF, MEF e MEC. Apontando
suas vantagens e desvantagens, visando aplicar alguns dos seus conceitos em problemas
simples, de modos a usar os métodos para resolução estrutural.
15
4 REVISÃO DE LITERATURA
4.1 MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS
4.1.1 Definição
O método das diferenças finitas (MDF) constitui de um modo geral, uma alternativa
sugestiva e de grande eficiência no tratamento numérico de equações diferenciais
(PROENÇA, 1981). Tal tratamento consiste, basicamente, em substituir uma função,
conhecida apenas em pontos isolados, por um polinômio (de interpolação) de grau n, a fim de
substituir as derivadas da função pelas derivadas do polinômio. A literatura clássica, em geral,
aborda o assunto segundo a formulação lagrangeana e, além disso, mediante a utilização de
rede de malhas regulares, que corresponde, naturalmente, a uma configuração com pontos
igualmente espaçados. A Figura 1 ilustra como funciona a discretização desse método.
Figura 1 – Viga engastada 2D – Discretização pelo MDF
Fonte: Autoria própria
16
4.1.2 Histórico de alguns trabalhos sobre o MDF
O MDF é um método numérico pouco utilizado, pois com o avanço da tecnologia dos
computadores, o MDF saiu de cena dando lugar ao MEF e ao MEC, que são métodos bem
mais recentes e com melhor precisão de resultados. Devido a esse motivo, são poucos os
trabalhos que envolvem as diferenças finitas, alguns deles são:
Proença em 1981 realizou um trabalho que tem como objetivo primordial mostrar a
viabilidade e eficiência do emprego do MDF, mediante malhas arbitrárias, na integração
numérica das equações diferenciais resultantes da aplicação da técnica do meio continuo no
estudo de estruturas de edifícios altos.
Debs em 1976 realizou um trabalho no qual apresenta uma contribuição ao cálculo das
cascas de revolução, sujeitas a carregamento de revolução em regime de flexão, mediante
diferenças finitas. Procura-se, também, fornecer alguns subsídios para o projeto e cálculo
dessas estruturas, focalizando um tipo de reservatório elevado.
Marques em 1983 estudou em seu trabalho, através da técnica do meio contínuo, o
comportamento estrutural do sistema tubular, quando solicitado por um carregamento de
momento torçor, proveniente da ação do vento. Além da estrutura tubular básica, foram
também analisadas algumas variações desta, tais como a inclusão de núcleos estruturais e
painéis paredes. Os casos aqui abordados recaem em sistemas de equações diferenciais não
homogêneas de terceira ordem. E a solução escolhida foi por meio do uso de diferenças
finitas.
4.1.3 Vantagens e desvantagens do MDF
O MDF é o mais simples entre os três métodos e relativamente fácil de programar. Sua
principal desvantagem, em problemas práticos, é que ele não é apropriado para geometrias
irregulares, e em problemas cujas incógnitas variam rapidamente, como problemas de
concentração de tensões.
17
4.1.4 Aplicações
Por ser um método antigo e difícil de encontrar trabalhos que o aborde, o MDF tem
sua formulação pouco utilizada para resolução dos problemas de engenharia da atualidade.
Entretanto alguns anos atrás ele era bastante aplicado em problemas que envolviam a ação dos
ventos em edifícios altos, descrevendo o comportamento da estrutura, era também aplicado à
teoria de flexão.
4.2 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
4.2.1 Definição
Os métodos numéricos fornecem a solução aproximada do problema em pontos da
estrutura que constituem sua discretização. Dentre estes métodos existentes na literatura, o
método dos elementos finitos (MEF) é o mais utilizado dado sua simplicidade e capacidade de
proporcionar soluções próximas da solução analítica. Surgiu como uma nova possibilidade
para resolver problemas da teoria da elasticidade, superando as dificuldades e problemas
inerentes de outros métodos como, por exemplo, o MDF.
O MEF, comumente utilizado, prevê a divisão do domínio de integração, contínuo, em
um número finito de pequenas regiões denominadas elementos finitos, tornando o meio
contínuo em discreto, (ASSAN, 2003), como mostra o elemento hachurado da Figura 2.
