Vivências: Revista Eletrônica de Extensão da URI
ISSN 1809-1636
POSSIBILIDADES DIDÁTICAS DE INVESTIGAÇÃO DO SOFTWARE GRATUITO
RÉGUA E COMPASSO NA EXPLORAÇÃO DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO
Didactic possibilities of investigation of the ruler and compass software of free distribution at exploration of the
equiláteral triangle
Nilce Fátima SCHEFFER1
Jordana Zawierucka BRESSAN2
Sônia ROVANI3
RESUMO
Este artigo apresenta algumas possibilidades didáticas de utilização do software gratuito Régua e
Compasso que confere um ambiente investigativo, crítico e demonstrativo. Destaca-se resultados
parciais de uma Pesquisa que investiga diferentes possibilidades da utilização de softwares nas
séries finais do Ensino Fundamental, focando o olhar nos conteúdos que podem ser explorados com
os diferentes softwares. Este estudo tem como bases teóricas a Formação do Professor de
Matemática e as Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs), vistas como possibilidades de
trabalho pedagógico para a utilização da Informática na sala de aula. Até o momento foram
investigados conteúdos de 5ª a 8ª séries que possibilitam uma exploração a partir dos softwares
selecionados, sendo que já foram elaboradas várias atividades de aplicação, algumas destas
atividades, utilizando o software gratuito Régua e Compasso, são expostas ao longo do texto.
Apresentam-se assim, subsídios que venham a contribuir na prática pedagógica de professores de
matemática do Ensino Fundamental, quando da utilização do software gratuito Régua e Compasso.
Palavras-chave: Software Régua e Compasso; Formação de Professores; Tecnologias de
Informação e Comunicação; Ensino Fundamental.
ABSTRACT
This paper presents some didactic possibilities of utilization of ruler and compass software of free
distribution that provide an investigative, critic and demonstrative environment. Partial results are
highlighted by a research that investigates different possibilities of using software at final grades of
Elementary Teaching, focusing on contents that can be explored with different software. This study
has as theoretical bases the Formation of Mathematics Teacher and the Information and
Communication Technologies (ICTs) seen as pedagogic work possibilities to the use of Computing
in the classroom. Up to now, contents from 5th to 8th grades were investigated enabling an
exploration from selected software, since several application activities were already developed,
some of them are exposed along the text. Thus, subsidies are presented so that they can contribute
to pedagogic practice of mathematics teachers of Elementary Teaching when software of free
distribution are used.
Key words: Ruler and Compass software free distribution; Formation of teachers; Information and
Communication Technologies; Elementary Teaching
1
- Professora Doutora do DCET da URI-Campus de Erechim, Líder do Grupo de Pesquisa: Informática, Tecnologias e
Educação Matemática; [email protected].
2
-Estudante de Graduação do Curso de Matemática da URI-Campus de Erechim, bolsista do Programa PIIC-URI,
Membro do Grupo de Pesquisa: Informática, Tecnologias e Educação Matemática; [email protected].
3
- Estudante de Graduação do Curso de Matemática da URI-Campus de Erechim, bolsista do Programa PIBIC- CNPq,
Membro do Grupo de Pesquisa: Informática, Tecnologias e Educação Matemática; [email protected].
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INTRODUÇÃO
O trabalho aqui apresentado focaliza uma
reflexão que vem acontecendo a partir de
pesquisa de Iniciação Científica desenvolvida na
URI – Campus de Erechim, junto ao Grupo de
Pesquisa em Informática, Tecnologias e
Educação Matemática que volta-se à análise de
Softwares gratuitos de Matemática e sua
aplicabilidade ao ensino de sala de aula. Em
etapas anteriores da pesquisa foram levantados,
caracterizados e testados softwares gratuitos de
matemática e atualmente, o estudo volta-se para
a investigação de diferentes possibilidades de
utilização dos softwares, contemplando
conteúdos que possam ser explorados nas séries
finais do Ensino Fundamental.
Este artigo apresenta uma discussão que
considera a presença das Tecnologias da
Informação e Comunicação, os Parâmetros
Curriculares Nacionais – PCNs no ensino de
Matemática
e
exemplo
de
atividade
desenvolvida com a utilização do software
Régua e Compasso-Versão 2.10, junto a um
grupo de professores em formação contínua.
