Capı́tulo 6
Limite de Funções
6.1
O conceito de limite
No Capı́tulo 5, determinamos a inclinação da reta tangente à parábola y = f (x) = a x2 + b x + c num ponto (x0 , f(x0 )).
O método empregado consistiu em obter esta inclinação a partir das declividades das retas secantes que passam pelos
pontos (x0 , f (x0 ))e (x0 + h, f (x0 + h)), tomando valores arbitrariamente pequenos para h, isto é, fazendo h tender
a zero. Este método pode ser empregado para uma função f qualquer. De fato, para determinar a declividade da
(x0 )
reta tangente a uma curva qualquer y = f (x) basta estudar o comportamento do quociente f (x0 +h)−f
, quando h
h
se aproxima de zero ou, usando notação matemática, precisamos calcular o
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x) − f (x0 )
= lim
x→x
h
x − x0
0
Para que isso seja possı́vel, é preciso aprofundar um pouco mais o estudo do conceito matemático de limite.
Começaremos este estudo de maneira intuitiva, por meio de alguns exemplos.
lim
h→0
Exemplo 1
Vamos estudar o comportamento da função f deﬁnida por f (x) = x2 − x + 2 para valores de x próximos de 2. A
primeira tabela a seguir mostra os valores de f (x) quando x se aproxima de 2 por valores menores do que 2. Neste
caso, dizemos que x se aproxima de 2 pela esquerda. A segunda mostra os valores de f (x) quando x se aproxima de
2 por valores maiores do que 2, isto é, quando x se aproxima de 2 pela direita.



x
f (x)
x
f (x)
 1.0
  3.0

2.0
8.0



 1.5
  2.5

2.75
5.75



 1.8
  2.2

3.44
4.64



 1.9
  2.1

3.71
4.31



 1.95
  2.05

3.8525
4.1525



 1.99
  2.01

3.9701
4.0301



 1.995 3.985025   2.005 4.015025 
1.999 3.997001
2.0001 4.003001
Veja este comportamento ilustrado no gráﬁco abaixo:
8
7
6
5
y4
3
2
1
0
1
2
x
3
4
Tanto as tabelas acima quanto o gráﬁco da parábola mostram que à medida que x se aproxima de 2 quer pela
direita, quer pela esquerda, f (x) se aproxima de 4, ou seja, podemos fazer f (x) ﬁcar tão perto de 4 quanto quisermos,
bastando para isso tomarmos x suﬁcientemente próximo de 2. Para descrever este comportamento matematicamente,
usamos a notação
lim (x2 − x + 2) = 4
x→2
(Lê-se: o limite de f (x), quando x tende a 2, é 4).
72
Cap. 6. Limite de Funções
De um modo geral, dizer que
lim f (x) = L
x→x0
signiﬁca que, à medida que x se aproxima de x0 , os valores de f (x) ﬁcam próximos de L, e, mais do que isso, podemos
melhorar cada vez mais esta aproximação, isto é, podemos tornar a diferença entre f (x) e L, em valor absoluto, tão
pequena quanto quisermos, bastando para isso escolher x suﬁcientemente próximo de x0 .
• Usando as tabelas construı́das neste exemplo, veriﬁque quão próximo x deve estar de 2, para que | f (x)−4 | < 0, 01.
Na deﬁnição de limite, dizer que “x se aproxima de x0 ” signiﬁca que, para o cálculo de limites, podemos tomar
x bem pertinho de x0 , sem que x seja igual a x0 . De fato, para o cálculo de limites não interessa o valor da função
no ponto x = x0 , mas somente como a função f se comporta perto deste ponto. Este fato é ilustrado nos gráﬁcos a
seguir. No primeiro deles, f não está deﬁnida em x = 1; no terceiro, f (1) ̸= 2; nos dois casos temos que lim f (x) = 2.
x→1
–2
3
2
2
1
1
0
–1
–2
3
–1
1
x
2
–2
0
–1
–1
–1
3
3
2
2
1
1
0
1
x
2
–2
–1
–1
0
1
x
1
x
2
2
–1
Exemplo 2
Nesse exemplo estudaremos o comportamento da função f (x) = x3 para valores de x próximos de −2.
Graﬁcamente temos:
0
–2
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–16
Para observar numericamente o comportamento dessa função, estude as tabelas dadas a seguir. Na primeira, a
função f é calculada para uma seqüência de valores de x se aproximando de −2, pela direita. Na segunda, calculamos
f (x) quando x se aproxima de −2, pela esquerda.


















x
−1.500000000
−1.750000000
−1.875000000
−1.937500000
−1.968750000
−1.984375000
−1.992187500
−1.996093750
−1.998046875
−1.999023438
x3
−3.375000000
−5.359375000
−6.591796875
−7.273193359
−7.630828857
−7.813961029
−7.906615734
−7.953216493
−7.976585381
−7.988286971




































x
−2.500000000
−2.250000000
−2.125000000
−2.062500000
−2.031250000
−2.015625000
−2.007812500
−2.003906250
−2.001953125
−2.000976563
x3
−15.62500000
−11.39062500
−9.595703125
−8.773681641
−8.380889893
−8.188968658
−8.094116688
−8.046966612
−8.023460396
−8.011724473


















W.Bianchini, A.R.Santos
73
O gráﬁco e as tabelas acima sugerem que
lim
x→(−2)
x3 = −8.
Exercı́cio 1
Considere a função f (x) = x3 .
1. Usando o método descrito acima, tente achar um provável valor para lim x3 .
x→2
2. Determine quão próximo x deve estar de 2 para que x3 − 8 < .0001.
Exemplo 3
Vamos estudar agora o comportamento da função g, cuja deﬁnição e gráﬁcos são dados abaixo à esquerda, para
valores de x próximos de 1. Observe, graﬁcamente, o que ocorre com essa função nas proximidades do ponto 1 no
gráﬁco à direita.
>
g:=piecewise(x<1,x-2,x>=1,x+1);
{
x−2 x<1
g :=
3
x+1 1≤x
2
3
1
x
2
1
–1
x
–2
–1
–3
–2
–4
–3
–4
Observe separadamente o comportamento desta função quando x se aproxima de 1 pela esquerda (primeiro gráﬁco)
e pela direita (segundo gráﬁco).
3
3
2
2
1
1
x
x
–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
Observe, agora, numericamente, esse comportamento. Na primeira tabela, x se aproxima de 1 pela direita. Na
segunda,
pela esquerda.




x
g(x)
x
g(x)
 1.500000000 2.500000000 
 .5000000000 −1.500000000 




 1.250000000 2.250000000 
 .7500000000 −1.250000000 




 1.125000000 2.125000000 
 .8750000000 −1.125000000 




 1.062500000 2.062500000 
 .9375000000 −1.062500000 




 1.031250000 2.031250000 
 .9687500000 −1.031250000 




 1.015625000 2.015625000 
 .9843750000 −1.015625000 




 1.007812500 2.007812500 
 .9921875000 −1.007812500 




 1.003906250 2.003906250 
 .9960937500 −1.003906250 




 1.001953125 2.001953125 
 .9980468750 −1.001953125 
1.000976563 2.000976563
.9990234375 −1.000976563
Notamos, nesse caso, que o comportamento de g(x) difere daquele dos exemplos anteriores, pois a função assume
diferentes valores quando x se aproxima de 1 pela direita ou pela esquerda. As tabelas acima sugerem que quando x
se aproxima de 1 pela direita a função g(x) se aproxima de 2 e, quando x se aproxima de 1 pela esquerda, g(x) se
aproxima de −1. A notação matemática para essa situação é
lim g(x) = 2 e
x→1+
lim g(x) = −1.
x→1−
74
Cap. 6. Limite de Funções
(Lê-se: o limite de g(x) quando x tende a 1 pela direita é 2 e o limite de g(x) quando x tende a 1 pela esquerda é −1.)
Esses limites são chamados, respectivamente, limite lateral à direita e limite lateral à esquerda. Quando, como
nesse caso, os limites laterais são diferentes, dizemos que a função não tem limite no ponto x = x0 .
Assim, o limite de uma função em um ponto x0 existe, quando os limites laterais existem e são iguais.
• Conﬁrme essa aﬁrmação para as funções estudadas nos exemplos anteriores.
Exercı́cio 2
|x|
para valores de x próximos de zero, isto é, calcule lim f (x) e
x
x→0+
lim− f (x) e conclua se existe o lim f (x). Como nos exemplos anteriores, faça uma análise gráﬁca e numérica.
Estude o comportamento da função f (x) =
x→0
x→0
Sugestão: Qual o valor de f (x) para x > 0? E para x < 0?
Exemplo 4: Uma aplicação
Retornemos, agora, ao problema estudado no capı́tulo anterior, de encontrar a inclinação da reta tangente à
parábola y = f (x) = x2 no ponto x0 = 1. Como vimos, este problema é equivalente a estudar o comportamento da
f (x) − f (x0 )
função g(x) =
, quando x se aproxima de x0 .
x − x0
Como nos exemplos anteriores, faremos uma análise gráﬁca e numérica. As tabelas a seguir mostram o comportamento desta função quando x se aproxima de 1. A tabela da esquerda mostra o comportamento do quociente
x2 − 1
g(x) =
quando x se aproxima de 1 pela esquerda, isto é, por valores menores que 1. A outra tabela mostra
x−1
este mesmo comportamento quando x se aproxima de 1 pela direita, ou seja, por valores maiores que 1. Nos dois
x2 − 1
casos, à medida que x se aproxima de 1 os valores do quociente
se aproximam de 2. Observa-se este mesmo
x−1
comportamento no gráﬁco da função g mostrado ao lado.




