18
Figura 2 – Rede de elementos finitos
Fonte: ASSAN (2003)
A cada divisão do domínio, dá-se o nome de rede de elementos finitos. A malha desse
reticulado pode ser diminuída ou aumentada variando o tamanho dos elementos finitos. Os
pontos de interseção das linhas dessa rede são chamados de nós.
Para esclarecer o funciona do MEF é usada uma viga engastada, e é representada sua
discretização para os casos de uma dimensão, duas dimensões e três dimensões.
Para o caso 1D, onde a viga é representada simplesmente por uma reta, Figura 3, seus
pontos de discretização estarão sobre a mesma e os elementos finitos serão barras separadas
pelos nós, como mostra a Figura 4.
Figura 3 – Viga engastada 1D
Fonte: Autoria própria
19
Figura 4 – Viga engastada 1D – Discretização pelo MEF
Fonte: Autoria própria
Para o caso 2D, onde a viga é representada em forma retangular, Figura 5, seus pontos
de discretização estarão sobre as arestas do retângulo, os elementos finitos terão a mesma
dimensão da viga e são formados por barras ligadas pelos nós, formando pequenos triângulos
ou retângulos, como mostra a Figura 6.
Figura 5 – Viga engastada 2D
Fonte: Autoria própria
Figura 6 – Viga engastada 2D – Discretização pelo MEF
Fonte: Autoria própria
20
Para o caso 3D, onde a viga é representada em forma prismática, Figura 7, seus pontos
de discretização estarão sobre as arestas e no interior do prisma, os elementos finitos terão a
mesma dimensão da viga e são formados por barras ligadas pelos nós, formando pequenos
cubos ou tetraedros, como mostra a Figura 8.
Figura 7 – Viga engastada 3D
Fonte: Autoria própria
Figura 8 – Viga engastada 3D – Discretização pelo MEF
Fonte: Autoria própria
4.2.2 Histórico de alguns trabalhos sobre o MEF
O MEF, segundo Assan (2003), teve sua formulação estabelecida da forma como hoje
é conhecida com a publicação do trabalho de Turner, Clough, Martin e Topp, em 1956.
Embora sua formulação já fosse conhecida desde o início dos anos 50, o MEF passou a ser
21
difundido e aplicado nas diversas áreas – além da engenharia estrutural – com a rápida
evolução e expansão dos computadores.
Hoje, muitos trabalhos já foram elaborados buscando esclarecer e resolver vários tipos
de problemas relacionados à engenharia, principalmente a engenharia de estruturas. A seguir
são apresentados alguns trabalhos, fazendo assim um breve histórico sobre o MEF.
Oliveira (2004) utilizou o MEF para encontrar uma solução computacional para seu
trabalho que tinha como objetivo estudar o comportamento e apresentar a modelagem de
materiais sujeitos à deformação lenta ou creep. Desenvolveu-se uma formulação para a
solução de problemas bidimensionais no estágio secundário, também denominado creep
estacionário.
O trabalho de Góis (2004) trata da combinação entre a formulação Híbrida-Mista de
Tensão (FHMT), para a elasticidade plana, com o Método dos Elementos Finitos
Generalizados (MEFG). O MEFG se caracteriza como uma forma não convencional do MEF
que resulta da incorporação a este, de conceitos e técnicas dos métodos sem malha.
Ainda no trabalho de Góis, o MEF é entendido como uma técnica sistemática de
geração de funções interpoladoras que podem ser utilizadas nas diferentes formas, nas quais o
PVC é expresso, com o objetivo de gerar uma solução aproximada.
Sabe-se que o MEF em sua forma convencional é uma ferramenta poderosa no cálculo
estrutural moderno. Porém, se o problema apresenta singularidades, como os efeitos de borda
tipicamente introduzidos pelos vínculos nas estruturas em casca, a análise pode exigir alto
refinamento da malha. Procurando resolver mais eficientemente esse tipo de problema,
especificamente em estruturas com simetria de revolução como os tubos cilíndricos e as
cascas esféricas, Nirschl (2005) apresentou em seu trabalho, alternativas não convencionais
para o emprego do MEF.
O trabalho de Argôlo (2010) trata da utilização de formulações não convencionais de
elementos finitos na obtenção de fatores de intensidade de tensão associados a múltiplas
fissuras distribuídas num domínio bidimensional. O uso do MEF em sua forma convencional
pode requerer um refinamento excessivo da rede nesse tipo de problema, aumentando o custo
computacional da análise.