A formação de professores ganha
merecida reflexão, motivo que desencadeou a
reflexão aqui destacada, uma vez que o
conhecimento matemático está cada vez mais
vinculado a outras áreas do conhecimento, não
ficando restrito apenas à informação ou
aplicabilidade
meramente
mecânica
de
atividades, mas considerando o significado das
ações e reflexões desencadeadas na atividade
desenvolvida com a utilização de TICs. Assim,
a pesquisa aqui focalizada tem por objetivo
contribuir com um referencial teórico-prático
para o exercício da profissão docente.
TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E
COMUNICAÇÃO (TICS)
O contexto educacional tem valorizado,
sobretudo aqueles ambientes de aprendizagem
que abrangem o uso da tecnologia dos
computadores como mediadores do processo de
ensino e aprendizagem. No entanto, a inserção
Scheffer, N.F.; Bressan, J.Z. e Rovani, S.
da tecnologia dos computadores por si só não
garante qualidade ou eficiência no ensino e
aprendizagem das disciplinas no geral, muito
menos em matemática.
O que tem se constatado é que ainda
existe certa resistência por parte de professores
quanto a utilização da informática, o que é
justificado por falta de tempo, de períodos
disponíveis, falta de interesse, e talvez, a mais
gritante das razões, a falta de preparo ou
conhecimento para lidar com o novo.
A partir disto destaca-se a importância da
formação inicial e contínua do professor,
necessária para reorientação e atualização,
proporcionando um contato específico com as
tecnologias e suas diversas formas de
exploração a fim de incorporá-las no trabalho
pedagógico.
Pesquisadores, dentre eles Borba e
Penteado (2001), Pais (2002), Scheffer (2002),
Scheffer e Dallazen (2005), Bairral (2005)
indicam o uso das tecnologias como aliadas ao
ensino de Matemática, parte integrante do
processo da “descoberta da matemática”,
incentivando a compreensão e a significação.
A inclusão digital nos dias de hoje, tem
sido objeto de preocupação de inúmeras
organizações governamentais ou não, que se
voltam à adoção de políticas e implementação
de recursos na busca de ampliação do acesso a
computadores e à rede, possibilitando assim, o
acesso a todos.
Os ambientes informatizados na área da
educação contribuem para o enriquecimento das
experiências e possibilitam a realização de um
trabalho abrangente que promove a pesquisa e
investigação. Diante disso, vislumbra-se a
formação do professor como possibilidade de
fazer, considerando, essa formação, um
movimento que envolve aspectos sociais,
históricos e culturais intrínsecos à construção do
conhecimento que resulta em experiência
formativa, criativa e inovadora. Isto é
confirmado por
Scheffer
e Dalazzen
(2005/2006) ao ponderar que o uso das
tecnologias no processo de ensino e de
aprendizagem da Matemática vem auxiliar o
professor, que se encontra em formação inicial e
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contínua, despertando interesse e receptividade
na busca de inovação à prática pedagógica.
Desse modo, o professor é um profissional que
deve constantemente aprender a aprender e
refletir criticamente sobre sua prática ( Bairral
2005)
No quadro em que as tecnologias marcam
presença no contexto de sala de aula, o papel do
professor, segundo Ponte, Brocardo e Oliveira
(2003), é marcado pela criação de situações de
ensino e de aprendizagem estimulantes, que
desafiem o pensamento e que favoreçam
diferentes
caminhos
à
aprendizagem
significativa, centrada na exploração e
descoberta de conceitos.
Para Pais (2002) a inserção dos novos
recursos da informática na educação presssupõe
uma competência
pedagógica
para a
estruturação de objetivos, metodologias e
conteúdos apropriados a esse novo instrumento.
Diante disso, os docentes que atuam em
Cursos de Licenciatura estão frente a um desafio
que corresponde ao compromisso de educar e
preparar os acadêmicos para a carreira
profissional, incluindo o uso de tecnologias no
ensino, proporcionando o desenvolvimento de
atividades investigativas.
OS PCNs E AS TICS: O ENSINO E
APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA
Várias discussões, pesquisas e reflexões
têm ocorrido em Educação Matemática,
voltando-se para o uso da informática no
processo
da construção de conceitos
matemáticos e para a formação do educando
como cidadão crítico. Em documentos oficiais,
como Parâmetros Curriculares Nacionais –
PCNs encontra-se tal discussão, apontando os
recursos tecnológicos como uma das
possibilidades de “fazer Matemática” na sala de
aula, promovendo a autonomia dos estudantes.
Os
PCNs
consideram
diferentes
possibilidades
de
como
utilizar
os
computadores, com variadas finalidades,
especificamente no ensino e aprendizagem da
Matemática. Além disso, apontam que “o bom
uso que se possa fazer do computador na sala de
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aula também depende da escolha de softwares,
em função dos objetivos que se pretende atingir
e da concepção de conhecimento e de
aprendizagem que orienta o processo”(PCNs:
Matemática. p. 44).
