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1. Durante um intervalo de tempo t, o volante de um gerador gira de um ângulo θ = at+bt3 −ct4 ,
onde a, b e c são constantes. Escreva espressões para
(a) o módulo da velocidade angular do volante
(b) o módulo da aceleração angular do volante
2. Qual a velocidade angular
(a) do ponteiro dos segundos,
(b) do ponteiro dos minutos e
(c) do ponteiro das horas
de um relógio analógico que está funcionando perfeitamente? Responda em radianos por
segundo.
3. Nosso Sol está a 2, 3 × 104 anos-luz do centro da nossa galáxia, e movendo-se em um cı́rculo
ao redor desse centro a uma velocidade de 250 km/s.
(a) Quanto tempo o Sol leva para fazer uma volta completa em torno do centro da galáxia?
(b) Quantas voltas o Sol completou desde que ele foi formado, há cerca de 4, 5 × 109 anos?
4. A posição angular de um ponto sobre a borda de uma roda em rotação é dada por θ =
4, 0t − 3, 0t2 + t3 , onde θ está em radianos e t está em segundos.
(a) Quais as velocidades angulares em t = 2, 0 s e t = 4, 0 s?
(b) Qual a aceleração angular média para o intervalo de tempo que começa em t = 2, 0 s e
termina em t = 4, 0 s?
(c) Quais são as acelerações angulares instantâneas no inı́cio e no final deste intervalo de
tempo?
5. A posição angular de um ponto sobre uma roda que está girando é dada por θ = 2 + 4t2 + 2t3 ,
onde θ está em radianos e t em segundos.
(a) Em t = 0, quais são a posição angular do ponto e a sua velocidade angular?
(b) Qual a sua velocidade angular em t = 4, 0 s?
(c) Calcule a sua aceleração angular em t = 2, 0 s
(d) A aceleração angular do ponto é constante?
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6. A roda da Figura 1 tem oito raios igualmente espaçados e um diâmetro de 60 cm. Ela está
montada em um eixo mecânico fixo e está girando a 2,5 rev/s. Você quer atirar uma flecha
de 20 cm de comprimento paralela a este eixo que atravese a roda sem acertar nenhum dos
raios. Suponha que a flecha e os raios sejam bem finos.
Figura 1: Problema 6
(a) Qual a velocidade mı́nima que a flecha deve ter?
(b) É importante saber em que lugar você mira entre o eixo e a borda da roda? Se for, qual
é o melhor lugar?
7. Aumenta-se a velocidade angular do motor de um automóvel a uma taxa constante de
1200 rpm até 3000 rpm em 12 s.
(a) Qual a aceleração angular do motor em rotações por minuto ao quadrado?
(b) Quantas voltas o motor completa durante este intervalo de 12 s?
8. O prato de um toca-discos girando a 33
1
3
rpm desacelera e pára em 30 s depois que o seu
motor é desligado.
(a) Determine a sua aceleração angular (constante) em rotações por minuto ao quadrado.
(b) Quantas voltas ele completa neste tempo?
9. Em t = 0, um volante possui uma velocidade angular de 4,7 rad/s, uma aceleração angular
de −0, 25 rad/s2 e uma linha de referência em θ0 = 0.
(a) Qual o deslocamento angular máximo θmáx da linha da referência no sentido positivo?
(b) Em que tempos t a linha de referência estará em
i. θ = 21 θmáx e
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ii. θ = −10, 5 rad (considere tanto valores positivos quanto negativos de t)?
(c) Faça o gráfico de θ contra t e indique as respostas dos itens (a), (b i) e (b ii) no gráfico.
10. Um disco gira em torno do seu eixo central partindo do repouso e acelera-se com aceleração
angular constante. Em um dado instante, ele está girando a 10 voltas/s; 60 voltas depois, a
sua velocidade angular é de 15 voltas/s. Calcule
(a) a aceleração angular,
(b) o tempo necessário para completar 60 voltas e
(c) o número de voltas do repouso até o tempo em que o disco alcança a velocidade de
angular de 10 voltas/s.
11. Um astronauta está sendo testado em uma centrı́fuga. A centrı́fuga possui um raio de 10 m
e, ao começar, gira de acordo com θ = 0, 30t2 onde t está em segundos e θ está em radianos.
Quando t = 5, 0 s, quais são as intensidades da
(a) velocidade angular,
(b) velocidade linear,
(c) da aceleração tangencial
(d) da aceleração radial do astronauta?