x
.5000000000
.7500000000
.8750000000
.9375000000
.9687500000
.9843750000
.9921875000
.9960937500
.9980468750
.9990234375
x2 − 1
x−1
1.500000000
1.750000000
1.875000000
1.937500000
1.968750000
1.984375000
1.992187500
1.996093750
1.998046875
1.999023438







































x
1.500000000
1.250000000
1.125000000
1.062500000
1.031250000
1.015625000
1.007812500
1.003906250
1.001953125
1.000976563
x2 − 1
x−1
2.500000000
2.250000000
2.125000000
2.062500000
2.031250000
2.015625000
2.007812500
2.003906250
2.001953125
2.000976563




















3
2
1
–2
–1
0
1
x
2
–1
As tabelas e o gráﬁco sugerem que lim g(x) = 2. Neste exemplo, este limite representa a declividade da reta
x→1
tangente à curva f (x) = x2 no ponto x0 = 1. Repare, uma vez mais, que ao estudarmos o limite de uma função num
ponto x0 , estamos interessados em conhecer o que acontece com os valores dessa função nas proximidades do ponto
x0 . Este comportamento independe do valor da função em x0 , visto que esta função, como neste exemplo, nem ao
menos precisa estar deﬁnida nesse ponto! O ponto (1, 2) aparece no gráﬁco anterior marcado por um pequeno disco
para enfatizar que o ponto x = 1 não pertence ao domı́nio da função g. Para x ̸= 1, temos que g(x) = x + 1 pois,
nesse caso, podemos simpliﬁcar a expressão que deﬁne g e obter
(x + 1) (x − 1)
x2 − 1
=
= x + 1.
x−1
x−1
A notação lim g(x) = 2 signiﬁca que à medida que os valores de x se aproximam de 1 quer pela direita, quer
x→1
pela esquerda, os valores de g se aproximam de 2, e que podemos tornar a diferença | g(x) − 2 | tão pequena quanto
quisermos, bastando para isso escolhermos x suﬁcientemente próximo de 1, sem nunca, no entanto, alcançar este valor.
Repare a mensagem emitida pelo Maple quando tentamos calcular a função g no ponto x = 1.
>
g(1);
Error, (in g) division by zero
W.Bianchini, A.R.Santos
75
Neste exemplo:
- Quão próximo x deve estar de x0 para que a distância de g(x) a 2 seja menor que 1/100?
- Quão próximo x deve estar de x0 para que a distância de g(x) a 2 seja menor que 1/1000?
No exemplo acima, vimos que embora g(x) não esteja deﬁnida em x0 = 1, os valores de g(x) se aproximam de 2 à
medida que x se aproxima de 1, e se quisermos tornar a diferença entre g(x) e 2 menor que 1/10 basta tornarmos a
1
1
diferença entre x e x0 menor que 1/10; se quisermos que | g(x) − 2 | < 100
, basta fazermos | x − x0 | < 100
. Experimente!
Exemplo 5: Limites infinitos
Considere agora a função y = f (x) = x12 . Pode-se concluir imediatamente que y sempre será positivo e que y não
está deﬁnido quando x = 0. Mas o que acontece quando x se aproxima de zero?
Observe as tabelas a seguir. A da esquerda mostra o comportamento desta função para valores de x positivos e se
aproximando de zero. A da direita, mostra o comportamento desta função para valores negativos de x se aproximando
de zero.



1
1
x
x



x2
x2





 .5000000000

4.
4.
  −.5000000000




 .2500000000

16.
16.
  −.2500000000




 .1250000000

64.
64.
  −.1250000000




 .06250000000

256.
256.
  −.06250000000




 .03125000000

1024.
1024.
  −.03125000000




 .01562500000

4096.
4096.
  −.01562500000




 .007812500000

16384.
16384.
  −.007812500000




 .003906250000

65536.
65536.
  −.003906250000




 .001953125000

262144.
−.001953125000
262144.
7
7
.0009765625000 .1048576 10
−.0009765625000 .1048576 10
Neste caso, notamos que à medida que x se aproxima de zero, quer pela direita, quer pela esquerda, os valores
correspondentes de f (x) “explodem”, isto é, crescem, sem limite, em valor absoluto. Dizemos, então, que quando x
tende a zero a função tende a + ∞ . Em notação matemática escrevemos lim f (x) = ∞ ou f (x) → ∞ quando x → 0.
x→0
Observe esse comportamento no seguinte gráﬁco (Veja o texto eletrônico):
100
80
60
40
20
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Note que, neste exemplo, à medida que x se aproxima de zero, os valores de f (x) não se aproximam de nenhum
número, portanto o lim f (x) não existe. A notação lim f (x) = ∞ serve, somente, para indicar que podemos tornar os
x→0
x→0
valores de f (x) arbitrariamente grandes, bastando para isso tomarmos x suﬁcientemente próximo de zero. Na notação
usada acima para indicar este comportamento, não estamos considerando ∞ como um número, nem aﬁrmando que o
limite existe. Ela serve somente para indicar a maneira especial como a função se comporta perto do zero.
• Você é capaz de dar outros exemplos de funções que apresentem este mesmo comportamento?
• Considere a função g(x) = − x12 e analise o seu comportamento quando x se aproxima de zero. Você poderá veriﬁcar
que g(x) decresce sem limite, isto é, tende a −∞. Neste caso escrevemos lim g(x) = −∞.
x→0
Nos dois casos acima, quando x se aproxima de zero o gráﬁco da função se aproxima da reta x = 0. A reta x = 0
é chamada de assı́ntota vertical ao gráﬁco da função y = g(x).
Exemplo 6: Limites no infinito
76
Cap. 6. Limite de Funções
Considerando novamente a função f (x) = x12 , vamos agora observar o que acontece com os seus valores quando x
cresce em valor absoluto e se torna muito grande.
As tabelas seguintes mostram os valores de f calculados para valores positivos de x, sucessivamente crescentes e
para valores de x sucessivamente decrescentes, respectivamente:






















x
1024.
2048.
4096.
8192.
16384.
32768.
65536.
131072.
262144.
524288.
.1048576 107
1
x2
.9536743164 10−6
.2384185791 10−6
.5960464478 10−7
.1490116119 10−7
.3725290298 10−8
.9313225746 10−9
.2328306437 10−9
.5820766091 10−10
.1455191523 10−10
.3637978807 10−11
.9094947018 10−12











































1
x2
.9536743164 10−6
.2384185791 10−6
.5960464478 10−7
.1490116119 10−7
.3725290298 10−8
.9313225746 10−9
.2328306437 10−9
.5820766091 10−10
.1455191523 10−10
.3637978807 10−11
.9094947018 10−12
x
−1024.
−2048.
−4096.
−8192.
−16384.
−32768.
−65536.
−131072.
−262144.
−524288.
−.1048576 107






















Veja no texto eletrônico a animação gráﬁca correspondente.
Nesse caso dizemos que o limite da função é zero quando x tende para +∞ ou −∞, isto é, quando x cresce sem
limite (x → +∞) ou quando x decresce sem limite (x → −∞). Em notação matemática escrevemos:
lim f (x) = 0
x→∞
e
lim f (x) = 0
x→−∞
Novamente, os sı́mbolos +∞ e −∞ não são números. Estes sı́mbolos indicam somente que estamos considerando
valores de x cada vez maiores, em valor absoluto.
Observe também que, quando x cresce em valor absoluto, isto é, x → +∞ ou x → −∞, o gráﬁco da função se
aproxima da reta y = 0. Nesse caso, a reta y = 0 é chamada de assı́ntota horizontal ao gráﬁco da função f .
6.1.1
Assı́ntotas ao gráfico de uma função
Pelos dois exemplos anteriores, intuitivamente podemos concluir que uma reta é uma assı́ntota ao gráﬁco de uma
função quando, à medida que um ponto se move ao longo da curva, a distância desse ponto à reta se aproxima de zero
indeﬁnidamente, sem nunca chegar a zero.
As deﬁnições a seguir expressam as idéias de assı́ntotas verticais e horizontais ao gráﬁco de uma função y = f (x)
em termos matemáticos mais precisos:
Assı́ntota vertical
Dizemos que uma reta x = a é uma assı́ntota vertical ao gráﬁco de uma função y = f (x) se uma das condições se
veriﬁca:
lim f (x) = ∞, lim+ f (x) = −∞, lim− f (x) = ∞ ou lim− f (x) = −∞.
x→a+
x→a
x→a
x→a
Assı́ntota horizontal
Dizemos que uma reta y = a é uma assı́ntota horizontal ao gráﬁco de uma função y = f (x) se
lim f (x) = a
x→∞
ou se
lim f (x) = a
x→−∞
. • Você é capaz de deﬁnir uma condição que permita determinar quando uma reta y = mx + b é uma assı́ntota
inclinada ao gráﬁco de uma função y = f (x)? (Veja Problema 9 da Seção Problemas Propostos).
• É possı́vel determinar uma condição que permita aﬁrmar quando uma função f (x) se aproxima de uma outra função
qualquer, não necessariamente uma reta, quando x → +∞ ou quando x → −∞? (Veja Projeto: Assı́ntotas e outras
funções limitantes).
W.Bianchini, A.R.Santos
6.1.2
77
Exercı́cios
1. Para a função f cujo gráﬁco é dado a seguir, estime o valor dos seguintes limites, caso existam:
(a) lim+ f (x)
(d) lim+ f (x)
(g) lim+ f (x)
x→1
x→2
x→0
(b) lim− f (x)
(e) lim− f (x)
(c) lim f (x)
(f) lim f (x)
x→1
(h) lim− f (x)
x→2
x→1
x→0
x→2
4
3
y2
1
–4
–3
–2
–1
0
1
2
x
–1
3
4
–2
–3
–4
2. Para a função f cujo gráﬁco é dado a seguir, estime os seguintes limites, caso existam:
(a) limπ + f (x)
(c) limπ f (x)
(e) lim
f (x)
π−
x→− 2
x→− 2
(b)
lim
−
x→− π
2
f (x)
(d)
x→ 2
lim f (x)
+
x→ π
2
(f) limπ f (x)
x→ 2
6
4
y
2
–6
–4
–2
0
2
x
4
6
–2
–4
–6
Determine as equações das assı́ntotas verticais.

