O ENSINO DA GEOMETRIA E AS DIFERENTES ESTRATÉGIAS DE ENSINO
BENEDITA APARECIDA DE TOLEDO DA SILVA (UNIVERSIDADE CRUZEIRA
DO SUL)
Resumo
Trazemos, neste texto, o relato de uma situação vivida na sala de aula da educação
básica com a proposta de promover a aprendizagem geométrica dos alunos, utilizando a
resolução de problemas como estratégia de ensino. Apesar de a matemática ser
considerada, pela maioria dos estudantes, uma disciplina com alto grau de dificuldade,
entendemos que ela permeia nossos atos do dia a dia, além de favorecer um tipo de
pensamento muito particular e, por isso, procuramos buscar alternativas de ensino que
sejam capazes de fazer com que os estudantes sintam-se motivados a estudá-la e
desafiados a resolver as situações que lhes são apresentadas, compreendendo o sentido
do que é exposto. Trabalhando a partir de uma situação sobre saneamento, que exige do
aluno o encontro de possíveis entradas e saídas de um sistema de tubulação,
propusemos questões que levassem os alunos a discutirem diversos temas aliados ao
contexto geométrico como: a identificação de polígonos, a comparação e classificação
de figuras, deduções e generalizações de propriedades das figuras planas, além da
resolução de problemas como um modo de interpretação da linguagem matemática e
expressão do compreendido. Infelizmente, no dia a dia da sala de aula, o excesso de
emprego da técnica algorítmica na resolução de exercícios de geometria e a
memorização de nomenclaturas, definições e propriedades, não contribuem para o
desenvolvimento do pensamento geométrico e não permitem que os alunos vejam a
matemática em seus aspectos aplicados. Por esse motivo, construímos uma atividade
em que a idéia perseguida foi motivar o aluno à aprendizagem geométrica. O relato ora
apresentado tem, do mesmo modo, a intenção de expor essa busca de metodologias
alternativas para estimular o desenvolvimento do pensamento geométrico dos alunos,
procurando construir um debate que forneça elementos para a reflexão sobre a situação
vivida.
Palavras-chave: aprendizagem matemática, pensamento lógico, estrutura cognitiva.
As crianças começam a aprender geometria, assim que desenvolvem suas capacidades
perceptivas que é própria do ser humano e, na medida em que crescem, descobrem as
características dos objetos que vivenciam. Entretanto, a aprendizagem geométrica que
elas trazem para a escola não é suficiente e precisam ser formalizadas através de
intervenções pedagógicas que contribuam para a estruturação do pensamento
geométrico e possibilite o desenvolvimento do raciocínio lógico e dedutivo.
O trabalho com a geometria favorece o desenvolvimento da capacidade de raciocinar,
ajuda na resolução dos problemas que envolvem as abstrações e são relevantes para a
construção da relação espaço-temporal.
Infelizmente o excesso de memorização e a falta de preocupação em relacionar a
geometria com o mundo real vivido, nada contribuem para o desenvolvimento do
pensamento geométrico. A forma com que o ensino da geometria tem se dado nas
escolas, revela a forma tradicional com que os conteúdos geométricos têm sido tratados
nas salas de aula sem que se permita aos estudantes participarem da construção do
conhecimento geométrico de forma que eles possam vir a produzir significados para o
que é visto.
Esperamos que o relato da atividade que desenvolvemos possa vir a contribuir para uma
reflexão sobre a forma como se têm ensinado geometria e estimule a procura por novas
abordagens metodológicas que permitam romper com o imobilismo tradicional e
construir uma postura que valorize o processo investigativo e a busca de solução pelos
alunos.
Não posso deixar de mencionar, nesse trabalho, a participação de minha orientadora no
programa de mestrado, Dra. Rosa Monteiro Paulo 1, que supervisionou o
desenvolvimento das atividades e me encorajou a tornar pública essa experiência e
contribuir com a busca de metodologias alternativas que estimulem o desenvolvimento
do pensamento geométrico dos alunos, procurando construir um debate que forneça
elementos para a reflexão sobre a situação vivida.