22
4.2.3 Vantagens e desvantagens do MEF
O MEF tem sido amplamente utilizado em todos os problemas físicos que são
governados por equações diferenciais. Diversas vantagens apresentadas na utilização deste
método têm contribuído com o aumento da sua utilização.
Segundo Góis (2004), algumas das principais vantagens são:
 As propriedades dos materiais não precisam ser necessariamente as mesmas em
elementos adjacentes, o que possibilita a utilização de corpos compostos por diversos
materiais.
 Fronteiras irregulares podem ser aproximadas usando elementos com lados estreitos
ou representadas com exatidão utilizando elementos com fronteiras curvas.
 O tamanho dos elementos pode ser variado. Esta propriedade permite que os
elementos tenham tamanhos adaptados ao gradiente da função objetivo.
O MEF tem se destacado como sendo uma ferramenta de uso geral, eficaz e de alto
desempenho.
Apesar disso, segundo Argôlo (2010), o MEF pode apresentar alguns percalços:
 Sensibilidade à distorção dos elementos;
 O emprego de funções polinomiais para a construção da aproximação da solução exige
um grande refinamento da rede em problemas que contenham singularidades,
elevando o custo computacional;
 Perda de precisão nos níveis superiores de derivadas da aproximação como, por
exemplo, ao determinar os campos de deformações e de tensões devidos à derivação
da solução em deslocamento.
A principal desvantagem da utilização do MEF é relacionada à necessidade de
programas de computador.
Além da necessidade de um computador, o método necessita de uma grande
quantidade de memória para a solução de grandes problemas complicados.
Na verdade essa desvantagem foi motivo de preocupação durante algumas décadas,
porém na atualidade, com o avanço da tecnologia e a redução de preço dos equipamentos,
consideram-se neste grupo os computadores, tal desvantagem quase que desaparece.
Atualmente, a centenas de programas computacionais comerciais de uso corrente em
diversas áreas do conhecimento que utilizam esse método para análise linear e não linear. O
23
MEF esta hoje completamente agregado às atividades do engenheiro, de modo que seu
aprendizado é essencial para que se possa lidar com lucidez com os programas comerciais
disponíveis em quase todos os escritórios de projetos.
4.2.4 Aplicações
Atualmente o MEF encontra aplicação em praticamente todas as áreas de engenharia,
como na análise de tensões e deformações, transferência de calor, mecânica dos fluidos e
reologia, eletromagnetismo, etc, inclusive recebendo designações específicas como na
mecânica dos fluidos computacionais (CFD) e no eletromagnetismo computacional (CEM).
O MEF pode ser combinado com programas de CAD facilitando a modelação dos
Sólidos e a Geração de Malhas.
4.3 MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO
4.3.1 Definição
O método dos elementos de contorno (MEC) constitui uma alternativa importante no
conjunto das técnicas numéricas mais utilizadas, como o MEF ou o MDF.
O MEC, segundo Fudoli (1999), consiste numa ferramenta numérica para a resolução
das equações integrais que governam o problema, fazendo-se aproximações da geometria do
contorno (discretização) do domínio em elementos e dos valores de contorno. A aproximação
da geometria é mostrada na Figura 9.
24
Figura 9 – Discretização do problema pelo MEC.
Fonte: FUDOLI (1999)
Isso reduz de uma unidade as dimensões de problemas lineares analisados, o que leva
a menores quantidades de dados de entrada e, consequentemente, menor sistema de equações
algébricas.
Para esclarecer o funciona do MEC, usa-se, como no método dos elementos finitos,
uma viga engastada e é representada sua discretização para as três dimensões.
Para o caso 1D, onde a viga é representada simplesmente por uma reta, como
mostrado na Figura 3, seus pontos de discretização estarão sobre a mesma, a diferença para o
MEF é que só terá dois nós como mostra a Figura 10, formando assim uma única barra, ou
seja um só elemento finito.
Figura 10 – Viga engastada 1D – Discretização pelo MEC
Fonte: Autoria própria
Para o caso 2D, onde a viga é representada em forma retangular, como mostrado na
Figura 5, seus pontos de discretização estarão sobre as arestas do retângulo, e os elementos
finitos terão uma dimensão menor que a viga, ou seja, os elementos finitos terão uma única
dimensão e são formados por barras ligadas pelos nós, percorrendo o contorno da vaga, como
mostra a Figura 11.
