Conteúdos de 13 à 15
1) Dinâmica relativística: Momento linear relativístico.
2) Dinâmica relativística: Energias relativisticas: cinética,
de repouso e total .
3) Massa de repouso e a conversão entre energia e massa.
Estes temas serão discutidos durante a aula, mas não de maneira
cronológica.
Quando estudamos Mecânica Clássica começamos usando uma
definição para a dinâmica que é a segunda lei de Newton.
Assim como na Clássica não podemos “deduzir” as forças,
precisaremos dos mesmos artifícios para encontrar as
equivalentes relativísticas das grandezas dinâmicas.
No entanto, as analogias entre forças clássicas e relativísticas causam certos problemas. Por exemplo:
As forças elétricas estão em conformidade com a relatividade, pois seus sinais se deslocam no máximo com:
c- velocidade da Luz.
As forças gravitacionais geram problemas.
Quem poderá nos ajudar?
➲
➲
Sabemos que podemos obter todos os
equivalentes das leis da dinâmica através
das leis de conservação.
Assim, se conseguirmos reescrever as leis
de conservação com as imposições relativísticas teremos as novas versões.
A primeira lei de conservação que aprendemos é a do
momento linear que de forma “ad hoc” trás a lei de
conservação da massa.

d
P
=
F
dt
(1)
Onde: P é o momento linear que é dado por:
d x

P=m v =m
dt
(2)
Vamos para as implicações
➲
➲
➲
Temos que pensar que a variação do tempo
é alterada pela relatividade.
Se espaço e tempo variam de forma diferente
da clássica o outro absoluto deve se alterar:
A massa.
m=mv ; v=∣
v∣ (3)
De forma que teremos
p =m v v (4)
Vamos ter que imaginar novamente o problema
das partículas em colisão elástica e para simplicar
, o caso de duas partículas, na ausência de forças
externas, para pensar na conservação do momento linear.
Conservação do momento linear
y
v '
B (depois)
A (antes)
v '
y'
S
v '

V
B (antes)
A (depois)
S'
x
x'
v '
Deveremos pensar nas componentes em x'
e y' das velocidades das partículas a e b.
Para facilitar iremos montar uma tabela.
Conservação do momento linear
Componentes das velocidades em (S') antes e depois da colisão
x'
y'
x'
y'
Antes
vx'
vy'
−v x '
depois
vx'
−v y '
−v x '
Partícula a
−v y '
vy'
Partícula b
Como não há forças externas o momento linear total se conserva.
Agora podemos reescrever as componentes em termos das velocidades no referencial (S') e da velocidade do referencial.
Para isto precisamos pensar na composição de velocidades relativísticas e a tabela fica um pouco maior.
Conservação do momento linear
Componentes das velocidades em (S') antes e depois da colisão
x'
Antes
y'
v x ' V 
2
1v
'
V
/c
]
[
x
depoi
s
v x ' V 
x'
 1− 2 v y '
−v x ' V 
2
1−v
'
V
/c
]
x
[ 1v x ' V /c ] [
2
− 1− v y '
2
[ 1v x ' V /c ] [ 1v x ' V /c 2]
2
y'
Partícula a
− 1− v y '
2
2
1−v
'
V
/c
]
[
x
−v x ' V 
 1− 2 v y '
[ 1−v x ' V /c 2]
[ 1−v x ' V /c 2 ]
Partícula b
Os módulos das velocidades das partículas a e
b não se alteram apesar de se alterarem vetorialmente. Pela conservação do momento:
Conservação do momento linear
[ mv a  va mv b  vb ] antes=[ mv a  va mv b  vb ] depois
(5)
A expressão (5) é satisfeita claramente para a componente x. Mas,
para a y, teremos mais trabalho.
2
2
1−  v y '
1−  v y '


mv a 
−mv b 
=
2
2
[ 1v x ' V /c ]
[ 1−v x ' V /c ]
−mv a 
 1− 2 v y '
[ 1v x ' V /c ]
2
mv b 
 1− 2 v y '
(6)
[ 1−v x ' V /c ]
2
A expressão (6) só é satisfeita se ambos os membros forem nulos.
Usando aquela identidade, velocidades revx' V
1 2
lativas, que demonstramos na lista
mv a 
c
(hahaha)
=
2
2
mv b 
v x ' V (7)
u
V
1− 2
1−
1−
c
2
2
2
u´
1− 2 =
c
  
c
1−
c
uV
2
Momento linear relativístico

v´
2
1−
2
2 
va
c
1− 2 =
2
v
'
V
v
vx' V
c
x
b
1
1−
1 2
2
2
c
c
c
=
v´
2
2
v
'
V
x
1−
1−
v

a
1− 2
v b2
1−
c2
2
c
1− 2 =
c
vx ' V
c
1− 2
c
Substituindo (8) em (7) chegamos em:
v a2
v 2b
1− 2 mv a = 1− 2 mv b  (9)
c
c