2−x



x
3. (a) Esboce o gráﬁco da função g(x) =
4



4−x
(b) Use o gráﬁco esboçado no item anterior para
i. lim − g(x)
iii. lim + g(x)
x→−1
ii. lim g(x)
x→1−
se x < −1
se −1 ≤ x < 1
se x = 1
se x > 1
estimar o valor dos seguintes limites, caso existam:
v. lim g(x)
x→−1
x→−1
iv. lim g(x)
vi. lim g(x)
x→1+
x→1
4. Considere a função y = x1 .
(a) Qual o seu domı́nio?
(b) Quais suas assı́ntotas?
(c) Qual o comportamento da função quando x se aproxima de zero pela direita? E quando x se aproxima de
zero pela esquerda?
(d) Esboce o gráﬁco dessa função escolhendo uma janela adequada que mostre as suas principais caracterı́sticas.
5. Considere a função y =
(a)
(b)
(c)
(d)
x
x−1 .
Qual o seu domı́nio?
Quais suas assı́ntotas?
Descreva o comportamento da função no ponto x = 1.
Esboce o gráﬁco dessa função escolhendo uma janela adequada que mostre as suas principais caracterı́sticas.
6. (a) Determine o domı́nio, a imagem e as assı́ntotas da função y = x + x1 .
(b) Qual o comportamento desta função no ponto x = 0?
(c) Esboce o seu gráﬁco.
78
Cap. 6. Limite de Funções
6.2
Definições
Na seção anterior, “calculamos” intuitivamente limites de funções por meio da análise dos seus gráﬁcos e também
pela observação de tabelas que listavam valores de pontos do tipo (x, f (x)). Essas pesquisas gráﬁcas e/ou numéricas
são úteis para obter informações preliminares e nos ajudar a prever um valor para o limite procurado. Embora, na
maioria das vezes sugiram o valor correto do limite (veja nas atividades de laboratório alguns exemplos onde este
procedimento conduz a conclusões erradas), não constituem uma demonstração no sentido em que os matemáticos a
entendem.
Para obtermos uma demonstração, no sentido matemático do termo, de uma aﬁrmação envolvendo limites, torna-se
necessário deﬁnir com rigor e precisão o que signiﬁcam expressões do tipo “à medida que x se aproxima de xo , os
valores de f (x) se aproximam de L” ou “podemos tornar a diferença entre f (x) e L, em valor absoluto, tão pequena
quanto quisermos, bastando para isso considerar x bastante próximo de xo , sem no entanto nunca atingir esse valor”.
Na verdade, o signiﬁcado preciso de expressões do tipo acima foi alvo de discussões acaloradas e acirradas entre
os matemáticos durante séculos. Foi somente no ﬁnal do século XIX que o matemático alemão Karl Weierstrass
(1815-1897) formulou a deﬁnição de limite que usamos nos dias de hoje e que apresentamos a seguir.
6.2.1
Definição 1: Limite de uma função em um ponto
Na seção anterior, concluı́mos que, dada uma função y = f (x), dizemos que L é o limite de f (x) quando x se aproxima
de x0 ou quando x tende a x0 , se pudermos tornar a diferença entre f (x) e L tão pequena quanto quisermos, bastando
para isso considerar x suﬁcientemente próximo de x0 . Nesse caso escrevemos
lim f (x) = L.
x→x0
O ponto central nessa idéia é o de que podemos obter estimativas do valor limite e que estas estimativas, para
qualquer propósito prático, podem estar tão próximas quanto se queira do valor exato.
Para isso começamos com uma função m(x) que nos dá uma famı́lia de estimativas. Imagine, por exemplo, uma
função m que, para cada valor de x, nos dê uma estimativa para a declividade da reta tangente à curva y = f (x) no
ponto x0 = 0, 5. Neste caso,
m(x) =
f (x) − f (0, 5)
x − 0, 5
que é a declividade da reta secante que passa pelos pontos (x0 , f (x0 )) e (x, f (x)).
Existe um valor ideal que gostarı́amos que x assumisse. Neste exemplo, a declividade exata da reta tangente seria
obtida quando o segundo ponto (x, f (x)), coincidisse com o primeiro (x0 , f (x0 )) e, conseqüentemente, a reta secante
coincidisse com a reta tangente. Este valor ideal na realidade, é impossı́vel de ser atingido. Veriﬁque no exemplo
dado, que a função m não está deﬁnida para x = 0, 5.
Na maioria das aplicações práticas, não necessitamos da resposta exata, mas de uma resposta aproximada com um
certo erro permitido. A letra grega ε é, tradicionalmente, usada para denotar este erro permitido. Dependendo da
situação o erro ε pode ser grande ou muito, muito pequeno.
Para cada erro permitido, existe uma tolerância, de tal maneira que se x dista do valor ideal x0 menos do que a
tolerância, então a estimativa está dentro do padrão de erro tolerado, isto é, a diferença entre o valor exato e o valor
aproximado encontrado, em valor absoluto, é menor do que o erro permitido.
Colocando estas idéias em termos matemáticos precisos, temos a deﬁnição abaixo.
Definição: A expressão
lim f (x) = L
x→x0
significa que para todo erro permitido ε > 0, não importa quão pequeno ele seja, existe uma tolerância δ > 0, tal que
se 0 < | x − x0 | < δ então | f (x) − L | < ε.
A ﬁgura a seguir ilustra essa deﬁnição:
W.Bianchini, A.R.Santos
79
y = f(x)
L+ε
L
L- ε
xo -δ
xo
xo +δ
Os pontos do gráﬁco de y = f (x) que satisfazem a desigualdade | f (x) − L | < ε são os pontos que estão entre as
duas retas horizontais y = L − ε e y = L + ε (por quê?). Este é o afastamento (erro) permitido do valor exato L.
Da mesma forma, os pontos desse gráﬁco que satisfazem a desigualdade | x − x0 | < δ são aqueles que estão entre as
retas verticais x = x0 − δ e x = x0 + δ. Esta é a faixa de tolerância. Dessa maneira, a deﬁnição de limite nos diz que:
sendo dadas duas retas horizontais y = L − ε e y = L + ε (ε > 0), faixa de erro permitido, é possı́vel escolher duas
retas verticais x = x0 − δ e x = x0 + δ (δ > 0), faixa de tolerância, de tal maneira que se x estiver dentro da faixa de
tolerância, f (x) estará dentro da faixa de erro permitido. (Veja a animação no texto eletrônico.)
Repare ainda que não importa quão próximas estejam as retas horizontais (isto é, quão pequeno seja ε, o erro
permitido), sempre será possı́vel determinar duas retas verticais – faixa de tolerância – tais que sempre que x estiver
dentro da faixa de tolerância, f (x) estará dentro da faixa de erro permitido. Observe a veracidade desta aﬁrmação
ilustrada no diagrama a seguir. Execute a animação correspondente no texto eletrônico.
Está claro, agora, para você o signiﬁcado geométrico da frase: podemos tornar a distância | f (x) − L | tão pequena
quanto quisermos, bastando para isso considerar x suficientemente próximo de x0 ?
Repare, mais uma vez, que o valor do limite de uma função f (x) em um ponto x0 não tem necessariamente relação
com o valor desta função neste ponto. Este é um importante aspecto do estudo de limites. Uma função não precisa
estar necessariamente deﬁnida no ponto x0 para que exista o limite de f (x) em x0 , basta apenas que a função f esteja
deﬁnida em alguma vizinhança restrita de x0 , isto é, em um conjunto obtido de um intervalo aberto contendo x0 ,
excluindo-se esse ponto. Por exemplo, para estudar o lim f (x) basta que f esteja deﬁnida em intervalos abertos do
x→x0
tipo (x0 − 0.5, x0 ) e (x0 , x0 + 0.5) ou (x0 − 0.1, x0 ) e (x0 , x0 + 0.1) ou equivalentes.
Exemplo 1
Vamos usar a deﬁnição acima para provar rigorosamente que lim 3 x − 4 = 5.
x→3
Para isso é preciso descobrir um modo de achar um valor de δ (tolerância) que torne verdadeira a implicação existente
na deﬁnição de limite, qualquer que seja o valor de ε (erro permitido) dado. O método de achar δ depende da função