Este comportamento, apontado pelos
PCNs pode causar tensão entre professores e
estudantes, tendo em vista as expectativas e
decepções que se estabelecem de ambos os
lados. Outros aspectos a serem considerados são
as mudanças ocorridas com a passagem para a
5ª série que gera a nova organização de horários
e disciplinas; os novos e diferentes professores;
as exigências mais acentuadas, entre outros
aspectos que provocam certa ruptura com
relação ao período anterior, o que causa
insegurança principalmente por parte dos
alunos.
Embora esta ruptura possa ocasionar um
quadro tenso em relação à Matemática é uma
fase intensa para ampliação de capacidades,
estabelecimento de inferências e conexões
lógicas, tomada de decisões, argumentação e
capacidade para utilizar e compreender. Dessa
forma, destaca-se a importância do trabalho do
professor no sentido de auxiliar os estudantes na
compreensão da matemática tendo em vista a
capacidade de resolver problemas de forma
cooperativa, respeitando as diferentes maneiras
de pensar, influenciando assim, a forma de ver,
utilizar e produzir Matemática.
Com relação ao ensino e aprendizagem da
Matemática na sétima e oitava séries do Ensino
Fundamental (quarto ciclo) os PCN’s
consideram que os sujeitos desta fase possuem
características peculiares com relação aos
demais, uma vez que muitas mudanças físicas,
psíquicas, pessoais ocorrem nesta etapa de suas
vidas. Os PCN’s ainda destacam que a
utilização de tecnologias informáticas, de
diferentes softwares ou outras ferramentas
também constituem grandes aliados para o
estudo da Matemática.
Por sua vez, o modo como o
conhecimento matemático é desenvolvido e
trabalhado pelo professor tem influência no
interesse ou não pela Matemática, por parte dos
estudantes, outro aspecto que cabe ser
salientado é que as situações do dia-a-dia
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também evidenciam a importância e
significado da Matemática dentro e fora
escola, o que auxilia os estudantes
compreensão da mesma, constituindo parte
saber científico.
o
da
na
do
A PESQUISA
A Pesquisa aqui referenciada tem por
objetivo investigar conteúdos das séries finais
do Ensino Fundamental a serem explorados com
a utilização dos softwares gratuitos de
Matemática. Além disso, vislumbra também a
construção de atividades exploratórias com
possibilidade de aplicação no fazer pedagógico.
Inserida na perspectiva qualitativa, tem
como fonte de coleta de dados livros didáticos
de Ensino Fundamental e ambientes de ensino
com softwares gratuitos de Matemática. Os
dados
são
organizados
e
analisados
considerando os conteúdos de cada série
explorados com os softwares gratuitos, além da
construção de atividades exploratórias.
Apresentam-se a seguir, atividades
exploratórias a respeito do tema Triângulo
Eqüilátero, com o uso do software gratuito
Régua e Compasso versão 2.10.
EXPLORANDO
O
EQUILÁTERO COM
TRIÂNGULO
O SOFTWARE
RÉGUA E COMPASSO
O software matemático Régua e
Compasso em sua versão 2.10 foi programado
por René Grothmann e desenvolvido como
ambiente educacional que tem por foco
principal o ensino de Geometria, para o Ensino
Fundamental e Médio, volta-se mais
especificamente à construção geométrica. A
partir desse software que foi projetado com a
finalidade
didática
de
ensinar
idéias
matemáticas por meio da Geometria fazem-se
construções geométricas na tela do computador,
que podem ser feitas também, manualmente
com a régua e compasso.
Propriedades do triângulo eqüilátero
1 - Construção geométrica
a) Construir um triângulo eqüilátero:
Utilizando o comando Segmento
,
criar o segmento AB. Com o comando Círculo
, criar uma circunferência com centro no
ponto A e raio AB e repetir a operação para o
ponto B. Selecionar o comando Ponto
, para
criar o terceiro ponto resultante da intersecção
entre as circunferências, que será o vértice C.
Ativar o comando Segmento
, e construir os
lados BC e AC do triângulo. Como representado
na figura 1:
Fig. 1- Construção do triângulo equilátero
Scheffer, N.F.; Bressan, J.Z. e Rovani, S.