1−





Embora as partículas sejam idênticas, as grandezas correspondentes a m(v) não serão as mesmas, a menos que
as velocidades de a e b sejam idênticas. Mas, a grandeza
(8)
Momento linear relativístico (ainda)

2
1−
v
mv  (10)
2
c
Independe da velocidade e temos mais um invariante.
Definindo uma massa de repouso quando a velocidade é nula, teremos:
mv=
m0

2
1−
v
2
c
, m0 ≡m0 (11)
Finalmente, podemos voltar à equação (2) que define o momento linear.
 =mv v =
P
m0 v

v2
1− 2
c
A característica da inércia da partícula que
tem um significado invariante é sua massa
própria m0.
(12)
Energia Cinética Relativística
Após 9 quadros e muito trabalho chegamos no momento relativístico e podemos expressar a força e toda a dinâmica usando o formalismo newtoniano.
Eu usei o livro de Moyses para este tratamento, mas poderíamos
ter feito todo o tratamento usando o formalismo de tensores que
dispensaria a preocupação com o momento linear. Este procedimento é o feito por Griffiths.
Para tratar da energia me basearei no livro de Young & Freedman
que tratam de maneira mais direta as implicações no momento relativístico na obtenção da energia.
Lembrando a definição de força pela relação com momento linear
teremos:
d p 
=F
dt
Usando (13) em (14) teremos:
(13)
Energia Cinética Relativística
F=
m
2 3/2
 
v
1− 2
c
a (14)
A força e a aceleração em módulo quando força e velocidade coplanares.
Para pensarmos em energia, primeiro devemos pensar em trabalho.
Definindo o trabalho realizado por uma força entre dois pontos x1 e x2
teremos:
x2
W =∫x
1
x2
⃗ d ⃗x =∫
F
x
1
ma
2 3 /2
( )
1−
v
2
c
dx (15)
Usando algumas manipulações, dadas por:
d vx
dx
a dx=
d x ; v x=
; a=v x dv x
dt
dt
(16)
Energia Cinética Relativística
Usando o teorema trabalho energia cinética que diz: “Que a variação
de energia cinética e igual ao trabalho realizado por uma força”.
Usando as relações (17) em (16) em uma partícula que sai do repouso, teremos:
v
 K =W =∫0
m v x dv x
2
2 3/2
(17)
1−v /c 
Como a variação da energia cinética é K-K0 , resolvendo a integral
por uma simples mudança de variável, a energia cinética da partícula com velocidade v será:
2
mc
2
2 (18)
K=
−mc =−1 mc
2
2
 1−v /c
Através de uma simples expansão em série de Taylor do termo (γ1) podemos obter o limite clássico quando v<<c.
Encontramos também um limite onde a energia vai para infinito
quando v se aproxima de c.
Energia de repouso e total
Podemos reescrever a equação (18) de forma a verificar mais algumas características da energia.
2
K mc =
mc
2
 1−v
2
2
/c
= m c =E
2
(18)
Chamaremos de E a energia total da partícula sem a
contribuição de um potencial. Se a particula estiver em
repouso K=0, mas ainda se tem uma energia mc2. Que é
chamada de energia de repouso.
E=mc
2
(19)
A expressão (19) acaba por relacionar energia e massa de uma maneira nova e permite finalmente a unificação dos princípios da conservação da Massa e da Energia.
Massa de repouso e a conversão
entre massa e energia
Vamos apresentar alguns exemplos de massas associadas a energia em transformações na natureza.
1-) Elétrons com energias elevadas: a) Calcule a energia
de repouso de um elétron (m=9,11 x 10 -31 kg, q =-e=-1,6 x
10-19 C) em joules e elétron-volts. b) Determine a velocidade de um elétron acelerado por um campo elétrico, a partir
do repouso, com diferença de potencial igual a 20 kV (típica em um tubo de TV) ou 5 MV (comum em tubos de raios
X).
Assim, temos três energias para o elétron: Energia de
repouso, cinética e total.
Massa de repouso e a conversão
entre energia e massa.
Outro exemplo.
Dois prótons (cada um com M=1,67 x 10-27 kg) estão se
movendo inicialmente com velocidades de módulos
iguais e sentidos opostos. Depois da colisão eles continuam a existir, porém, ocorre a produção de um píon
neutro de massa m= 2,40 x 10-28 kg. Sabendo que os
prótons e o píon permanecem em repouso depois da colisão, calcule a velocidade inicial dos prótons. A energia
é conservada na colisão.
Conclusões
➲
➲
➲
A força não é uma representação simples
em relatividade.
A natureza do momento linear não varia na
relatividade.
A energia apresenta algumas novas particularidades.
Referências:
Nussenzveig, H. M. “Curso de Física Básica”, vol. 4, Edgar
Blücher: São Paulo, 1998.
Griffiths, D. J. “Introduction to Electrodynamics”, 3 th Edition,
Printice Hall: New Jersey, 1998.