f e dos valores de x0 e de L.
Dado ε > 0, deve-se achar δ > 0 tal que
| (3 x − 4) − 5 | < ε se 0 < | x − 3 | < δ.
Ora,
| (3 x − 4) − 5 | = | 3 x − 9 | = 3 | x − 3 | .
Assim, se tomarmos δ = 3ε , teremos que a desigualdade |x − 3| <
ε
3
implicará que
| (3 x − 4) − 5 | = |3 x − 9| = 3 | x − 3 | <
como querı́amos.
3ε
= ε,
3
80
Cap. 6. Limite de Funções
Logo, qualquer que seja o número ε > 0 dado a priori, basta escolher δ = 3ε para obtermos as desigualdades
desejadas. Este exemplo ilustra também o fato de que o número δ é, em geral, escolhido em função do número ε.
Exercı́cio 1
Tendo em vista a relação obtida acima para o valor de δ, calcule quão perto x deve estar de 3 para que 3 x − 4
1
diste de 5 menos do que 10000
.
Exemplo 2
Vamos provar que lim 3 x2 + 5 = 17.
x→2
Para isso, dado ε > 0, precisamos achar δ > 0 tal que (3 x2 + 5) − 17 < ε toda vez que tivermos 0 < | x − 2 | < δ.
Como (3 x2 + 5) − 17 = 3 x2 − 4 = 3 | x + 2 | | x − 2 |, a idéia é provar que 3 | x + 2 | | x − 2 | pode tornar-se
tão pequeno quanto se queira, desde que se escolha | x − 2 | suﬁcientemente pequeno.
Para isso, basta observar que se | x − 2 | é suﬁcientemente pequeno, o valor de | x + 2 | = | (x − 2) + 4 | ≤ | x − 2 |+4
não pode ser muito grande.
Assim, por exemplo, se | x − 2 | < 1, então | x + 2 | < 5, portanto,
| x − 2 | < 1 ⇒ (3 x2 + 5) − 17 < 15 | x − 2 |
(∗)
Por sua vez, para tornarmos essa última expressão menor do que ε, basta escolhermos | x − 2 | <
ε
escolhendo δ como o menor dentre os dois números 1 e 15
, teremos que,
se 0 < | x − 2 | < δ, então (3 x2 + 5) − 17 < 15 | x − 2 | < ε,
ε
15 .
Assim,
como querı́amos demonstrar. Note que a primeira desigualdade vale porque δ < 1 e portanto (*) é verdadeira e a
ε
ε
última desigualdade vale porque δ < 15
, portanto, | x − 2 | < 15
.
Exercı́cio 2
Tendo em vista a demonstração anterior, calcule δ para que 3 x2 + 5 diste de 17 menos do que
1
3000 .
Exercı́cio 3
Considere f (x) = x3 . Dado ε = .0001 determine 0 < δ que satisfaça a deﬁnição de limite para x0 = 2, isto é,
determine quão próximo x deve estar de 2 para que x3 − 8 < .0001
Exercı́cio 4
Aplique a deﬁnição de limite para mostrar que:
√
√
√
√
(a) lim x2 = a2 (b) Se a > 0, lim x = a. Sugestão: Use a identidade | x − a| =
x→a
6.2.2
x→a
|x−a|
√
√ .
x+ a
Definição 2: Limites laterais
Da mesma forma, podemos deﬁnir em termos matemáticos precisos as noções de limites laterais à direita e à esquerda.
Definição 2.1: Limite lateral à direita
Suponha uma função f deﬁnida no intervalo aberto (x0 , a), a > x0 . Dizemos que o número L é o limite lateral à
direita de f (x) no ponto x0 , quando podemos fazer os valores de f (x) tão perto de L quanto quisermos, bastando para
isso escolher x, no intervalo (x0 , a), suﬁcientemente próximo de x0 .
Em linguagem matemática, temos lim + f (x) = L, se, dado qualquer número ε > 0, não importa quão pequeno
x→x0
ele seja, é sempre possı́vel achar um número δ > 0 tal que | f (x) − L | < ε para todo x que satisﬁzer as desigualdades
x0 < x < x0 + δ.
Veja a animação no texto eletrônico que ilustra essa deﬁnição.
Observamos, uma vez mais, que a função f (x) não precisa estar deﬁnida em x0 , mas apenas no intervalo (x0 , a).
Definição 2.2: Limite lateral à esquerda
Suponha uma função f deﬁnida no intervalo aberto (a, x0 ), a < x0 . Dizemos que o número L é o limite lateral à
esquerda de f (x) no ponto x0 quando podemos tornar os valores de f (x) tão perto de L quanto quisermos, bastando
para isso escolher x, no intervalo (a, x0 ), suﬁcientemente próximo de x0 .
W.Bianchini, A.R.Santos
81
Em linguagem matemática, dizemos que lim f (x) = L se, dado qualquer número ε > 0, não importa quão
x→x−
0
pequeno ele seja, é sempre possı́vel achar um número δ > 0 tal que | f (x) − L | < ε para todo x que satisﬁzer as
desigualdades x0 − δ < x < x0 .
Observe a animação correspondente no texto eletrônico.
Como no caso anterior, a função f (x) não precisa estar deﬁnida em x0 , mas apenas no intervalo (a, x0 ).
Repare que quando os dois limites laterais no ponto x0 existem e são iguais, temos que dado qualquer número
ε > 0, não importa quão pequeno ele seja, é sempre possı́vel achar um número δ > 0 tal que |f (x) − L| < ε para
todo x que satisﬁzer as desigualdades x0 < x < x0 + δ e x0 − δ < x < x0 simultaneamente, isto é, para todo x tal
que x0 − δ < x < x0 + δ. Esta última desigualdade é equivalente a | x − x0 | < δ, portanto, obtemos a deﬁnição de
lim f (x) = L. Por isso, a existência e igualdade dos limites laterais é uma condição necessária e suﬁciente para a
x→x0
existência do limite no ponto. Veja a animação no texto eletrônico que ilustra essa aﬁrmação.
Como vimos na seção anterior, quando os limites laterais num ponto x0 qualquer são diferentes, não existe o
lim f (x). Execute a animação do texto eletrônico para visualizar esta aﬁrmação.
x→x0
Exercı́cio{5
x+1 2≤x
Se f (x) =
, calcule f (2), lim+ f (x) e o lim− f (x).
−x
x<2
x→2
x→2
Exercı́cio 6
√
(a) Calcule lim+ x.
x→0 √
(b) Existe o lim x? Justiﬁque sua resposta.
x→0
6.2.3
Definição 3: Limites Infinitos
Na seção anterior, vimos também que, dada uma função y = f (x), se f (x) cresce sem limite à medida que x se aproxima
de x0 , dizemos que
lim f (x) = +∞.
x→x0
De um modo mais geral, dado qualquer número positivo N , tão grande quanto quisermos, sempre podemos achar
um número positivo δ, tal que, se
0 < | x − x0 | < δ, então f (x) > N
Observamos novamente que a função não precisa estar necessariamente deﬁnida no ponto x0 , mas apenas em um
intervalo aberto contendo x0 .
Exercı́cio 7
Calcule δ para que a função f (x) =
1
x2
seja maior que 100000 toda vez que | x | < δ.
Exercı́cio 8
Deﬁna em termos matemáticos precisos o que entendemos por lim f (x) = −∞
x→x0
Exercı́cio 9
O que signiﬁcam precisamente as expressões: lim+ f (x) = −∞ e lim− f (x) = +∞. Dê exemplo de uma função
x→x0
x→x0
que apresente esse comportamento no ponto x0 = 0 e de uma outra função que apresente este comportamento em um
ponto x0 qualquer.
6.2.4
Definição 4: Limites no infinito
Na seção anterior, vimos ainda alguns exemplos de funções y = f (x), que se aproximavam de um valor L à medida
que x crescia em valor absoluto. Em notação matemática escrevemos:
lim f (x) = L ou lim f (x) = L.
x→∞
x→−∞
Neste caso, a reta y = L é uma assı́ntota horizontal ao gráﬁco da função f .
De um modo mais geral, dado qualquer número positivo ε, tão pequeno quanto quisermos, sempre podemos achar
um número positivo N , tal que:
82
Cap. 6. Limite de Funções
| f (x) − L | < ε sempre que | x | > N .
Exercı́cio 10
Calcule N
que a função f (x) =
para
1
x para que x1 < 1000
.
6.3
1
x
diste de zero menos que
1
1000
, isto é, diga quão grande devemos considerar
Teoremas e propriedades operatórias
Nas seções anteriores vimos que, para calcular limites, não podemos nos basear, exclusivamente, em estimativas
numéricas que apenas sugerem o valor do limite e podem por vezes serem enganosas (veja exemplos desta aﬁrmação
nas atividades de laboratório) nem em aplicações diretas da deﬁnição de limite para tentar provar o que tais estimativas