A atividade desenvolvida em sala de aula
Apesar de os alunos apontarem a matemática como a disciplina em que eles encontram
maior dificuldade, há temas relacionados a matemática que estão presentes em muitas
situações da vida cotidiana. Mas seria possível encontrar alternativas para o trabalho em
1
Doutora em Educação Matemática. Professora do Programa de pós-graduação Mestrado em Ensino de
Ciências e Matemática da Universidade Cruzeiro do Sul. São Paulo.
sala de aula valorizando situações que levassem os alunos a perceber essa presença
matemática e olhá-la com mais disponibilidade?
Tal inquietação nos levou a buscar alternativas para o trabalho em sala de aula e
elaborar atividades que permitissem ao aluno interpretar as situações matemáticas com
compreensão e expor seu modo de perceber.
A atividade origina-se de um problema
2
sobre saneamento. Ela sugere que o aluno
encontre possíveis entradas e saídas de um sistema de tubulação subterrânea, de modo
que o inspetor possa realizar sua tarefa de inspeção de uma única vez, ou seja, o inspetor
deve passar uma única vez por cada um dos lugares mostrado na planta que segue
abaixo.
As folhas, contendo o desenho acima, foram distribuídas a alunos de 8ª série/9º ano do
ensino fundamental II. A opção por essa turma deu-se pelo fato de considerarmos que
eles, por estarem no final do processo de escolarização, já tinham domínio de alguns
conteúdos geométricos. Dividimos a turma em pequenos grupos e os alunos começaram
a discutir o procedimento a ser adotado para a realização da tarefa proposta. O objetivo
inicial era trabalhar com a resolução de problemas. Ou seja, pretendia-se usar uma
metodologia em que os alunos, diante de uma situação, se dispusessem a investigar um
modo de solução possível.
O início era, talvez, a tarefa mais árdua. A falta de hábito no trabalho com situações
dessa natureza levava os alunos a questionarem, por exemplo, “por onde devo
começar?”. No entanto, ao percorrermos os grupos e observarmos o envolvimento dos
alunos com a tarefa, víamos, pelos diálogos empreendidos, revelar-se um interesse pelo
assunto e uma busca de solução para o problema. Eles discutiam:
2
Atividade adaptada do livro Aplicações da Matemática Escolar, um trabalho conjunto da Mathematical
Association of América e do National Council of Teacher of Mathematics, traduzido por Hygino H.
Domingues, Editora Atual, 1997 (Atividade 6.3 pg. 372).
Sujeito 1: “Se eu começar por esse quadradinho – apontando para o losango desenhado
na figura - eu posso sair por ele também porque eu viro à esquerda e sigo por esse
corredor e depois viro novamente no trapézio”;
Sujeito 2: “Ah! já sei! Eu posso virar por essa reta que está cortando o quadrado grande”
Sujeito 3: “ Ou posso começar pelo triângulo do quadrado”.
Os alunos pareciam “pensar alto” ao discutirem os caminhos que deveriam seguir. A
dúvida geral era quanto ao nome das figuras que apareciam na “planta”. Nós
acompanhávamos as investigações dos grupos e fazíamos intervenções quando
necessário.
Como a situação proposta não dizia se haveria mais de uma possibilidade de solução,
observamos certa polêmica entre os grupos. Houve aqueles que encontravam duas
possibilidades, outros três possibilidades, mas nenhum encontrou somente uma
possibilidade. A polêmica girava em torno de “qual das possibilidades encontradas seria
a correta”.
Após algumas discussões foi possível perceber que todas as respostas encontradas
poderiam ser consideradas corretas, uma vez que atendiam a condição imposta: que a
inspeção tivesse sido realizada uma única vez.
Abrimos uma discussão com o “grande grupo” – a classe - para ver as opiniões acerca
da atividade proposta. Percebemos que, tanto durante o desenvolvimento da atividade,
quanto na reflexão sobre as respostas encontradas, o objetivo inicial de trabalhar com a
resolução de problemas levava os alunos a investigarem possibilidades de resposta e,
também, tínhamos a abertura para um trabalho com a geometria euclidiana plana.
