NOME:
PROFESSOR(A): Ana Luiza Ozores
ANO: 3º
DATA:
Nº:
REVISÃO – Lista 11 – Geometria Espacial
Algumas definições
(Nas fórmulas a seguir, vamos utilizar aqui AB para “área da base”, AL para “área lateral”, AT para “área
total”, V para “volume”, d para diagonal, h para “altura”, r para “raio”, g para “geratriz”)
Prisma: AT  AL  2 AB e V  AB  h .
Paralelepípedo retorretângulo: AT  2(ab  ac  bc) , V  abc e d  a 2  b 2  c 2 .
Cubo: AT  6a 2 , V  a 3 e d  a 3 .
Cilindro: AL  2rh , ABr 2 , AT  2 AB  AL  2r (r  h) e V  r 2 h .
Pirâmide: AT  AL  AB e V 
1
AB  h .
3
Cone: AL  rg , AB  r 2 , AT  AB  AL  r (r  g ) , V 
1
1
AB  h  r 2 h .
3
3
4
Esfera: A  4r 2 e V  r 3 .
3
Poliedros de Platão: V  F  A  2
Exercícios básicos
1. Classifique em verdadeiro ou falso:
a) Duas retas ou são coincidentes ou são distintas.
b) Duas retas ou são coplanares ou são reversas.
c) Duas retas distintas determinam um plano.
d) Duas retas concorrentes têm um ponto comum.
e) Duas retas que têm um ponto comum são concorrentes.
f) Duas retas coplanares são concorrentes.
g) Duas retas não coplanares são reversas.
h) Se dois planos distintos têm um ponto comum, então eles têm uma reta comum que passa
pelo ponto.
i)
Se dois planos têm uma única reta comum, eles são secantes.
j)
Dois planos secantes têm infinitos pontos comuns.
k) Uma reta e um plano que têm um ponto comum são concorrentes.
l)
Uma reta e um plano secantes têm um único ponto comum.
m) Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a qualquer reta do plano.
n) Uma condição necessária e suficiente para uma reta ser paralela a um plano é ser paralela a
uma reta do plano e não estar nele.
o) Dadas duas retas reversas, sempre existe uma reta que ser apoie em ambas.
p) Por qualquer ponto é possível conduzir uma reta que se apoia em duas retas reversas dadas.
q) Se um plano contém duas retas paralelas a um outro plano, então esses planos são paralelos.
r) Se dois planos distintos são paralelos, então uma reta de um deles é paralela ao outro.
s) Duas retas perpendiculares são sempre concorrentes.
t)
Duas retas que formam ângulo reto podem ser reversas.
u) Uma reta perpendicular a um plano é perpendicular a todas as retas do plano.
v) Se uma reta é perpendicular a um plano, por ela passa um único plano, perpendicular ao
plano dado.
w) A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é um ponto.
x) A distância entre um ponto e um plano está sobre a reta perpendicular ao plano pelo ponto.
y) A distância de duas retas reversas está sobre a reta perpendicular comum a essas retas.
2. Duas retas r e s são reversas. Em r há um ponto R e em s há um ponto S. Qual é a interseção dos
planos   (r, S ) e   (s, R) ?
3. Num poliedro convexo com 10 arestas, o número de faces é igual ao número de vértices. Quantas
faces tem esse poliedro?
4. Um poliedro de sete vértices tem cinco ângulos tetraédricos, e dois ângulos pentaédricos. Quantas
arestas e quantas faces tem o poliedro?
5. Calcule a medida da diagonal (nos casos a e b), a área total e o volume dos primas cujas medidas
estão indicadas abaixo.
6. Calcule a área lateral e a área total das figuras cujas medidas estão indicadas nas figuras abaixo.
7. Calcule a área e o volume de uma esfera cujo raio é 5 cm.
Exercícios de Vestibular
8. (FATEC) Seja A um ponto pertencente à reta r, contida no plano  . É verdade que:
a) existe uma única reta que é perpendicular à reta r no ponto A.
b) existe uma única reta, não contida no plano  , que é paralela à reta r.
c) existem infinitos planos distintos entre si, paralelos ao plano  , que contêm a reta r.
d) existem infinitos planos distintos entre si, perpendiculares ao plano  e que contêm a reta r.
e) existem infinitas retas distintas entre si, contidas no plano  e que são paralelas à reta r.
9. (UEL) As retas r e s foram obtidas prolongando-se duas arestas de um cubo, como está
representado na figura. Sobre a situação dada, assinale a afirmação incorreta:
a) r e s são retas paralelas.
b) r e s são retas reversas.
c) r e s são retas ortogonais.
d) Não existe plano contendo r e s .
e)
r s  .
10. (FUVEST) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que
esta pirâmide possui:
a) 33 vértices e 22 arestas
b) 12 vértices e 11 arestas
d) 11 vértices e 22 arestas
e) 12 vértices e 22 arestas
11. (FUVEST) Sejam  ' e  ' ' as faces de um ângulo diedro
de 45 e P um ponto interior a esse diedro. Sejam P’ e P”
as
projeções
ortogonais de
P sobre
'
e
 '' ,
respectivamente. Então a medida, em graus, do ângulo
P’PP” é:
a) 30
b) 45
d) 90
e) 135
c) 60
c) 22 vértices e 11 arestas
12. (MACK) No cubo da figura, a distância do vértice A à diagonal PQ é 6 .