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Após, com o comando Ocultar objetos
representa o triângulo construído:
, clicar sobre as duas circunferências. A figura 2
Fig. 2 - Triângulo eqüilátero
b)
Medida dos lados e dos ângulos internos do triângulo equilátero:
Clicar com o botão direito do mouse sobre o segmento e na janela que aparece clicar em
Mostrar Valores dos Objetos
e depois em OK. Para determinar a medida de cada ângulo
interno do triângulo, ativar a ferramenta Ângulo
e clicar nos vértices C, A e B respectivamente,
isso criará uma marca para o ângulo Â, clicar com o botão direito do mouse sobre esta marca, na
janela que aparecerá clicar em Mostrar Valores dos Objetos
todos os ângulos, conforme figura 3:
e logo após em OK, fazer isto para
Fig. 3 - Medidas
A partir da figura 3 podem-se confirmar as características do triângulo eqüilátero ter três lados
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iguais e três ângulos internos iguais.
c) Construção das bissetrizes dos ângulos internos do triângulo eqüilátero e determinar o Incentro:
Selecionar o comando Ponto
e criar o ponto D sobre o segmento AC. Utilizando o
comando Círculo
contruir uma circunferência com centro em A passando por D, marcar o
ponto de intersecção entre esta circunferência e o segmento AB e denominá-lo E.
Com centro em D, depois em E, traçar duas circunferências passando pelo vértice A, e marcar
o ponto F de intersecção entre estas duas circunferências. Com o comando
, traçar uma semi-reta
de origem em A passando por F. Esta semi-reta é a bissetriz do ângulo Â. Conforme figura 4.
Fig. 4 – Bissetriz do ângulo Â
Seguir os mesmos procedimentos para construir as bissetrizes dos outros dois ângulos. Marcar
o ponto de intersecção das três bissetrizes e denominá-lo I. Este ponto de intersecção das três
bissetrizes dos ângulos internos do triângulo é chamado de Incentro.
Após, selecionar o comando Ocultar objetos
de modo a obter a seguinte construção (figura 5).
Scheffer, N.F.; Bressan, J.Z. e Rovani, S.
e clicar sobre os itens que se deseja ocultar
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Fig. 5 – Incentro
d) Construção da circunferência inscrita ao triângulo equilátero:
Marcar os pontos de intersecção entre as bissetrizes e os lados do triângulo e com o comando
Círculo
selecionado, criar uma circunferência com centro em I* passando pelos pontos M, N e
O. Como representado na figura 6:
Fig. 6 – Circunferência inscrita
A partir da figura 5 pode-se afirmar que o
Incentro, ponto de intersecção das bissetrizes
dos ângulos internos do triângulo eqüilátero é o
centro da circunferência inscrita.
Selecionar o comando Ponto médio
e
marcar o ponto médio dos lados AB, BC e CA
do triângulo e denominá-los M1, M2 e M3
respectivamente, com o comando Perpendicular
e) Construção das mediatrizes do triângulo
eqüilátero:
criar retas perpendiculares aos lados
passando pelos seus respectivos pontos médios.
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Marcar o ponto de intersecção das três
mediatrizes e denominá-lo O. Este ponto de
intersecção das três mediatrizes dos lados do
triângulo é chamado de Circuncentro, como
indicado na figura 7.
Fig. 7 – Circuncentro
f) Construção a circunferência circunscrita ao triângulo equilátero:
Selecionar o comando Círculo
e marcar uma circunferência com centro em O* passando
pelos pontos A, B e C. Conforme figura 8:
Fig. 8 – Circunferência circunscrita
A partir da figura 8 pode-se afirmar que o
Circuncentro, ponto de intersecção das
mediatrizes dos lados do triângulo eqüilátero é o
centro da circunferência circunscrita.
2 – Questões exploratórias
Ao movimentarmos um dos vértices do
triângulo o que pode-se identificar quanto a:
- medida dos ângulos internos do
Scheffer, N.F.; Bressan, J.Z. e Rovani, S.
triângulo?
- medida dos lados do triângulo?
- medida do raio da circunferência
inscrita?
- medida do raio da circunferência
circunscrita?
- posição do incentro e do circuncentro?
- distância entre cada um dos lados do
triângulo por onde passa a circunferência
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inscrita e o incentro?
- a distância entre cada um dos vértices do
triângulo por onde passa a circunferência
circunscrita e o circuncentro?
A movimentação de um dos vértices
permite verificar e analisar o que ocorre com as
medidas de lados, ângulos e raios,
possibilitando a dinâmica à construção, o que
pode ser representado geometricamente na tela
do computador.