Tivemos a oportunidade de identificar polígonos, comparar trajetos – envolvendo a
idéia de perímetro - classificar figuras quanto as medidas dos lados e dos ângulos, fazer
deduções e buscar algumas generalizações de propriedades de figuras planas, além de
favorecer o desenvolvimento da espacialidade, já que, na maioria das falas o percurso
era evidente. No entanto, nossa suposição inicial para a escolha da turma, revelava um
equívoco: os alunos, ao contrário do que imaginávamos, tinham pouco conhecimento
geométrico. Sentíamos a necessidade de ampliar a atividade e continuar a exploração
geométrica com o objetivo de contribuir para que o repertório desse conhecimento fosse
ampliado pelos alunos.
A função de professora deixa-nos claro o caminho a seguir mas o viés de pesquisadora
pede uma justificativa para o ocorrido. O que nos põe diante de um quadro de
aprendizagem geométrica tão defasada? Vamos buscar compreensão.
Considerações acerca do ensino de geometria e reflexões iniciais
Pavanello (1989), ao analisar os currículos e programas escolares observa que os
conteúdos trabalhados em Matemática, nas primeiras séries do Ensino Fundamental
privilegiam a aritmética, enquanto que nas séries finais a ênfase é dada a álgebra, que se
estende ao longo do Ensino Médio. O ensino de Geometria, por outro lado, quando
ocorre, é desvinculado dos demais conteúdos matemáticos e apoiado (senão
compreendido) na álgebra. Vamos tentar compreender essa situação.
Até a metade do século XX, o ensino de conteúdos geométricos era marcadamente
lógico-dedutivo. Apenas no terceiro ano ginasial 3 é que se dava ênfase a esses
conteúdos que, em geral, começavam com as noções primitivas (ponto, reta e plano), os
primeiros postulados e axiomas, inúmeras definições e demonstrações de teoremas que
causavam certa aversão dos alunos à Geometria, graças ao modo como os conteúdo lhes
eram apresentados.
Com o Movimento da Matemática Moderna (meados de 1950) o ensino da matemática
passou por intensas reformulações e unificou seus três campos fundamentais: a Álgebra,
a Aritmética e a Geometria tendo a teoria dos conjuntos como a base para a construção
lógica da matemática centrada na abstração, no formalismo da linguagem e na
geometria não-euclidiana.
O despreparo dos professores para trabalhar com esse modelo rígido de ensino e de
linguagem, fez com a Geometria passasse a ser desenvolvida sem a preocupação da
construção de uma sistematização, acentuando-se o ensino das figuras geométricas
envolvendo noções de área e perímetro.
Isso levou o ensino de geometria, nas últimas décadas, a não ter o merecido enfoque.
Dreyfus (1994) e Fletcher (1970-71) nos permitem entender que esse fato não é devido
ao estudo da geometria euclidiana, uma vez que ela não é um empecilho para o sucesso
da aprendizagem geométrica. Porém, a forma como se lida com a organização,
apresentação e discussão dos conteúdos geométricos é o que poderá despertar o
interesse e a percepção do aluno ou seu total descaso para com a geometria. Isso
envolve tanto o saber didático como o de conteúdo.
Shulman (1992), diz que o professor deve compreender a disciplina que vai ensinar a
partir de diferentes perspectivas e estabelecer relações entre vários tópicos do conteúdo
disciplinar, entre sua disciplina e outras áreas do conhecimento, pois, somente assim,
3
O terceiro ano ginasial equivale hoje a 7ª. série ou 8º. ano do Ensino Fundamental.
ele terá condições de levar o seu aluno a organizar os conteúdos de modo que estes lhes
façam sentido.
No que diz respeito ao conhecimento do conteúdo Bicudo (2005) destaca que o
professor apenas poderá ensinar ao aluno se ele próprio tiver domínio tanto do conteúdo
a ser ensinado quanto dos objetivos específicos de sua área ou disciplina e da sua
finalidade. Para essa autora, o professor somente ensina o que conhece e julga
importante que o seu aluno também venha a conhecer. Se o professor não for detentor
do conhecimento inerente a sua área de atuação, a insegurança da sala de aula aliada às
condições de trabalho e a falta de perspectivas dos alunos, certamente ele terá
obstáculos para promover a aprendizagem dos seus alunos.