12. Um método usado nos primórdios da medição do módulo da velocidade da luz utilizava
Figura 2: Problema 12
uma roda dentada em rotação. Um feixe de luz atravessa um recorte na borda externa da
roda, como na Figura 2, viaja até um espelho distante e volta para a roda bem a tempo de
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atravessar o próximo recorte da roda. Uma dessas rodas dentadas possui um raio de 5,0 cm e
500 recortes na sua borda. Medições feitas quando o espelho está a uma distância L = 500 m
da roda indicam uma velocidade da luz de 3, 0 × 105 km/s.
(a) Qual o módulo da velocidade angular (constante) da roda?
(b) Qual o módulo da velocidade linear de um ponto na borda da roda?
13. O volante de um motor a vapor funciona a uma velocidade angular constante de 150 rpm.
Quando o vapor é desligado, o atrito dos mancais e do ar pára o volante em 2,2 h.
(a) Qual o módulo da aceleração angular constante, em voltas por minuto ao quadrado, do
volante durante a desaceleração?
(b) Quanto voltas o volante completa antes de parar?
(c) No instante em que o volante está girando a 75 rpm, qual é o módulo do componente
tangencial da aceleração linear de uma partı́cula do volante que está a 50 cm do eixo de
rotação?
(d) Qual a intensidade da aceleração linear resultante da partı́cula do item (c)?
14. Na Figura 3, o volante de A de raio rA = 10 cm está acoplado pela correia B ao volante C de
raio rc = 25 cm. Aumenta-se a velocidade angular (escalar) do volante A a partir do repouso
a uma taxa constante de 1,6 rad/s2 . Determine o tempo para que C alcance uma velocidade
de rotação (escalar) de 100 rpm, supondo que a coreia não deslize. (Dica: Se a coreia não
desliza, as velocidades (escalares) lineares nas bordas dos dois volantes devem ser iguais.)
Figura 3: Problema 14
15. Calcule a inércia à rotação de um volante que possui energia cinética de 24400 J quando está
girando a 602 rpm.
16. A molécula de oxigênio O2 tem uma massa de 5, 30 × 10−26 kg e uma inércia à rotação de
1, 94 × 10−49 kg·m2 em torno de um eixo que passa pelo centro da linha que une os átomos
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e é perpendicular a essa linha. Suponha que o centro de massa de uma molécula de O2 em
um gás possui uma velocidade (escalar) de translação igual a 500 m/s e a moécula apresenta
uma energia cinética de rotação
2
3
da energia cinética de translação do seu centro de massa.
Qual é então a velocidade angular (escalar) da molécular em torno do centro de massa?
17. Na Figura 4, duas partı́culas, cada uma de massa m, são presas à outra e a um eixo de
rotação em O por duas hastes finas, cada uma com comprimento d e massa M . O conjunto
Figura 4: Problema 17
gira ao redor do eixo de rotação com velocidade angular ω. Em termos destes sı́mbolos e
medidas em torno de O, quais são
(a) a inércia à rotação e
(b) a energia do conjunto?
18. Cada uma das três lâminas do rotor do helicópter tem 5,20 m de comprimento e possui uma
massa de 240 kg. O rotor está girando a 350 rpm.
(a) Qual a inércia à rotação do conjunto do rotor em torno do eixo de rotação? (Cada
lâmina pode ser considerada uma haste fina girando em torno de uma extremidade)
(b) Qual a energia cinética de rotação total?
19. As massas e coordenadas de quatro partı́culas são as seguintes: 50 g, x = 2, 0 cm; 25 g,
x = 0, y = 4, 0 cm; 25 g, x = −3, 0 cm, y = −3, 0 cm; 30 g, x = −2, 0 cm, y = 4, 0 cm. Quais
são as inércias à rotação deste conjunto em torno dos eixos
(a) x,
(b) y e
(c) z?
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(d) suponha que as respostas para os itens (a) e (b) sejam A e B, respectivamente. Qual
será então a resposta para o item (c) em termos de A e B?
20. Caminhões de entrega que operam fazendo uso da energia armazenada em um volante giratório vêm sendo usados na Europa. Os caminhões são carregados usando um motor elétrico
para fazer o voltante girar na sua velocidade (angular escalar) máxima de 200π rad/s. Um
volante desses é um cilindro sólido e uniforme com uma massa de 500 kg e um raio de 1,0 m.