25
Figura 11 – Viga engastada 2D – Discretização pelo MEC
Fonte: Autoria própria
Para o caso 3D, onde a viga é representada em forma prismática, como mostrado na
Figura 7, seus pontos de discretização estarão sobre as arestas do cubo, os elementos finitos
terão dimensão 2D, ou seja, menor que da viga e são formados por barras ligadas pelos nós,
formando pequenos planos no contorno da viga, como mostra a Figura 12.
Figura 12 – Viga engastada 3D – Discretização pelo MEC
Fonte: Autoria própria
Em relação a outros métodos numéricos, o MEC apresenta menor necessidade de
entrada de dados (entrada somente das coordenadas inicial e final dos nós dos elementos) e
melhor aproximação dos problemas quando definidos por regiões infinitas e problemas de
concentração de tensões (mecânica da fratura), (VICENTINI, 2006).
A Figura 13 mostra a principal diferença na discretização dos três métodos.
26
Figura 13 – Métodos numéricos aplicados a problemas de engenharia
Fonte: BACARJI (2001)
4.3.2 Histórico de alguns trabalhos sobre o MEC
Segundo Fudoli (1999) o método dos elementos de contorno teve seu início com Betti
em 1872 nos estudos de problemas utilizando equações integrais, aplicadas à teoria da
elasticidade. Com o avanço dos computadores vários pesquisadores realizaram trabalhos
envolvendo o método dos elementos de contorno. A seguir são citados alguns trabalhos e seus
objetivos.
Barcarji (2001) utiliza em seu trabalho uma formulação do MEC para a análise de
pavimentos de edifícios, dando-se particular ênfase à análise de lajes cogumelo feita com a
incorporação da não linearidade física. Nesta formulação são consideradas as tensões normais
e cisalhantes possibilitando, assim, a determinação da resistência última da estrutura.
Fudoli (1999) teve como objetivo básico em seu trabalho estender a formulação
elastoplástica do MEC, de modo a incorporar a análise de corpos sujeitos ao fenômeno da
localização de deformações. É utilizado um modelo de plasticidade com gradiente a fim de se
evitarem as dificuldades associadas ao contínuo local.
27
No contexto do método dos elementos de contorno, Vicentini (2006) comparou três
formulações em distintos aspectos. Visando a análise de sólidos bidimensionais no campo da
mecânica da fratura, primeiramente é estudada a equação singular ou em deslocamentos. Em
seguida, a formulação hiper-singular ou em forças de superfície é avaliada. Por último, a
formulação dual, que emprega ambas equações, é analisada.
Freitas (2008) desenvolveu em seu trabalho um programa capaz de analisar as
variáveis envolvidas na construção de túneis profundos através de um modelo numérico
bidimensional
baseado
no
MEC,
implementando
técnicas
numéricas
tais
como:
subelementação, técnica da sub-região e modelagem de inclusão e enrijecedores. O modelo
numérico bidimensional foi calibrado para considerar o efeito tridimensional do problema de
túneis no que se refere ao avanço da frente de escavação, para dois casos a saber: i) túneis sem
suporte e ii) túneis com suporte. Os resultados mostraram grande precisão quando
comparados com os resultados analíticos mesmo utilizando um número pequeno de
elementos, provocando uma redução significativa no tempo de processamento se comparado
com outros métodos.
Senna (2003) descreve uma formulação em 2D no domínio do tempo, que emprega a
solução fundamental correspondente a uma função constante no tempo. O procedimento
numérico emprega uma discretização por elementos lineares no contorno e células
triangulares no domínio (quando necessário). O potencial e sua derivada normal possuem
variação linear no tempo e no espaço e, como é usual em formulações do MEC dependentes
do tempo, a integração no tempo é realizada analiticamente.
4.3.3 Vantagens e desvantagens do MEC
O MEC, ferramenta numérica alternativa ao MEF, é bastante eficiente em problemas
que apresentam concentrações de tensões (VICENTINI, 2006). Especialmente no caso da
fratura, o emprego de soluções singulares como ponderadora consegue simular a presença de
singularidades na ponta da fissura com maior precisão.