Entretanto, afirma, para ensinar, não basta que o professor domine plenamente os
conteúdos disciplinares. É importante que haja uma reflexão sobre o que está sendo
ensinado, sobre a melhor forma de fazê-lo, sobre a linguagem que deve ser usada para
expressar idéias e atingir objetivos, de modo que o conhecimento possa vir a ser
produzido. Ou seja, o professor deve ter a preocupação com o modo de ser e de
conhecer do seu aluno tanto quanto tem a preocupação com o corpo de conhecimentos
que ensina. É imprescindível, portanto, que o professor conheça muito bem os
conteúdos de sua disciplina e a realidade dos seus alunos, o contexto em que os mesmos
estão inseridos, para que possa descobrir meios de tornar a relação entre o ensino e a
aprendizagem prazerosa; para que possa compreender a forma como esse aluno
transforma as informações em conhecimento e seja capaz de promover um ambiente de
aprendizagem efetiva.
Ao propormos a realização do trabalho ora descrito, pensamos em desenvolver uma
metodologia diferenciada, no que diz respeito ao fazer pedagógico. Apoiamo-nos nos
conteúdos da geometria euclidiana plana. Buscamos clareza dos conteúdos que tais
atividades envolviam e procuramos despertar o interesse de nossos alunos, pela
investigação das diversas possibilidades apresentadas no desenho que eles viam.
Tínhamos clareza do objetivo a ser atingido: pretendíamos uma aprendizagem da
geometria que permitisse a percepção e exploração das formas planas, o
estabelecimento de relações espaciais e o desenvolvimento da capacidade de
argumentação. Buscávamos uma possibilidade de trabalhar com a geometria em sala de
aula que não prescindisse do rigor da justificativa de soluções encontradas, mas que
abrissem caminhos de investigação e mostrassem possibilidades de descoberta e
construção de conhecimento.
Ampliando a atividade proposta: uma descrição da situação vivida
Ao termino da atividade de busca do percurso, vimos a possibilidade de ampliação das
situações investigativas, uma vez que os alunos estavam dispostos a seguir com o
trabalho. Para tanto, construímos uma seqüência de atividades e continuamos com o
trabalho em grupo.
A cada grupo foi entregue, em papel cartão, a figura da atividade inicial (figura 1) da
página 4 apresentando-a como a planta baixa de um shopping center. Pedimos aos
grupos que observassem as figuras geométricas que apareciam no desenho e fizessem
uma relação com o nome dos polígonos que eles reconheciam.
As respostas obtidas limitavam-se a: “temos um quadrado, 1 retângulo, outro retângulo,
outro quadrado”; “esta figura não pode ser um losango, ela é um quadrado, pois as
dimensões são iguais”; “temos um triângulo, outro triângulo ali, um trapézio e outros
mais”. Embora os alunos percebessem que era possível identificar, no desenho, outras
figuras, eles não eram capazes de nomeá-las ou descreverem suas características.
Percebíamos, durante a identificação das figuras contidas nos desenhos, a dificuldade
dos alunos em classificar, de algum modo, as figuras que ali se encontravam.
Entendemos, então, que tínhamos uma oportunidade de valorizar a atenção e o interesse
dos alunos pela atividade, e discutir conteúdos de geometria euclidiana que não se
mostravam claros para os alunos.
Dentre as diversas possibilidades de exploração oferecida pela atividade, optamos por
valorizar as propriedades e características das figuras geométricas por eles reconhecidas
como o retângulo, o quadrado, o paralelogramo, o losango, o trapézio e o triângulo. Para
tanto os alunos puderam reproduzir e recortar as figuras explorando relações entre
medidas de lados, ângulos e área.
Iniciamos pela exploração do quadrilátero ABCD, destacado abaixo, primeira figura
identificada pelos alunos.
Os alunos observaram que ABCD era um quadrado, observando a medida dos seus
lados e os ângulos retos. A partir de algumas questões feitas pelo professor os alunos
concluíram que, nesse quadrilátero havia um paralelismo entre os lados BC e AD; e
entre DC e AB.