(a) Qual a energia cinética do volante após o carregamento?
(b) Se o caminhão operar com um potência consumida média de 8,0 kW, durante quantos
minutos ele consegue operar antes de ser recarregado?
21. O comprimento da manivela que liga o pedal ao eixo do pedaleiro de uma bicicleta é igual a
0,152 m, e o pé do ciclista aplica ao pedal uma força para baixo de 111 N. Qual a intensidade
do torque em torno do eixo do pedaleiro quando a manivela fizer um ângulo de
(a) 30◦ ,
(b) 90◦ e
(c) 180◦ com a vertical?
22. O corpo da Figura 5 está pivotado em O, e duas forças atuam sobre ele como mostrado.
Figura 5: Problema 22
(a) Encontre uma expressão para o torque resultante sobre o corpo em torno do pivô.
(b) Se r1 = 1, 30 m, r2 = 2, 15 m, F1 = 4, 20 N, F2 = 4, 90 N, θ1 = 75, 0◦ e θ2 = 60, 0◦ , qual
é o torque resultante em torno do pivô?
23. Na Figura 6, um cilindro que possui uma massa de 2,0 kg pode girar em torno do seu eixo
central que passa pelo ponto O. Quatro forças são aplicadas como mostrado na figura:
F1 = 6, 0 N, F2 = 4, 0 N, F3 = 2, 0 N e F4 = 5, 0 N. além disso, R1 = 5, 0 cm e R2 = 12 cm.
Determine a intensidade, a direção e o sentido da aceleração angular do cilindro. (Durante a
rotação as forças mantêm os mesmo ângulos em relação ao cilindro.)
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Figura 6: Problema 23
24. Na Figura 7 o bloco 1 tem massa m1 = 460 g, o bloco 2 tem massa m2 = 500 g, e a polia,
que está montada em um eixo horizontal com atrito desprezı́vel, tem um raio R = 5, 00 cm.
Quando o sistema é liberado a partir do repouso o bloco 2 cai 75,0 cm em 5,00 s sem que a
corda deslize na borda da polia.
Figura 7: Problema 24
(a) Qual é o módulo da aceleração dos blocos?
(b) Quais são so valores da tensões T1 e T2 ?
(c) Qual é o módulo da aceleração angular da polia?
(d) Qual é o momento de inércia da polia?
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25. A Figura 8 mostra as partı́culas 1 e 2, ambas de massa m, presas às extremidades de uma
barra rı́gida de massa desprezı́vel e comprimento L1 + L2 , com L1 = 20 cm e L2 = 80 cm.
A barra é mantida horizontalmente no fulcro até ser liberada. Quais são os módulos da
Figura 8: Problema 25
aceleração inicial das partı́culas 1 e 2?
26. Uma haste fina de comprimento L e massa m é suspensa por uma extremidade, em torno da
qual pode oscilar livremente. Ela é puxada para um lado e depois oscila como um pêndulo,
passando pela sua posição mais baixa com velocidade angular (módulo) ω. Em termos destes
sı́mbolos e g, e desprezando o atrito e a resistência do ar, determine
(a) a energia cinética da haste na sua posição mais baixa.
(b) a que distância acima dessa posição eleva-se o centro de massa.
27. Um corpo rı́gido é formado por três hastes finas idênticas, cada uma com comprimento L,
fixadas umas às outras na forma de uma letra H (Figura 9). O corpo tem a liberdade de
girar em torno de um eixo horizontal que passa por todo o comprimento de uma das pernas
do H. Permite-se que o cropo caia do repouso a partir de uma posição na qual o plano do
H está na horizontal. Qual a velocidade angular (escalar) do corpo quando o plano do H
estiver na vertical?
Figura 9: Problema 27
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28. Uma casca esférica uniforme de massa M e raio R gira em torno de um eixo vertical sobre
mancais sem atrito (Figura 10). Uma corda de massa desprezı́vel passa ao redor do equador
da casca, gira uma rodalna com inércia à rotação I e raio r e está presa a um pequeno
objeto de massa m. Não há atrito no eixo da roldana e a corda não desliza sobre a roldana.
Qual a velocidade escalar do objeto após cair uma distância h partindo do repouso? Use
considerações de energia.