sugerem, porque essas deﬁnições são muito difı́ceis para serem aplicadas comumente.
Para calcular limites com facilidade, precisamos de regras ou leis que simpliﬁquem o processo de cálculo de limites,
tornando-o mais simples. Essas regras são na realidade teoremas que são demonstrados a partir das deﬁnições rigorosas
de limite, dadas na seção anterior.
Uma vez demonstrados, podemos usar estes resultados apropriadamente para calcular limites, o que reduz esse
cálculo, como veremos a seguir, a manipulações algébricas, em geral simples.
Teorema 1: Unicidade do limite
Se lim f (x) = L1 e lim f (x) = L2 , então L1 = L2 .
x→x0
x→x0
A idéia da demonstração é supor que L1 ̸= L2 . Se a partir dessa hipótese chegarmos a uma conclusão absurda,
teremos provado que não é possı́vel que L1 ̸= L2 e, portanto, L1 = L2 .
Demonstração
2|
. Como lim f (x) = L1 , sabemos que existe um
Se L1 ̸= L2 , podemos considerar o número positivo ε = |L1 −L
2
x→x0
número δ1 tal que se 0 < | x − x0 | < δ1 , então | f (x) − L1 | < ε.
Além disso, como lim f (x) = L2 , sabemos que existe, também, um número δ2 tal que se 0 < | x − x0 | < δ2 , então
x→x0
| f (x) − L2 | < ε.
Seja δ = min(δ1 , δ2 ), isto é, seja δ o menor dentre os números δ1 e δ2 . Então |f (x) − L1 | < ε e |f (x) − L2 | < ε,
portanto,
|L1 − L2 | = |L1 − f (x) + f (x) − L2 | ≤ |L1 − f (x)| + |f (x) − L2 | < ε + ε = 2 ε.
Daı́, temos
| L1 − L2 | < | L1 − L2 |
Como o número |L1 − L2 | não pode ser estritamente menor do que ele mesmo, chegamos a um absurdo, portanto,
a hipótese que ﬁzemos (supor L1 ̸= L2 ) não pode ser verdadeira. Assim, temos necessariamente que L1 = L2 , o que
prova a unicidade do limite.
Teorema 2: Limite da função identidade
Se f (x) = x, então lim f (x) = x0 .
x→x0
Este teorema é inteiramente intuitivo e diz simplesmente que, à medida que x se aproxima de x0 , f (x) = x se
aproxima, como é óbvio, do mesmo valor. Para demonstrar, rigorosamente, este teorema, basta tomar na deﬁnição de
limite δ = ε e a conclusão segue trivialmente.
Teorema 3: Limite da função constante
Se f (x) = c, onde c é uma constante qualquer, então lim f (x) = c.
x→x0
Este é outro resultado bastante intuitivo. Se a função, independente de qual seja o valor de x, sempre assume o
mesmo valor constante c , não importa quão próximo x esteja de x0 , o valor de f , e portanto o valor do limite, será
sempre igual a c.
Usando a deﬁnição formal de limite, precisamos mostrar que, para qualquer número positivo escolhido ε, e para
qualquer valor de δ (não importa quão próximo x esteja de x0 ), se | x − x0 | < δ, então | f (x) − c | < ε.
Esta conclusão é verdadeira qualquer que seja o número positivo ε, pois a diferença f (x) − c será sempre zero.
Teorema 4: Limite da soma
W.Bianchini, A.R.Santos
83
Se lim f (x) = L e lim g(x) = M , então lim (f (x) + g(x)) = L + M .
x→x0
x→x0
x→x0
Este teorema diz, simplesmente, que se f (x) está perto de L, e se g(x) está perto de M quando x está perto de x0 ,
então f (x) + g(x) está perto de L + M quando x está perto de x0 .
Demonstração
Seja ε > 0. Como lim f (x) = L, existe um δ1 tal que
x→x0
(i ) se 0 < | x − x0 | < δ1 , então | f (x) − L | < 2ε .
Além disso, como lim g(x) = M , existe um δ2 tal que
x→x0
(ii ) se 0 < | x − x0 | < δ2 , então | g(x) − M | < 2ε .
Considere agora δ = min(δ1 , δ2 ), então, se 0 < | x − x0 | < δ, (i ) e (ii ) valem simultaneamente, e podemos concluir
que
| (f (x) + g(x)) − (L + M ) | ≤ | f (x) − L | + | g(x) − M | <
ε ε
+ < ε,
2 2
que é o resultado desejado.
Teorema 5: Limite da diferença
Se lim f (x) = L e lim g(x) = M , então lim (f (x) − g(x)) = L − M .
x→x0
x→x0
x→x0
A demonstração desse resultado é análoga à anterior. Tente demonstrá-lo.
Teorema 6: Limite do produto
Se lim f (x) = L e lim g(x) = M , então lim (f (x) g(x)) = L M .
x→x0
x→x0
x→x0
Este teorema aﬁrma, simplesmente, que podemos fazer o produto f (x) g(x) tão próximo de LM quanto quisermos,
bastando para isso escolher x suﬁcientemente próximo de x0 .
A demonstração é baseada na observação de como os erros nas medidas do comprimento e da largura de um
retângulo afetam a sua área. Suponha que queremos construir um retângulo cujo comprimento seja L e cuja largura
seja M . Conseqüentemente, sua área será L M .
Se cometermos um erro ao medirmos o comprimento deste retângulo e um outro erro ao medirmos a sua largura,
estes erros serão propagados para a área do retângulo. Veja a ﬁgura a seguir, onde o erro total cometido na medida
da área está representado por linhas pontilhadas.
M
LM
L
Como a ﬁgura sugere, o erro na área pode ser dividido em três partes. A primeira parte pode ser entendida como
o produto do erro cometido no comprimento pela a largura do retângulo original; a segunda é o produto do erro
cometido na largura pelo comprimento do retângulo original, ﬁnalmente, a terceira pode ser entendida como a área de
um outro retângulo cujas medidas dos lados são o erro cometido no comprimento e na largura do retângulo original,
respectivamente. Como é possı́vel controlar a área destes três retângulos, controlando o tamanho do erro cometido na
medida de L e M , podemos controlar o erro total cometido ao medirmos a área do retângulo original, isto é, o erro
total cometido no produto L M .
84
Cap. 6. Limite de Funções
Demonstração
Seja ε > 0 . Sabemos que existem números positivos δ1 , δ2 e δ3 tais que :
(i ) se 0 < | x − x0 | < δ1 , então |f (x) − L| < 1, o que implica |f (x)| < |L| + 1
(ii ) se | x − x0 | < δ2 , então | g(x) − M | <
ε
.
2 (|L| + 1)
(iii ) se 0 < | x − x0 | < δ3 , então | f (x) − L | <
ε
.
2 (|M | + 1)
Considere agora δ = min(δ1 , δ2 , δ3 ), então, se 0 < | x − x0 | < δ, (i ), (ii ) e (iii ) valem simultaneamente e podemos
concluir que
| (f (x) g(x)) − (L M ) | < | f (x) | | g(x) − M | + (| M | + 1) | f (x) − L |
ε ε
<
+ < ε,
2 2
o que demonstra o teorema.
Teorema 5: Limite do quociente
Se lim f (x) = L, lim g(x) = M e M ̸= 0, então lim (
x→x0
x→x0
x→x0
f (x)
L
)=
.
g(x)
M
Este teorema aﬁrma que se f (x) está próximo de L e g(x) está próximo de M quando x está próximo de x0 , então,
(x)
L
desde que M ̸= 0, o quociente fg(x)
está próximo de M
quando x está próximo de x0 .
Demonstração
Tendo em vista o teorema anterior, como
f (x)
1
= f (x)
, basta provar que
g(x)
g(x)
lim
x→x0
1
1
=
.
g(x)
M
Para isso, devemos mostrar que qualquer que seja o número positivo ε, existe um número positivo δ, tal que
1
1 | g(x) − M |
se 0 < | x − x0 | < δ, então −
< ε.
=
g(x) M | M | | g(x) |
Como lim g(x) = M , sabemos que, desde que x esteja suﬁcientemente próximo de x0 , podemos tornar a diferença
x→x0
| g(x) − M | tão pequena quanto quisermos.
A idéia, então, é mostrar que |g(x)| não pode ser muito grande desde que |g(x) − M | seja pequena .
Sejam δ1 e δ2 números positivos tais que
(i )
Para esses valores de x, temos que
2 | g(x) − M |
.
M2
se 0 < | x − x0 | < δ1 , então | g(x) − M | <
|M |
2
|M |
2 .
1
2
1
1
<
, portanto, −
< |g(x)|, o que é equivalente a
|g(x)|
|M |
g(x) M
=
2
(ii )
se 0 < | x − x0 | < δ2 , | g(x) − M | <
ε |M |
.
2
Considere agora δ = min(δ1 , δ2 ). Então, se 0 < | x − x0 | < δ, (i ) e (ii ) valem simultaneamente e podemos concluir
que
1
1 2 ε M 2
g(x) − M < 2 M 2 = ε ,