Sugerimos então que eles observassem desse quadrilátero, o triângulo ABC.
Concluímos, pela exploração, que o triângulo ABC é retângulo em B, que ele foi obtido
a partir da secção do quadrado pela sua diagonal. Isso levou os alunos a observarem que
o triângulo ABC possuía dois lados de mesma medida AB e BC, uma vez que eles eram
lados do quadrado inicial ABCD.
Classificamos o triângulo, a partir dessa observação, em isósceles. Instigamos os alunos
na observação da medida dos seus ângulos internos e eles viram que as medidas dos
ângulos A e B eram 45º. Concluímos, portanto que o triângulo obtido era retângulo e
isósceles.
Sugerimos que os alunos traçassem o segmento BU, bissetriz do ângulo de 90º, para
explorar a idéia de altura de um triângulo. Os alunos entenderam que o segmento BU
era altura do triângulo ABC, relativa ao lado AC, uma vez que formava com este um
ângulo de 90º.
Verificou-se, a partir do traçado de BU, a obtenção de mais dois triângulos retângulos
congruentes. Exploramos a medida dos ângulos internos dos novos triângulos obtidos e
a soma dos ângulos internos dos triângulos.
Passamos então a análise de outra figura destacada pelos alunos no desenho inicial da
planta: o retângulo AEFD.
A partir do retângulo, pudemos trabalhar as diferenças e as semelhanças entre as
propriedades desta figura e do quadrado, observado anteriormente.
Os alunos destacaram que o paralelismo entre os lados AE e DF; bem como entre os
lados AD e EF, era mantido. Os ângulos internos também permaneciam retos, porém os
lados não eram mais todos congruentes. O segmento AF, diagonal do retângulo permitiu
aos alunos compreender que, neste caso, a diagonal não é mais bissetriz do ângulo reto.
Sugerimos o traçado do segmento MN perpendicular ao lado AE, para obtermos dois
retângulos ANMD e NEFM. Isso nos permitiu explorar a semelhança de triângulos.
A presença de outros quadriláteros como o trapézio e o losango, foram indicadas e
aproveitamos para explorar algumas características, comparando-as com as observadas
no quadrado e no retângulo.
Ficou claro, a partir da exploração, a diferença entre o quadrado e o losango. O
paralelismo entre apenas dois lados do trapézio, foi destacado. Pudemos classificar os
trapézios obtidos e explorar algumas propriedades como a soma dos ângulos internos,
ângulos opostos, ângulos suplementares.
Víamos que, quanto mais a turma explorava o desenho inicial, mais figuras se
mostravam para os alunos. Entendíamos a importância de uma atividade poder despertar
o interesse dos alunos.
A atividade ia sendo conduzida pelo ritmo da classe e a orientação era dada pelo que
eles evidenciavam como importante
A relação entre as diagonais dos quadriláteros foi possível uma vez que os alunos
comparavam comprimento, a sua posição relativa – serem ou não perpendiculares entre
si – serem ou não bissetrizes dos ângulos internos. O interesse revelado permitiu ir além
do observado e chamamos a atenção da turma para que explorassem a soma dos ângulos
internos dos triângulos e quadriláteros.
Quanto aos triângulos, foi possível, também, classificá-los quanto à medida de seus
lados e ângulos, uma vez que a turma pedia um “nome” para dar aos triângulos
observados com “tais e tais” características. Eles próprios questionavam: “como se
chama mesmo esse tipo de triângulo?”, discutimos suas alturas, mediatrizes e
bissetrizes, e soma dos ângulos internos. Algumas propriedades das alturas de triângulos
isósceles e eqüiláteros foram analisadas. Enfim, a atividade, favoreceu uma discussão
que levou os grupos a observações de várias propriedades de figuras planas, permitindolhes uma discussão geométrica que favoreceu a ampliação do conhecimento acerca dos
quadriláteros e triângulos.
Embora pudéssemos ter optado por trabalhar com figuras por eles não nomeadas – ou
reconhecidas – pareceu-nos oportuno, no momento, partir do conhecimento que eles já
tinham e ampliá-lo.