Figura 10: Problema 28
29. Em um CD, a música é codificada em uma configuração de minúsculas reentrâncias dispostas
ao longo de uma trilha que avança uma espiral do interior à periferia do disco. À medida
que o disco gira no interior de um tocador de CD, a trilha é varrida com velocidade linear
constante v = 1, 25 m/s. Como o raio da trilha espiral aumenta à medida que o disco gira,
intensidade da velocidade angular do disco deve variar quando o CD está girando. Vamos
ver qual é a aceleração angular necessária para manter o módulo de v constante. A equação
de uma espiral é dada por
r(θ) = r0 + βθ
onde r0 é o raio da espiral para θ = 0 e β é uma constante. Em um CD, r0 é o raio interno da
trilha espiral. Considerando como positivo o sentido da rotação do CD, β deve ser positivo,
de modo que r e θ crescem à medida que o disco gira.
(a) quando o disco gira através de um pequeno ângulo dθ, a distância varrida ao longo da
trilha é d` = rdθ. Usando a expressão anterior para r(θ), integre d` para calcular a
distância total ` varrida ao longo da trilha em função do ângulo θ descrito pela rotação
do disco.
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(b) Como a trilha é varrida com velocidade linear constante v, a distância total ` encontrada
na parte (a) é igual a vt. Use esse resultado para encontrar θ em função do tempo.
Existem duas soluções para θ; qual delas é a fisicamente aceitável? Determine essa
expressão.
(c) Determine a velocidade angular ωz e a aceleração angular αz em função do tempo.
(d) Em um CD, o raio interno da trilha é igual a 25,0 mm, o raio da trilha cresce 1,55 mm
em cada volta e o tempo de duração é igual a 74,0 min. Determine os valores de r0 e
de β e determine o número total de voltas feitas durante o tempo total da reprodução
do som.
30. Nos problemas que tratam de roldanas com momento de inércia diferente de zero, os módulos
das trações nas cordas puxadas de um lado e de outro da roldana não são iguais. a diferença
entre elas é devida a uma força de atrito estático entre a corda e a roldana; entretanto, a
força de atrito estático não pode ser arbitrariamente muito grande. A Figura 11 mostra um
bloco tem massa m1 , o outro apresenta massa m2 (m1 > m2 ) e a roldana, em forma de
disco (massa mc e raio R) está montada em mancais horizontais se atrito. Quando solto do
repouso e sem que a corda escorregue na roldana:
Figura 11: Problema 30
(a) determine a intensidade da aceleração dos blocos.
(b) determine as trações que sustentam os blocos.
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31. Um cilindro homogêneo de massa M e raio 2R está em repouso sobre o topo de uma mesa.
Um fio é ligado por meio de um suporte duplo preso às extremidades de um eixo sem atrito
passando através do centro do cilindro de modo que o cilindro pode girar em torno do eixo.
O fio passa sobre uma polia em forma de disco de massa M e raio R montada em um eixo
sem atrito que passa em seu centro. Um bloco de massa M é suspenso na extremidade livre
do fio, conforme a Figura 12. O fio não desliza sobre a superfı́cie da polia, e o cilindro rola
sem deslizar sobre o topo da mesa. Determine o módulo da aceleração do bloco quando o
sistema é libertado do a partir do repouso.
Figura 12: Problema 31
32. Dois corpos de massas m1 e m2 estão ligados por uma corda que passa pelas rodas de um
eixo comum, como mostrado na Figura 13. As duas rodas estão ligadas juntas, de maneira
que formam um corpo único. O momento de inércia do corpo único é I. Os raios das rodas
são R1 e R2 . Determine a aceleração angular e as trações nas cordas.
Figura 13: Problema 32
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33. Uma esfera uniforme de massa M e raio R é livre para girar em torno do eixo que passa pelo
seu centro. Uma corda é enrolada em torno da esfera e presa a um objeto de massa m, como
mostrado na Figura 14. O momento de inércia da esfera com eixo de rotação que passa pelo
2
seu centro, de massa M e raio R é Iesfera = M R2 .
5
Figura 14: Problema 33
(a) Determine a aceleração do objeto em função de g, M e m.
(b) Determine a tração da corda em função de g, M e m.
34. Um objeto é constituı́do de quatro partı́culas, cada uma de massa m, que estão conectadas
Figura 15: Problema 34
por barras de massa desprezı́vel, formando um retângulo de lados 2a e 2b. O sistema gira
com velocidade angular ω em torno de um eixo no plano que passa através de duas partı́culas,
como mostrado na Figura 15. Determine a energia cinética de rotação.