que é o resultado desejado.
W.Bianchini, A.R.Santos
85
Observe que este teorema não aﬁrma nada sobre o que acontece quando M = 0. De fato, se M = 0, qualquer coisa
pode acontecer, mesmo no mais simples dos casos.
(x)
Seja, por exemplo, f (x) = k x e g(x) = x, onde k é um número qualquer. Então fg(x)
= kxx = k para x ̸= 0 e além
f (x)
disso, o lim
= k, qualquer que seja o valor de x0 . Veja esse fato ilustrado no diagrama a seguir para k = 2 e
x→x0 g(x)
a = 0.
2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
O disco neste gráﬁco ressalta o fato de que a função não está deﬁnida neste ponto; no entanto, seu limite neste e
em todos os outros pontos é igual a k, que, nesse exemplo, foi tomado como sendo 2, mas poderia ser qualquer outro
número.
Já estudamos uma situação semelhante a esta quando tentamos calcular a declividade m da reta tangente ao
gráﬁco de uma função como o limite das declividades de retas secantes à curva y = f (x), isto é, quando calculamos
f (x) − f (x0 )
lim
.
x→x0
x − x0
Nesse caso, quando x se aproxima de x0 , tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de zero. Este
teorema não se aplica a essa situação e nada podemos aﬁrmar quanto ao valor de limites deste tipo.
Para buscar soluções para situações como estas, basta observar que o numerador e o denominador desse quociente
têm x − x0 como fator comum, e como estamos interessados no comportamento da função quando os valores de x
se aproximam de x0 , sem nunca chegar a atingir esse valor, podemos simpliﬁcar a expressão que deﬁne o quociente
dividindo numerador e denominador pelo seu fator comum e, depois desta simpliﬁcação, calcular o valor do limite.
Repare, no exemplo abaixo, que o Maple faz essa simpliﬁcação automaticamente quando traça o gráﬁco de funções
deﬁnidas por expressões deste tipo.
>
m:=x->(x^2-4)/(x-2);
m := x →
>
x2 − 4
x−2
plot(m(x),x=-4..4);
6
4
2
–4
–3
–2
0
–1
1
2
x
3
4
–2
Exercı́cio 11
Qual o limite da função acima quando x → 2?
Embora simpliﬁcações desse tipo sejam válidas e empregadas normalmente para o cálculo de limites, devemos
2
−4
sempre lembrar que as funções y = x + 2 e m = xx−2
não são iguais, pois seus domı́nios são diferentes, embora esse
fato não seja mostrado no gráﬁco acima.
Exercı́cio 12
Se lim f (x) = L, lim g(x) = 0, o que se pode aﬁrmar a respeito do lim (
x→x0
x→x0
x→x0
mento da função quociente quando x → x0 ?
f (x)
)? Nesse caso, qual o comportag(x)
Teorema 6: Teorema do Sanduı́che
Suponha que f (x) ≤ g(x) e que g(x) ≤ h(x) numa vizinhança restrita de x0 e que lim f (x) = L = lim h(x).
x→x0
Então lim g(x) = L.
x→x0
x→x0
86
Cap. 6. Limite de Funções
Este teorema é chamado Teorema do Sanduı́che, ou do Confronto, porque diz, simplesmente, que se uma função,
numa certa vizinhança de x0 onde estamos interessados em estudar o seu comportamento, está comprimida entre
outras duas que tendem ao mesmo limite L, então o seu limite nesse ponto também deve ser L. Veja a idéia geométrica
ilustrada a seguir:
0.15
0.1
0.05
–0.4 –0.3 –0.2 –0.1 0
0.1
0.2
x
0.3
0.4
–0.05
–0.1
–0.15
Demonstração
Seja ε > 0 e sejam δ1 e δ2 tais que :
(i )
se 0 < | x − x0 | < δ1 , então | f (x) − L | < ε, isto é, L − ε < f (x) < L + ε.
(ii )
se 0 < | x − x0 | < δ2 , então | h(x) − L | < ε, isto é, L − ε < h(x) < L + ε.
Dizer que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), numa vizinhança restrita de x0 , signiﬁca dizer que existe um número p tal que
(iii )
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x pertencente ao intervalo (x0 − p, x0 + p).
Seja δ = min(δ1 , δ2 , p). Então, se 0 < | x − x0 | < δ, (i ), (ii ) e (iii ) valem simultaneamente, e podemos concluir
que
L − ε < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε.
Estas últimas desigualdades são equivalentes a aﬁrmar que
| g(x) − L | < ε,
como querı́amos demonstrar.
Os resultados enunciados a seguir, são conseqüência direta dos teoremas anteriores. Deixamos suas demonstrações
como exercı́cio para o leitor.
Corolário 1: Mostre que lim xn = an .
x→a
Corolário 2: Se lim f (x) = L e C é uma constante qualquer, então
x→a
lim C f (x) = C L .
x→a
Corolário 3 Sejam a0 , a1 , a2 , . . . , an constantes quaisquer.
Se f (x) = an xn + an−1 x(n−1) + ... + a1 x + a0 , então lim f (x) = f (a).
x→a
Corolário 4 Sejam a0 , a1 , a2 , . . . , an e b0 , b1 , b2 , . . . , bn constantes quaisquer. Considere
f (x) =
g(x) =
h(x) =
an xn + an−1 x(n−1) + ... + a1 x + a0 ,
bn xn + bn−1 x(n−1) + ... + b1 x + b0 e
f (x)
.
g(x)
Prove que se a pertence ao domı́nio de h, então limx→a h(x) = h(a).
Os teoremas enunciados nesta seção transformam, na maioria dos casos, o cálculo de limites em simples cálculos
algébricos. Exemplos de aplicação dos teoremas no cálculo de limites são mostrados na próxima seção.
W.Bianchini, A.R.Santos
6.4
87
Exemplos de aplicações dos teoremas no cálculo de limites
Exemplo 1 Calcule lim x2 + 4 x + 4.
x→3
Solução Aplicando a regra da soma, temos:
lim x2 + 4 x + 4 = ( lim x2 ) + ( lim 4 x) + ( lim 4)
x→3
x→3
x→3
x→3
Pela regra do produto e da multiplicação por constante, temos que:
( lim x2 ) + ( lim 4 x) + ( lim 4) = ( lim x) ( lim x) + ( lim 4) ( lim x) + 4
x→3
x→3
x→3
x→3
x→3
x→3
x→3
Logo, concluı́mos que
lim x2 + 4 x + 4 = 32 + 4 (3) + 4 = 25
x→3
o que transforma o cálculo desse limite num simples cálculo algébrico.
2x + 5
.
x2 + 4 x + 4
Exemplo 2 Calcule lim
x→3
Solução No exemplo anterior, vimos que o lim x2 + 4 x + 4 ̸= 0, portanto, podemos aplicar a regra do quociente
x→3
para aﬁrmar que:
lim
x→3
lim 2 x + 5
2x + 5
2 (3) + 5
11
x→3
=
= 2
=
.
2
2
x + 4x + 4
3 + 4 (3) + 4
25
lim x + 4 x + 4
x→3
[
]
1
9
Exemplo 3 Calcule lim (x2 − x) 3 + (x3 + x) .
x→1
Solução
[
]
1
9
lim (x2 − x) 3 + (x3 + x)
x→1
[
] 13 [
]9
1
9
lim (x2 − x) 3 + lim (x3 + x) = lim (x2 − x) + lim (x3 + x)
x→1
x→1
x→1
.
1
[
]x→1
[
]9
1
3
9
2
3
2
3
=
lim x − lim x + lim x + lim x = (1 − 1) + (13 + 1) = 29 = 512
=
x→1
x→1
x→1
x→1
Observação Se f (x) = x2 + 4 x + 4, então f (3) = 25 e, no Exemplo 1, poderı́amos ter obtido o valor correto de
lim f (x) calculando, simplesmente, f (3). Esta mesma observação vale para os Exemplos 2 e 3. As funções dos
x→3
Exemplos 1 e 2 são polinômios e funções racionais (veja próximo capı́tulo), respectivamente e, os Corolários 3 e 4
garantem que, se f (x) é um polinômio ou uma função racional e a pertence ao domı́nio de f , então lim f (x) = f (a).
x→a
Funções para as quais vale esta propriedade são chamadas de funções contı́nuas e serão estudadas no Cap. 8.
Exemplo 4 Ache lim
x→1
x2 − 1
.
x−1
−1
Solução Seja f (x) = xx−1
. Neste caso, não podemos calcular o limite simplesmente substituindo x = 1 na
expressão que deﬁne f , pois f (1) não está deﬁnida. Nem podemos aplicar o teorema do Quociente, porque o limite do
denominador é zero. A idéia é trabalhar algebricamente com a expressão dada, fazendo algum tipo de simpliﬁcação
antes de tentar calcular o limite pedido. Assim,
2
(x + 1) (x − 1)
x2 − 1
=
.
x−1
(x − 1)
O numerador e o denominador têm o fator comum x−1. Quando x se aproxima de 1, temos que x ̸= 1, então x−1 ̸= 0.
Logo, podemos cancelar o fator comum e calcular o limite como fazemos a seguir.
lim
x→1
x2 − 1
(x + 1) (x − 1)
= lim