Então, o volume do cubo é:
a) 9 3
b) 8 3
c) 27
d) 64
e) 125
13. (FUVEST) No paralelepípedo reto retângulo da figura ao
lado sabe-se que AB  AD  a , AE  b e que M é a
interseção das diagonais da face ABFE. Se a medida de
MC também é igual a b, o valor de b será:
a)
2a
b)
3
a
2
d)
3a
e)
5
a
3
c)
7
a
5
14. (ITA) Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que sua altura mede 3 cm e que sua área lateral
é o dobro da área de sua base. O volume desse prisma, em cm3 , é:
a) 27 3
b) 13 2
c) 12
d) 54 3
e) 17 5
15. (FUVEST) A figura ao lado representa uma pirâmide de base triangular ABC e vértice V. Sabe-se
que ABC e ABV são triângulos equiláteros de lado  e que E é o ponto médio do segmento AB .
Se a medida do ângulo VEˆ C é 60 , então o volume da pirâmide é:
a)
3 3
4
b)
3 3
8
d)
3 3
16
e)
3 3
18
c)
3 3
12
16. (UFPI) Uma lata de forma cilíndrica, com tampa, deve ser construída com 60cm2 de folha de
alumínio. Se r é o raio da base e h é a altura da lata que proporcionam o volume máximo, então o
valor de
a) 1
r
é:
h
b) 2
c)
1
2
d)
1
3
e)
1
4
17. (FUVEST) Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de base
quadrada. O lado da base mede 8m e a altura da pirâmide, 3m. As telhas para cobrir esse telhado
são vendidas em lotes que cobrem 1m 2 . Supondo que possa haver 10 lotes de telhas
desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é:
a) 90
b) 100
c) 110
d) 120
e) 130
18. (FUVEST) A pirâmide de base retangular ABCD e vértice E representada na figura tem volume 4.
Se M é o ponto médio da aresta AB e V é o ponto médio da aresta EC , então o volume da
pirâmide de base AMCD e vértice V é:
a) 1
b) 1,5
c) 2
d) 2,5
19. (FUVEST) No sólido S representado na figura ao lado, a
base ABCD é um retângulo de lados AB  2 e AD   ; as
faces ABEF e DCEF são trapézios; as faces ADF e BCE são
triângulos equiláteros e o segmento EF tem comprimento
 . Determinar, em função de  , o volume de S.
e) 3
20. (FUVEST) O volume de um paralelepípedo retângulo é 240cm3 . As áreas de duas de suas faces
são 30cm2 e 48cm2 . A área total do paralelepípedo, em cm 2 , é:
a) 96
b) 118
c) 236
d) 240
e) 472
21. (FUVEST) Na figura abaixo, X e Y são, respectivamente, os pontos médios das arestas AB e
CD do cubo.
A razão entre o volume do prisma AXFEDYGH e o cubo é:
a)
3
8
b)
1
2
c)
2
3
d)
3
4
e)
5
6
22. (FUVEST) Qual a altura da pirâmide quadrangular que tem as oito arestas iguais a
a) 1
b) 1,5
c)
2
d)
e)
2,5
2?
3
23. (FUVEST) A uma caixa d’água de forma cúbica, com 1 metro de lado, está acoplado um cano
cilíndrico com 4cm de diâmetro e 50m de comprimento. Num certo instante, a caixa está cheia de
água e o cano vazio. Solta-se a água pela cano até que ele fique cheio. Qual o valor aproximado
da altura da água na caixa no instante em que o cano ficou cheio?
a) 90cm
b) 92cm
c) 94cm
d) 96cm
e) 98cm
24. (FUVEST) Um pedaço de cartolina possui a forma de um semicírculo de raio 20cm. Com essa
cartolina um menino constrói um chapéu cônico e o coloca com a base apoiada sobre uma mesa.
Qual a distância do bico do chapéu à mesa?
a) 10 3cm
b) 3 10cm
c) 20 2cm
d) 20cm
e) 10cm
25. (FUVEST) Um recipiente cilíndrico, cujo raio de base é 6cm, contém água até uma certa altura.
Uma esfera de aço é colocada no interior do recipiente, ficando totalmente submersa. Se a altura
da água subiu 1cm, então o raio da esfera é:
a) 1cm
b) 2cm
c) 3cm
d) 4cm
e) 5cm
Respostas
1. a) V
m) V
y) V
b) V
n) V
c) F
o) V
d) V
p) F
e) F
q) F
f) F
r) F
g) V
s) V
h) V
t) V
2.     RS
3. F  6
4. F  10 e A  15
5. a) d  3 3 cm , AT  54cm2 e V  27cm3
b) d  0,5 61 cm , AT  27cm2 e V  9cm3
c) AT  54cm2 e V  21cm3
d) AT  3( 3  5)cm2 e V  3,75 3 cm3
6. a) AL  25 3 cm2 e AT  5( 3  5)cm2
b) AL  5cm2 e AT  7cm2
c) AL  242cm2 e AT  363cm2
500
7. A  100cm2 e V 
cm3
3
8. E
18. B
9. A
10. E
19.
5 2 3

12
11. E
20. C
12. C
21. D
13. E
22. A
14. D
23. C
15. D
24. A
16. C
25. C
17. A
i) V
u) F
j) V
v) F
k) F
w) V
l) V
x) V