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35. Um cilindro uniforme com massa M e raio R e momento de inércia de centro de massa M R2
2
está em repouso sobre um bloco de massa m, o qual, por sua vez, repousa sobre uma mesa
horizontal sem atrito, conforme a Figura 16. Se uma força horizontal F~ é aplicada no bloco,
este é acelerado e o cilindro rola sem escorregamento. Considere a direção de F~ indicada na
figura como positiva.
Figura 16: Problema 35
(a) Determine a aceleração do bloco em relação à mesa e em função de F , m e M .
(b) Determine a aceleração angular do cilindro em função de F , m, M e R.
(c) Determine a aceleração linear do cilindro em relação à mesa e em função de F , m e M .
(d) Determine a aceleração linear do cilindro em relação ao bloco e em função de F , m e
M.
36. A Figura 17 mostra um tubo cilı́ndrico oco de massa M , comprimento L, raio R e momento
Figura 17: Problema 36
de inércia
1
1
M R2 + M L2 . No interior do tubo existem dois discos de massa m, separados
2
12
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de uma distância ` e amarrados a uma haste central através de um fio fino. O sistema pode
girar em relação a um eixo central que passa pelo centro do tubo. Com o sistema girando a
uma rotação ω, o fio que segura os discos se rompe bruscamente. Quando os discos atingem
as extremidades do cilindro, eles permanecem nessa posição. Os discos estão eqüidistantes
ao eixo central. Considere os discos como partı́culas e admita que as paredes internas do
tubo não tenham atrito. Determine a velocidade angular final e as energias cinéticas inicial
e final do sistema em função dos parâmetros: M , m, R, L e ω.
37. Uma barra reta de massa desprezı́vel é apoiada em uma rótula sem atrito, conforme mostrado
na Figura 18. As massas m1 e m2 são fixadas à barra distando `1 e `2 da rótula.
Figura 18: Problema 37
(a) Determine a expressão para a energia potencial gravitacional das massas em função do
ângulo θ entre a barra e a direção horizontal.
(b) Determine o ângulo θ para o qual a energia potencial é mı́nima. A afirmativa “os
sistemas tendem a se mover em direção à configuração de energia potencial mı́nima” é
consistente com o seu resultado?
(c) Mostre que se m1 `1 = m2 `2 , a energia potencial é a mesma para todos os valores de θ.
Nessa condição, o sistema estará em equilı́brio para qualquer ângulo θ. Esse resultado
é conhecido como lei das alavancas de Arquimedes.
38. A Figura 19 mostra uma bolinha de gude com raio r rola a partir do repouso do topo de uma
grande esfera com raio R, na qual está firmemente fixada.
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Figura 19: Problema 38
(a) Presumindo que a bolinha de gude rola sem deslizar enquanto se mantém em contato
com a esfera, mostre que o ângulo a partir do topo da esfera com o ponto onde a bolinha
perde contato com a esfera é
θ = arccos
10
17
≈ 53, 97◦
2 2
mr
5
(b) Por que não é realista admitir que a bolinha rola sem deslizamento até perder contato
O momento de inércia da bolinha de gude é I =
com a superfı́cie da esfera?
39. Um carretel repousa em um plano inclinado a uma distância D da base do plano. As ex-
Figura 20: Problema 39
tremidades do carretel têm raio R e a parte central tem raio r. O momento de inércia do
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carretel em relação ao seu eixo é I. Uma tira de massa desprezı́vel está enrolada com muitas
voltas em torno do centro do carretel. O outro extremo da tira está preso por um gancho no
topo inclinado, como mostrado na Figura 20.
(a) Suponha que inicialmente a superfı́cie da rampa seja de gelo e não apresente qualquer
atrito. Mostre que a velocidade do centro de massa do carretel quando ele alcança a
base da rampa tem módulo igual a
v
u 2M gDsen θ
v=u
t
I
M+ 2
r
(b) Agora suponha que o gelo derreteu e que, quando o carretel está na mesma posição
inicial do item anterior, exista atrito bastante para manter o carretel sem deslizar na
rampa. Determine, em termos de M e/ou I e/ou r e/ou R e/ou g e/ou D e/ou θ, a
direção e o valor da força de atrito estática nesse caso.
40. O vetor posição de uma partı́cula cuja massa é de 3 kg é dado por ~r = 4ı̂ + 3t2 ̂, onde ~r é
expresso em metros e t em segundos.