Segundo Freitas (2008) algumas vantagens do MEC em relação a outros métodos são:

Menos dados: No MEC, menos dados são necessários para executar um
programa de forma eficiente.
28

Menor tempo: No MEC, menos tempo será necessário para a solução de um
problema devido a um pequeno sistema de equação.

Não é caro: Desde que a discretização é apenas na superfície. Assim a
quantidade de dados é pequena. É por isso que tal técnica não é cara.
O MEC possui duas vantagens principais em relação ao MEF e ao MDF (FUDOLI,
1999).
Uma delas é a da possibilidade de redução de uma unidade na dimensionalidade do
problema, como já foi explicado anteriormente. No entanto, essa redução de uma forma
completa nem sempre é simples, sendo em muitos casos problemática para certos problemas
ou termos das equações governantes.
A segunda vantagem parece ser mais importante e inequívoca: as equações integrais
que servem de base para o método dos elementos de contorno partem de uma representação
exata das quantidades físicas do problema – ao contrário do que ocorre com os elementos
finitos ou diferenças finitas. É verdade porém que essa vantagem não é obtida gratuitamente,
e um preço deve ser pago no tratamento das singularidades das equações integrais básicas dos
elementos de contorno. Essas singularidades nas equações integrais certamente constituíramse num dos principais obstáculos ao desenvolvimento do método dos elementos de contorno
no mesmo passo que o alcançado pelos elementos finitos. Mas são justamente essas
dificuldades que se encontram imbricadas às possibilidades de se obterem soluções
aproximadas relativamente melhores.
São poucas as desvantagens encontradas nesse método, uma delas é a exigência do
cálculo de integrais singulares, outra é que comercialmente é menos utilizado e sua aplicação
prática é relativamente recente, não é tão conhecido como o MEF pelos usuários.
4.3.4 Aplicações
Uma das principais características do MEC é sua diversidade em aplicações, cobrindo
muitas áreas da Física e da Engenharia, como por exemplo em mecânica estrutural, mecânica
das fraturas, plasticidade, viscoplasticidade, geomecânica, entre outras áreas.
O MEC tem aplicação destacada na análise de problemas da elastodinâmica. Suas
características permitem analisar problemas da elastodinâmica no espaço tridimensional
29
(infinito ou semi-infinito) com consideráveis avanços em comparação a outros métodos
numéricos.
4.4 OUTROS MÉTODOS UTILIZADOS NA ENGENHARIA DE ESTRUTURAS
4.4.1 Método da partição
O Método da Partição, segundo Alves (2010), foi introduzido para a análise de
múltiplas fissuras em problemas de engenharia, como sendo um método de resposta confiável
e precisa, além de baixo custo computacional no confronto com métodos similares. A
motivação para este tipo de análise são os acidentes em aeronaves associados a rupturas de
carenagens decorrentes da interação entre múltiplas fissuras que se localizam, em especial,
nas regiões de rebites.
O problema básico do Método da Partição está representado na Figura 14 e consiste
num sólido contendo certo número de vazios e fissuras (uma por vazio, mas poderia ser mais)
submetido a tensão σ aplicadas na superfície S de contorno. Na Figura 14, Si, Sci e ai referemse, respectivamente, às superfícies do contorno do vazio, a fissura i e ao comprimento da
fissura i.
Figura 14 – Sólido com múltiplas fissuras
Fonte: ALVES (2010)
30
4.4.2 Método dos elementos compostos
O método dos Elementos Compostos (MC), segundo Hoefel (2002), é uma variação
do MEF para análise de vibrações em estruturas. Este método combina o MEF convencional
com a Teoria Clássica. Resultados numéricos obtidos em trabalhos realizados por
pesquisadores foram comparados ao MEF, onde de concluiu que o MC é mais preciso que o
MEF com o mesmo número de graus de liberdade.
4.4.3 Métodos sem malha
Métodos numéricos para a solução de problemas de valor de contorno, PVC, cujas
equações básicas de governo do modelo discreto independem, ou quase, da definição de uma
malha de elementos finitos (BARROS, 2002). Em resumo, a solução aproximada do
problema, em um espaço de dimensão finita, é construída sem que a conectividade entre os
pontos nodais desta aproximação seja pré-estabelecida.