3 – Algumas observações
Com estas atividades é possível explorar
as propriedades dos triângulos eqüiláteros,
identificando medida dos ângulos internos, a
medida dos três lados e outros aspectos como a
construção das alturas e seu ponto de interseção,
a construção das bissetrizes e seu ponto de
intersecção, construção de mediatrizes e seu
ponto de intersecção, os ângulos externos, soma
dos ângulos internos e externos e construção do
incentro e circuncentro. Assim, a partir do
software é possível identificar as características
da figura geométrica e comprovar suas
propriedades, além de da movimentação de
vértices.
Os professores que participaram do
desenvolvimento das atividades apresentadas,
nas oficinas de formação contínua, enfatizaram
que as mesmas constituíram-se em desafios que
possibilitaram investigações matemáticas, isso
conduz a observar que o trabalho deve
proporcionar que se crie um ambiente no
sentido proposto por Ponte, Brocardo e Oliveira
(2003) de oferecer diferentes caminhos à
aprendizagem matemática, o que torna possível
ao grupo de professores que participa das
oficinas de aplicação destas atividades uma
reflexão crítica (BAIRRAL, 2005) cada vez
maior.
Outras atividades estão sendo elaboradas
no decorrer da pesquisa, sendo que, dentre os
demais softwares analisados, aqueles que
apresentaram possibilidades para a exploração
de conteúdos de quinta a oitava séries do Ensino
Fundamental,
em
sua
maior
parte,
disponibilizaram de recursos para conteúdos de
Álgebra, Geometria plana e espacial, além de
construções dinâmicas na tela do computador,
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possibilitando assim a criação de conjecturas e,
então, a construção de conhecimentos por meio
da exploração desse ambiente.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este trabalho que valoriza a inserção de
softwares gratuitos de Matemática na sala de
aula promove algumas reflexões quanto ao
contexto de ensino considerando um ambiente
informatizado no ensino e aprendizagem de
Matemática. Isso conduz a discussão de
estratégias e metodologias que, por conseguinte
levam a uma reflexão quanto ao papel do
professor nos dias atuais.
Assim, a formação inicial e contínua do
professor de Matemática ganha um novo olhar,
este profissional necessita tanto conhecer as
tecnologias, os softwares gratuitos que estão
disponíveis neste novo cenário educativo,
quanto ser incentivado a desenvolver um
trabalho exploratório e investigativo em suas
aulas.
Por sua vez, também é requerida uma
nova percepção em relação aos estudantes,
sujeitos do processo de ensino e aprendizagem.
Os estudantes das séries finais do Ensino
Fundamental a partir de um trabalho dessa
natureza são incentivados a participar do
trabalho a partir de um aprendizado
contextualizado e dinâmico.
Assim, é possível criar e recriar a prática
pedagógica,
buscando
a
compreensão,
desenvolvendo ações interativas que integram
estudantes e professores no processo de ensino e
de aprendizagem.
As investigações na sala de aula ampliam
a compreensão dos conteúdos matemáticos, bem
como, a formulação e teste de conjecturas,
quando se exploram aspectos geométricos, a
partir da visualização de diferentes formas de
representação dinâmica, como nas atividades
destacadas. Os estudantes fazem construções
geométricas e as caracterizam, discutem
propriedades, analisam transformações e
efetuam operações necessárias.
Nesse
contexto,
os
ambientes
informatizados, como recursos pedagógicos que
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alcançam todos os níveis de ensino ganham
importância, evidenciando a necessidade de
atualização permanente do professor e a
necessária busca de critérios de análise dos
mesmos, tendo em vista a valorização de uma
prática diferenciada.
Portanto, os resultados parciais da
pesquisa
apontam
que
os
ambientes
informatizados no ensino, especialmente os
softwares
gratuitos,
podem
propor
transformações tanto na sala de aula de
Matemática, a qual ganha espaço para a
exploração
investigativa,
crítica
e
demonstrativa, quanto nos cursos de formação
possibilitando o estabelecimento de novos
momentos para o fazer pedagógico e a prática
escolar.
REFERÊNCIAS
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M.
A.
Desenvolvendo-se
criticamente em Matemática: a formação
continuada em ambientes virtualizados..
In FIORENTINI, D., NACARATO A.M.
(org)
Cultura,
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Musa Editora: São Paulo, 2005.
BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G.
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SCHEFFER, N.F. e DALAZZEN, A.B., A
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http://Parâmetros
Curriculares
Nacionais:Matemática / Secretaria da
Educação Fundamental. - Brasília: MEC /
SEF, 1998. Acesso em 12/10/2008.
Recebido em maio de 2009 e aprovado em outubro de 2009.
Scheffer, N.F.; Bressan, J.Z. e Rovani, S.
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