(a) Determine o momento angular da partı́cula em relação à origem.
(b) Determine o torque atuante na partı́cula em relação à origem.
41. Uma caixa de massa m2 repousa sobre uma estante horizontal com atrito, e é fixada através
Figura 21: Problema 41
de cabos a duas caixas com massas m1 e m3 , penduradas livremente, conforme mostrado
na Figura 21. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa m2 e a estante é µ. Ambas as
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1
M R2 , onde M é a massa da roldana e R
2
o seu raio. Os cabos têm massas desprezı́veis, são inextensı́veis e não deslizam nas roldanas.
roldanas possuem momentos de inércia iguais a
O sistema, inicialmente, é mantido em repouso. Após ser liberado, em termos de µ e/ou m1
e/ou m2 e/ou m3 e/ou M e/ou R e/ou h e/ou g, determine a velocidade da caixa de massa
m3 após descer de uma altura h em relação a sua posição inicial. Utilize o formalismo de
energia.
42. Um corpo rı́gido está girando em sentido anti-horário ao redor de um eixo fixo. Cada um dos
seguintes pares de grandeza representa uma posição angular inicial e uma posição angular
final do corpo rı́gido:
• 3 rad, 6 rad;
• −1 rad, 1 rad;
• 1 rad, 5 rad
(a) Qual (is) do conjuntos só pode (m) ocorrer se o corpo rı́gido gira mais que 180◦ .
(b) Suponha que a mudança na posição angular para cada um dos pares de valores tenha
ocorrido em 1 s. Qual escolha representa a mais baixa intensidade da velocidade angular
média?
(c) Se o corpo começa do repouso na posição angular inicial, desloca-se na direção antihorária com aceleração angular constante, e chega na posição angular final com a mesma
velocidade angular em todos os três casos, para qual escolha é maior a aceleração angular?
43. Tanto o torque quanto o trabalho são produtos de força e distância. De que forma eles são
diferentes?
44. Este problema descreve um método experimental para determinar o momento de inércia de
um corpo com forma irregular tal como a carga útil para um satélite. A Figura 22 mostra
um cilindro de massa m suspenso por uma corda que está enrolada ao redor de um carretel
de raio r, formando parte de um plataforma giratória apoiando o corpo. Quando o cilindro
é solto do repouso, ele desce uma distância h, adquirindo uma velocidade v. Mostre que o
momento de inércia I do equipamento (incluindo a plataforma giratória) é
I=
mr2
−1
2gh
−1
v2
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Figura 22: Problema 44
45. Na Figura 23 o bloco sobre a superfı́cie horizontal tem massa m1 , o contrapeso tem massa
m2 , e a polia é um cilindro oco com massa M , raio interno Rint e raio externo Rext . O
coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfı́cie horizontal é µ. A polia gira sem
atrito ao redor do seu eixo. A corda leve não estica e não desliza sobre a polia. O bloco
tem velocidade v0 em direção à polia quando passa por um registrador fotográfico. Mostre,
utilizando o formalismo de energia, que a velocidade do bloco após ter se deslocado para o
segundo registrador fotográfico, afastado de uma distância d do outro é
vfinal
v
u
2
=u
uv0 +
t
2gd(m2 − µm1 )
M
R2
m1 + m2 +
1 + 2int
2
Rext
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Figura 23: Problema 45
O momento de inércia, I, do cilindro oco é
I=
M 2
2
(Rint + Rext
)
2
46. Hastes rı́gidas de massa desprezı́vel ao longo do eixo y ligam três partı́culas pequenas conforme
mostra a figura abaixo. Se o sistema gira ao redor do eixo x com velocidade angular de
2,00 rad/s, encontre
(a) o momento de inércia ao redor do eixo x e a energia cinética rotacional total calculada
1
de Iω 2 .
2
(b) a velocidade tangencial de cada partı́cula e a energia cinética total calculada de
X1
mi vi2 .
2
i
RESPOSTAS
(c) 1, 45 × 10−4 rad/s
1. (a) a + 3bt2 − 4ct3
(b) 6bt − 12ct2
3. (a) 5, 5 × 1015 s
(b) 26
2. (a) 0,105 rad/s
(b) 1, 75 × 10−3 rad/s
4. (a) 4,0 rad/s e 28 rad/s
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Figura 24: Problema 46
(b) 12 rad/s2
(c) Faça o gráfico!