= lim (x + 1) = 1 + 1 = 2 .
x→1
x→1
x−1
(x − 1)
88
Cap. 6. Limite de Funções
{
x+1
π
Exemplo5 Ache o lim g(x), onde g(x) =
x→1
se
se
x ̸= 1
x=1
Solução Neste exemplo g está deﬁnida em x = 1 e g(1) = π, mas, para uma função qualquer, o valor do limite
em um ponto independe do valor da função neste ponto. Como g(x) = x + 1 para x ̸= 1,
lim g(x) = lim (x + 1) = 2.
x→1
x→1
Note que as funções dos Exemplos 4 e 5 são iguais, exceto quando x = 1, portanto, elas tendem para o mesmo limite
quando x → 1. Veja os gráﬁcos destas duas funções, mostrados a seguir.
4
4
3
3
y2
y2
1
–4
–3
–2
–1
0
1
1
2
x
–1
3
4
–4
–3
–2
–1
–1
–2
Exemplo 6 Calcule lim
h→0
Solução Seja F (h) =
Assim, temos
0
1
2
x
3
4
–2
–3
–3
–4
–4
(3 + h)2 − 9
.
h
(3+h)2 −9
.
h
Como no Exemplo 4, precisamos simpliﬁcar F (h) antes de calcular o limite.
(9 + 6 h + h2 ) − 9
6 h + h2
=
= 6 + h.
h
h
(Lembre-se de que quando h → 0 estamos considerando h ̸= 0, portanto os cálculos algébricos acima estão corretos.)
Em vista das igualdades acima, temos que
F (h) =
lim
h→0
√
Exemplo 7 Calcule lim
t→0
(3 + h)2 − 9
= lim (6 + h) = 6 .
h→0
h
t2 + 9 − 3
.
t2
Solução Não podemos aplicar o teorema do quociente imediatamente porque o limite do denominador é zero.
Aqui, o algebrismo consiste em racionalizar o numerador para tentarmos algum tipo de simpliﬁcação. Assim,
√
√
√
t2 + 9 − 3
t2 + 9 − 3
t2 + 9 + 3
(t2 + 9) − 9
1
√
√
=
·
=
=√
.
2
2
2
2
2
2
t
t
t +9+3
t ( t + 9 + 3)
t +9+3
As igualdades acima permitem concluir que
√
1
1
1
t2 + 9 − 3
1
= lim √
=
=
lim
=√
2
t→0
t→0
t2
3
+
3
6
t2 + 9 + 3
lim (t + 9) + 3
t→0
Para calcular alguns limites, é preciso calcular, separadamente, os limites laterais à esquerda e à direita. Os
teoremas da seção anterior para limites, valem, também para limites laterais. Os dois exemplos abaixo ilustram casos
onde é necessário o cálculo separado dos limites laterais.
Exemplo 8 Mostre que lim | x | = 0.
x→0
Solução Como | x | = x, para x > 0, tem-se
lim | x | = lim+ x = 0.
x→0+
Como, | x | = −x, então
x→0
lim | x | = lim− (−x) = 0.
x→0−
x→0
W.Bianchini, A.R.Santos
89
Conseqüentemente, como os limites laterais existem e são iguais, então
lim | x | = 0.
x→0
{ √
x−4
8−x
Exemplo 9 Se f (x) =
Solução Como f (x) =
√
se
se
x>4
. Determine, se existir, lim f (x).
x<4
x→4
x − 4, para x > 4, temos que
√
√
lim+ f (x) = lim+ x − 4 = 4 − 4 = 0.
x→4
x→4
Como f (x) = 8 − x, para x < 4 temos que
lim f (x) = lim+ (8 − x) = 4.
x→4−
x→4
Como os limites laterais são diferentes, não existe lim f (x).
x→4
6.5
Atividades de laboratório
Usando um computador e o Maple, faça as atividades propostas no arquivo lab2.mws da versão eletrônica deste texto.
6.6
Exercı́cios
1. Se lim f (x) = 4, lim g(x) = −2 e lim h(x) = 0, calcule os seguintes limites:
x→a
x→a
x→a
(a) lim (f (x) − g(x))
(c) lim (g(x))2
x→a
(b) lim
x→a
(e) lim
x→a
f (x)
g(x)
(d) lim
x→a
x→a
1
.
(f (x) + g(x))2
h(x)
f (x)
x2 + x − 6
= x + 3?
x−2
(b) Tendo em vista o item anterior, explique por que a identidade
2. (a) O que está errado na identidade
x2 + x − 6
= lim (x + 3)
x→2
x→2
x−2
lim
está correta.
3. Se lim (f (x) + g(x)) = 2 e lim (f (x) − g(x)) = 1, calcule lim (f (x) g(x)).
x→a
6.7
x→a
x→a
Problemas propostos
1. Nos ı́tens a seguir, aplique as propriedades operatórias de limites para calcular os limites que existam:
x2 − 9
x−4
(a) lim 5 x4 − 4 x3 + 2 x − 14
(i) lim √
(e) lim
x→0
x→3 x − 3
x→4
x−2
1
1
(b) lim 2 x − x4
−
x2 + x − 2
y
3
x→−1
(j) lim 2
(f) lim
x→1 x − 4 x + 3
y→3 y − 3
(c) lim (x2 − 2)5
√
x→−1
(x − 2)2
t+8
(k) lim 4
(g) lim
x+1
x→2 x − 16
t→−4
25 − t2
(d) lim 2
√
√
√
x→1 x − 2 x − 2
1+x− 1−x
x+4−2
(l) lim
(h) lim
x→0
x
x→0
x
2. Calcule os seguintes limites:
x
(a) lim−
x→0 2 − | x |
(b) lim+
x→0
x
2 − |x|
90
Cap. 6. Limite de Funções
x
(c) Tendo em vista os dois itens anteriores, o que se pode aﬁrmar a respeito do lim
?
x→0 2 − | x |
{
√
2−x
f (x) = x2 se x ≤ 0
(d) lim− 9 − x2
(e) lim
(f) lim f (x), onde
f (x) = −x se x > 0
x→2 | x − 2 |
x→0
x→3
3. Para cada uma das seguintes funções, ache lim
x→3
(a) f (x) = 2 x2
(b) f (x) = 3 x2
(e)
(f)
(g)
(h)
2
(c) f (x) = x2
(d) f (x) = m x, (m=constante)
f (x) − f (3)
.
x−3
f (x) = 2 x2 + 3 x + 1
f (x) = x1 , para x ̸= 0
f (x) = x3
O que representa geometricamente esse limite?
4. Para as funções do problema anterior, ache lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
para um ponto x0 qualquer.
x − x0
5. No capı́tulo sobre retas tangentes, vimos, geometricamente, que não existe reta tangente à curva y = | x | no
ponto x0 = 0. Usando a deﬁnição de declividade de reta tangente e a teoria dos limites desenvolvida nesse
capı́tulo, prove analiticamente esta aﬁrmação.
6. (a) Um tanque contém 5000 litros de água pura. Água salobra contendo 30 g de sal por litro de água é bombeada
para o tanque, a uma taxa de 25 l/min. Mostre que a concentração de sal no tanque após t minutos (em
30 t
g/l) é dada por C(t) =
.
200 + t
(b) O que acontece com a concentração quando t → ∞.
7. Ache lim f (x) se
x→∞
4x − 1
4 x2 + 3 x
< f (x) <
x
x2
para todo x > 5.
8. Suponha que | f (x) | ≤ g(x) para todo x. Se lim g(x) = 0, calcule lim f (x).
x→a
x→a
9. O gráﬁco de uma função y = f (x) tem uma assı́ntota inclinada de equação y = m x + b se lim (f (x)−(mx +b)) =
x→∞
0 ou se lim (f (x) − (mx + b)) = 0. (Os valores de m e b podem ser diferentes em cada caso.)
x→−∞
(a) Prove que a reta y = x é uma assı́ntota ao gráﬁco da função y = x + x1 .
1
2
(b) O gráﬁco da função f (x) = x( 3 ) (1−x)( 3 ) tem uma assı́ntota inclinada. Encontre a equação dessa assı́ntota.
f (x)
e b = lim (f (x) − mx ). Analogamente, se calcula m
Sugestão No caso em que x → +∞, m = lim
x→∞
x→∞
x
e b no caso em que x → −∞.
(c) Tendo em vista a deﬁnição de assı́ntota inclinada, por que as expressões acima para m e b são válidas?
10. Dizemos que uma função f (x) é limitada quando existe um número M tal que | f (x) | ≤ M , para todo x no
domı́nio de f . Suponha que f é limitada. Mostre que:
(a) lim x f (x) = 0
x→0
(b) lim g(x) = 0, então lim g(x) f (x) = 0. Dê um contra-exemplo para mostrar que, se f não é limitada, essa
x→a
x→a
conclusão não vale.
(c) Mostre que se lim f (x) = 0, então lim f (x) sen(x) = 0.
x→a
x→a
11. Suponha que lim f (x) = f (a) > 0. Prove que existe uma vizinhança de a na qual f (x) > 0, isto é, prove que
x→a
existe um δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x no intervalo (a − δ, a + δ).
{
0, para x irracional
12. Considere a função f (x) deﬁnida por f (x) =
.
1, para x racional
Explique por que qualquer que seja o número real a, o lim f (x) não existe.
x→a
W.Bianchini, A.R.Santos
91
13. (a) Se lim f (x) e lim g(x) não existem, pode existir o lim (f (x) + g(x))? E o lim (f (x) g(x))?
x→a
x→a
x→a
x→a
(b) Se lim f (x) e lim (f (x) + g(x)) existem, o que se pode aﬁrmar a respeito do lim g(x)?
x→a
x→a
x→a
(c) Se lim f (x) existe e lim g(x) não existe, pode existir o lim (f (x) + g(x))?
x→a
x→a
x→a
(d) Se lim f (x) e lim (f (x) g(x)) existem, temos necessariamente que o lim g(x) existe?
x→a
6.8
x→a
x→a
Exercı́cios adicionais
1. Calcule os limites abaixo:
√
2 x2 + 3 x + 2
x→2
√ 6 − 4x
x−1
lim
x→1 x − 1
√
1− 1−x
lim
x→0
x
4 − x2
lim
x→−2 2 + x
√
√
2x − x + 1
lim
x→1
√ x−1
2z + 1 − 3
√
lim √