No final das discussões sugerimos a montagem de um quebra-cabeça com as peças
obtidas destacando, a partir de um símbolo que eles criassem algumas das
características que haviam sido estudadas.
Surgiram figuras variadas e as propriedades que haviam sido identificadas nas figuras
faziam-se presente na busca dos símbolos e nos diálogos do grupo.
Considerações finais:
Os textos lidos nos indicam que a geometria tem um papel importante no
desenvolvimento do raciocínio do aluno, uma vez que ela desenvolve a capacidade
investigativa, aumenta a auto-estima, permitindo que o aluno sinta-se capaz de fazer e
falar de matemática A atividade por nós vivenciada em sala de aula, embora tivesse
privilegiado um pequeno aspecto da geometria plana nos fez perceber a importância de
o aluno sentir-se motivado a explorar propriedades e ser responsável por sua
aprendizagem.
Ao desenvolvermos este trabalho, percebemos o quão importante é para o professor,
fazer reflexões e adotar uma postura investigativa durante suas aulas, redirecionar
algumas atividades, diversificar suas metodologias de ensino, desvincular-se do
tradicionalismo que o leva a seguir uma direção previamente estipulada e ousar com
situações de aprendizagem ricas na produção de significados. No entanto entendemos os
dizeres de Bicudo (2005) quando a autora diz da importância de o professor ter o
conhecimento da disciplina com a qual está atuando. O risco assumido na proposição de
atividades dessa natureza é que não temos, a priori, controle do que irá surgir. Os alunos
são levados pela motivação e questionam o que, no momento, estão percebendo. Para
poder fazer com que a atividade seja produtiva é necessário que o professor tenha
domínio do conteúdo para conseguir, senão responder todas as dúvidas ou questões
propostas pela turma, pelo menos dar a direção a ser seguida e não deixar que as
perguntas feitas o leve a “mudar o rumo” da proposta.
Um dos aspectos mais importantes, que percebemos, no ensino da geometria é que ele
pode ocorrer com diversos tipos de abordagens sem se tornar maçante para o aluno.
Vimos em nossa proposta emergir a importância do aspecto perceptivo favorecido pelas
atividades geométricas. Entendo que, tal qual nos diz Merleau-Ponty (1994),
a percepção não é /.../ uma ciência do mundo, não é nem mesmo um único ato,
uma tomada de posição deliberada, ela é sim o fundo sobre o qual todos os atos se
destacam. (p. 06)
A partir do que era percebido pelos alunos pudemos avançar na exploração geométrica,
considerando-a o “fundo” sobre o qual nossas instigações foram sendo construídas.
Vimos que, na percepção, a geometria ia fazendo sentido para o aluno. Eles
compreendiam o que estava sendo investigado. A significação era construída como uma
síntese das perspectivas sob as quais a figura à eles se abria a exploração. Os diferentes
“pontos de vistas” destacados pelos grupos, iam, pela expressão do compreendido,
fazendo sentido ao outro. A colaboração entre os sujeitos que ouviam o outro e
buscavam completar o dito pelo seu ponto de vista permita a síntese, que antes que um
resumo, era um modo de expressão do compreendido e interpretado. A geometria que,
na figura se mostrava aberta a investigação, ganhava corpo e se constituía como um
conhecimento construído coletivamente no ambiente favorecido ela investigação.
Partíamos do conhecimento do aluno, do seu interesse pela exploração da figura, do prépredicativo. Ou seja, do que visa à compreensão da primeira experiência do mundo,
quando ele passa a fazer sentido para o sujeito que percebe. Valorizamos, portanto, na
atividade proposta, a percepção, considerando-a um primado da experiência do mundo
que mostra ao sujeito que percebe, um caminho, uma experiência que esclarece, que
revela o ser do percebido sob uma luz natural que é nossa abertura a alguma coisa e não
uma razão acabada construída, apenas, no nível da intelecção.
Referências
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2005.
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MATHEMATICAL, Association of América and NATIONAL, Council of Teacher of
Mathematics – Aplicações da matemática escolar. Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo:
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PAVANELLO, Regina. O abandono do ensino da Geometria. Uma visão histórica.
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