(c) 6,0 rad/s2 e 18 rad/s
10. (a) 1,04 rev/s2
5. (a) 2,0 rad e nula
(b) 4,8 s
(b) 128 rad/s
(c) 48 rev
(c) 32 rad/s2
11. (a) 3,0 rad/s
(d) não. Explique!
(b) 30 m/s
(c) 0,60 rad/s2
6. (a) 4,0 m/s
(d) 6,0 m/s2
(b) Não. Explique!
(e) 90 m/s2
7. (a) 9000 rev/min2
12. (a) 3, 8 × 103 rad/s
(b) 420,0 rev
(b) 190 m/s
8. (a) −66, 7 rev/min2
(b) 8,3 rev
13. (a) 1,14 rev/min2
9. (a) 44 rad
(b) 9, 9 × 103 rev
(b)
i. 5,5 s e 32 s
(c) 9, 9 × 10−4 m/s2
ii. 40 s
(d) 31 m/s2
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r
3 g
27.
2 L
v
u
2gh
28. u
t 2M
I
+1+
3m
mr2
14. 16 s
15. 12,3 kg· m2
16. 6, 75 × 1012 rad/s
8
17. (a) 5md2 + M d2
3
!
5
4
(b)
m + M ω 2 d2
2
3
1
29. (a) r0 θ + βθ2
2
q
1
2
r0 + 2βvt − r0
(b)
β
18. (a) 6, 49 × 103 kg·m2
(c) p
(b) 4,36 MJ
v
r02 + 2βvt
βv 2
e−
3/2
(r0 + 2βvt)
(d) 2, 13 × 104 revoluções
19. (a) 1, 3 × 103 g· cm2
30. (a)
(b) 5, 5 × 102 g·cm2
3
(c) 1, 9 × 10 g· cm
(b)
2
(d) A soma das respostas dos itens a) e
b)
31.
7
20. (a) 4, 0 × 10 J
m1 − m2
g
m1 + m2 + 21 mc
m1 (2m2 + 21 mc )
g
m1 + m2 + 12 mc
m2 (2m1 + 21 mc )
g
m1 + m2 + 12 mc
e
g
3
m 1 R1 − m 2 R2
32. aceleração angular:
g;
m1 R12 + m2 R22 +I
m2 R2 (R1 + R2 ) + I
e
Trações: m1 g
m1 R12 + m2 R22 + I
m1 R1 (R1 + R2 ) + I
m2 g
m1 R12 + m2 R22 + I
(b) ≈ 100 min
21. (a) 8,4 N· m
(b) 17 N· m
(c) nula
g
2M
1+
5m
2mM g
(b)
5m + 2M
33. (a)
22. (a) r1 F1 sen θ1 − r2 F2 sen θ2
(b) −3, 85 N· m
23. 9,72 rad/s2 no sentido anti-horário
34. 4ma2 ω 2
24. (a) 6, 00 × 10−2 m/s2
3F
M + 3m
2F
(b) −
R(M + 3m)
F
(c)
M + 3m
2F
(d) −
M + 3m
35. (a)
(b) 4,87 N e 4,54 N
(c) 1,20 rad/s2
(d) 1, 38 × 10−2 kg· m2
25. 6,9 m/s2 e 1,7 m/s2
mω 2 L2
6
ω 2 L2
(b)
6g
36. velocidade
angular
6M R2 + M L2 + 6m`2
ω;
6M R2 + M L2 + 6mL2
Energia
cinética
26. (a)
21
final:
inicial:
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1
6M R2 + M L2 + 6m`2 ;
24
Energia
cinética
2
6M R2 + M L2 + 6m`2 ω 2
6M R2 + M L2 + 6mL2 24
(b) (72, 0 N · m)k̂
s
2 (m3 − m1 − µm2 ) gh
41.
m1 + m2 + m3 + M
final:
42. (a) configuração 3
37. (a) (m2 `2 − m1 `1 )gsen θ
π
(b) −
2
(c) Mostre!
(b) configuração 2
(c) configuração 2
43. Responda!
38. (a) Mostre!
44. Mostre!
(b) Explique!
45. Mostre!
39. (a) Mostre!
M gsen θ
para cima do plano incli(b)
R
1+
r
nado.
46. (a) Ix = 92, 0 kg·m2 e K = 184 J
(b) v1 = 6, 00 m/s, v2 = 4, 00 m/s e
v3 = 8, 00 m/s; K = 184 J
40. (a) (72, 0t J · s)k̂
22