31
4.5 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO
4.5.1 Exemplo utilizando o MEF
Este exemplo, apresentado por Amorim Neto (2008) e também por Góis (2004),
consiste em uma chapa carregada nas faces laterais, e que possui uma fenda na sua região
interna conforme mostra a Figura 15.
Figura 15 – Chapa com fenda – Geometria e carregamento.
Fonte: AMORIM (2008)
Como se pode observar é possível explorar os dois eixos de simetria que existem no
seu plano, de modo a diminuir a discretização para o problema. Depois de impostas as
condições de simetria o exemplo se mostra conforme a Figura 16.
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Figura 16 – Chapa com fenda – Considerando as condições de Simetria.
Fonte: AMORIM (2008)
Figura 17 – Chapa com fenda – Rede de elementos finitos adotada.
Fonte: AMORIM (2008)
Com a presença da fenda, espera-se que haja uma forte concentração de tensões na
ponta da mesma. A rede de elementos finitos tem discretização refinada com elementos
distorcidos na região à frente da ponta da fenda. A Figura 18 apresenta a resposta para a
tensão σx. A Figura 19 apresenta a resposta para a tensão σy. A Figura 20 apresenta a resposta
para a tensão de cisalhamento τxy.
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Figura 18 – Chapa com fenda – Tensão σx para a rede de elementos finitos.
Fonte: AMORIM (2008)
Figura 19 – Chapa com fenda – Tensão σy para a rede de elementos finitos.
Fonte: AMORIM (2008)
34
Figura 20 – Chapa com fenda – Tensão de cisalhamento τxy para a rede de elememtos
finitos.
Fonte: AMORIM (2008)
4.4.2 Exemplo utilizando o MEC
Como exemplo de aplicação do MEC, mostra-se um exemplo já estudado em
Vicentini (2006), uma viga engastada no plano 2D, como mostra a Figura 21, e expressa-se os
resultados obtidos para as tensões na direção x, direção y e cisalhante em xy.
Figura 21 – Viga engastada
Fonte: VICENTINI (2006)
35
A discretização no problema foi: 68 elementos de mesmo tamanho, 72 nós (mistos),
45 pontos internos, h = 40cm, l = 300cm, q =1KN cm2 . A Figura 22 apresenta a resposta para
a deformação da viga. A Figura 23 apresenta a resposta para a tensão σx. A Figura 24
apresenta a resposta para a tensão σy. A Figura 25 apresenta a resposta para a tensão de
cisalhamento τxy.
Figura 22 – Viga engastada - Diagrama de deformação
Fonte: VICENTINI (2006)
Figura 23 – Viga engastada - Tensão σx para a rede de elementos de contorno
Fonte: VICENTINI (2006)
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Figura 24 – Viga engastada - Tensão σy para a rede de elementos de contorno
Fonte: VICENTINI (2006)
Figura 25 – Viga engastada - Tensão de cisalhamento τxy para a rede de elememtos de
contorno
Fonte: VICENTINI (2006)
As tensões na região próxima ao engaste indicam que ocorre maior tração na parte
superior e compressão na parte inferior, condizente com a deformada da viga apresentada. O
diagrama de tensão cisalhante apresenta-se também coerente, com valores próximos à zero na
extremidade em balanço que vão crescendo em direção ao engaste.
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5 CONCLUSÕES
Este trabalho buscou oferecer uma contribuição ao estudo dos métodos numéricos na
engenharia. Esclarecendo o funcionamento do método dos elementos finitos (MEF) e do
método dos elementos de contorno (MEC), que são os principais e mais utilizados na
resolução de problemas. Não se esquecendo de ressaltar o método que atualmente é pouco
utilizado, mas é o pioneiro de todo estudo desenvolvido até hoje com os métodos numéricos
na engenharia, que é o método das diferenças finitas (MDF). Foram citados outros métodos
utilizados na engenharia de estruturas, esses menos utilizados, apenas em problemas
específicos. Por esse motivo não buscou esclarecer o funcionamento desses métodos e sim o
conhecimento de sua existência e campos de aplicação. O trabalho mostrou alguns problemas
onde o MEF e MEC podem ser aplicados, deixando mais claro o objetivo dos mesmos,
concluindo que o método a ser utilizado depende do problema a ser resolvido, mas o MEF em
geral é o mais preciso entre os métodos aqui estudados.
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REFERÊNCIAS
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2010. 193p. Tese (Doutorado) - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São
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