z→4
z−2− 2
x3 + 2 x2 − 1
lim
x→−1 x2 − 2 x − 3
4 r3 − 3 r + 1
lim1
3
2
r→ 2 4 r − 4 r + r
(a) lim
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
√
√
x x−x+ x−1
x→1
x−1
lim [x3 − 5 x2 + 7]
x→∞
x
lim
, k ̸= 0
x→−∞ k
√
x2 − 2 x + 2
lim
x→∞
√ x+1
x2 − 2 x + 2
lim
x→−∞
x+1
1
2
(x + 1)( 3 )
lim
x→∞
x+1
1
(x2 + 1)( 3 )
lim
x→−∞
x+1
√
y2 + 3 y + 2 − y
y→∞
√
lim z − z 2 − 4
z→∞
√
√
√
x+ x+ x
lim
x→∞
x
1
1
−
2
lim x x
x→∞ 13 − 14
x
x
(u3 + 2 u − 1)5
lim
u→−∞ (u2 + u − 6)4
√
(t2 + 1)5 ( t − 1)3 (t2 + 1)
lim
t→∞
(2 t2 − 5)2
y
1
lim [
− 2
]
y→∞ y + 1
y −1
(i) lim
(p) lim
(j)
(q)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
(r)
(s)
(t)
(u)
(v)
2. Calcule os seguintes limites, caso existam:
√
x2 + a2 − a
(a) lim √
, com a, b > 0
x→0
x2 + b2 − b
√
2 (h2 − 8) + h
(b) lim
h→−4
h+4
√
√
x2 + 1 − x
√
(c) lim
x→∞
x
1
3
−
)
(d) lim (
x→1 1 − x
1 − x3
3. Calcule os seguintes limites:
(a) lim √
x→3+
(b) lim
x→5
√
x3 − 27
−
x2 − 9
x→3
3
(d) lim −
x→−2
(x + 2)2
x
(c) lim
x2 − 9
4
x−5
4. Em cada um dos itens
{
3x − 2
(a) f (x) = 2
4x + 1
(e) lim
x→0−
x + x1
1 + x2
abaixo, calcule lim f (x) e lim f (x), caso estes limites existam.
x→a+
1<x
x = 1,
x<1
x−1
),
(c) f (x) = | x − 2 | ( x−2
a=1
x→a−
(b) f (x) =
{
sen(x)
cos(x)
π
4
<x
,
x < π4
a=
π
4
a=2
(d) Em quais dos ı́tens anteriores existe o lim f (x)? (Justiﬁque a sua resposta.) Neste caso, qual o valor deste
x→a
limite?
5. Em cada um dos ı́tens abaixo, determine as constantes a e b para que as aﬁrmações sejam verdadeiras:
x2 + 1
a x3 + b x2 + x + 1
(a) lim (
− (a x + b)) = 0
(b) lim
=1
x→∞ x + 1
x→−∞
3 x2 − x + 2
92
Cap. 6. Limite de Funções
6. Encontre as assı́ntotas horizontais e verticais ao gráﬁco das funções abaixo:
x2
(a) f (x) = 4−x
(c) h(x) = √x22 −4
(e) f (x) =
2
(b) f (x) =
7. Seja f (x) =
2
√4 x
x2 −2
3x
(d) f (x) = − √x2 +7
x+10
(f) f (x) =
1
x2 +5 x+6
1
( 2+x
− 12 ) x1
(x−1)(2 x+2)
.
x−1
(a) Encontre o lim f (x).
x→1
(b) Para cada um dos valores de ε dados abaixo, indique um valor de δ que satisfaça a deﬁnição formal de
limite:
i. ε = 1
ii. ε = 0, 4
iii. ε = 0, 1
{ 1,
8. Seja f (x) =
x≤1
3, 1 < x < 2 .
5, 2 ≤ x
(a) Indique, se existir, o valor de lim f (x), quando a = 1; a = 1,00001; a = 1,999998; a = 2.
x→a
(b) Nos pontos onde existir o lim f (x), para qualquer ε > 0, indique um valor de δ > 0 que satisfaça a deﬁnição
x→a
formal de limite.
9. Seja L = lim f (x) e ε > 0. Em cada um dos ı́tens abaixo, ache um δ tal que | f (x) − L | < ε, para todo x que
x→1
satisfaça 0 < | x − 1 | < δ.
(a) f (x) = x4
(b) f (x) =
6.9
1
x
(c) f (x) = x4 +
1
x
Um pouco de história: Cauchy, Weierstrass e a teoria dos limites
Ao estabelecimento das bases do Cálculo, por Newton e Leibniz no século XVII, seguiu-se um perı́odo de livre desenvolvimento do assunto no século XVIII.
Matemáticos como os irmãos Bernoulli e Euler foram os primeiros a vislumbrar o poder do Cálculo e explorar
as conseqüências dessa nova e maravilhosa teoria matemática, sem, no entanto, grandes preocupações com o rigor
matemático nas suas demonstrações.
O século XIX, ao contrário, ﬁcou conhecido como a Era do Rigor Matemático. Houve um movimento de retorno aos
fundamentos de cada assunto para que os conceitos, agora, fossem baseados em deﬁnições cuidadosas e os resultados
obtidos provados rigorosamente.
À frente deste movimento estava o matemático francês Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), que era engenheiro
militar antes de se tornar professor de matemática em Paris.
Cauchy trabalhou com o conceito de limite, cuja idéia básica havia sido desenvolvida por Newton, tornando-a mais
precisa. Sua deﬁnição de limite era mais ou menos assim:
Quando sucessivos valores atribuı́dos a uma variável se aproximam indefinidamente de um valor fixo e, no fim, diferem deste
valor fixo por um valor tão pequeno quanto se queira, este último valor é chamado o limite de todos os outros.
Usando esta deﬁnição em demonstrações e exemplos, Cauchy geralmente usava desigualdades envolvendo epsilons
e deltas análogas àquelas que usamos neste capı́tulo. Uma tı́pica prova de Cauchy começava assim:
chame de ε e δ dois números muito pequenos ....
Ele usava a letra grega ε em razão da analogia com a palavra francesa “erreur” (erro).
Mais tarde, o matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) estabeleceu a deﬁnição de limite exatamente como
a que empregamos hoje.
6.10
Para você meditar: Do nada à criação do universo
Desde o primeiro grau sabemos que 0, 9999 · · · = 1, e nos livros didáticos, em geral, aparece a seguinte demonstração:
Seja x = 0, 999 · · ·, então 10 x = 9, 999 · · ·.
Daı́ temos que 10 x − x = 9 ⇒ x = 1.
W.Bianchini, A.R.Santos
93
Este mesmo raciocı́nio é empregado no segundo grau para deduzir a fórmula para a soma dos termos de uma PG
inﬁnita de razão menor que 1 do modo descrito a seguir.
n
Seja S igual a soma dos termos de uma PG cujo termo geral é dado por an = ( 12 ) . Então
S =1+
1 1 1
+ + + ....
2 4 8
Daı́ temos que
S
1 1 1
1
= + + +
+ ....
2
2 4 8 16
Logo,
S
= 1 ⇒ S = 2.
2
Vamos agora aplicar este mesmo raciocı́nio para calcular a soma dos termos da PG inﬁnita cujo termo geral é dado
por an = 2n . Seja, então,
S = 1 + 2 + 4 + ....
S−
Assim, temos que
2 S = 2 + 4 + 8 + . . . ⇒ S − 2 S = 1 ⇒ S = −1.
Ou seja, acabamos de “demonstrar” que 1 + 2 + 4 + . . . = −1
Podemos chegar a outros absurdos semelhantes continuando a usar este mesmo raciocı́nio. Considere, por exemplo,
S = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . .. Então temos que −S = −1 + 1 − 1 + 1 − . . ..
Assim, obtemos que
S = 1 −1 +1
−(−S) =
+1 −1
−1 . . .
+1 −1 . . .
Daı́ vem que 2 S = 1 ⇒ S = 12 .
1
Portanto, acabamos de provar que 0 + 0 + 0 + . . . = , pois, agrupando convenientemente os termos da soma S,
2
podemos obter também que
S = (1 − 1) + (1 − 1) + . . . = 0.
Esse resultado foi muito usado por teólogos em meados do século XVII para provar que alguma coisa poderia ser
criada a partir do nada e que portanto a criação do Universo (a partir do nada) era uma possibilidade cientiﬁcamente
viável !!!!
• Explique por que o raciocı́nio nos dois primeiros exemplos está correto e por que não pode ser empregado nos
dois últimos casos.
∑n
−i
Sugestão O sı́mbolo 0, 9999 · · · representa o limite da seqüência Sn =
i=1 ai , onde ai = (9) (10) , para
i = 1, 2, 3 . . ., e a soma S = 1 − 1 + 1 − 1 + . . . representa o lim Sn , onde S1 = 1, S2 = 1 − 1, S3 = 1 − 1 + 1,
n→∞
e assim por diante.
6.11
Projetos
6.11.1
O caso do povo contra a Espertobrás
A Espertobrás Ltda., companhia especializada no tratamento de resı́duos poluentes, derramou, acidentalmente, uma
grande quantidade do Agente Oleoso na Baı́a Bonita.
Feitas medições após o acidente, concluiu-se que a concentração do Agente Oleoso nas águas da baı́a era de 10 ppm
(partes por milhão).
Na baı́a existem manguezais que, por sua ﬂora e fauna caracterı́sticas, são considerados zonas de proteção ambiental.
Infelizmente, não é possı́vel remover por meios mecânicos o Agente Oleoso que polui os manguezais: corre-se o
risco de causar danos ainda maiores ao ecossistema local.
Além disso, a pesca na baı́a constitui o único meio de sobrevivência para diversas colônias de pescadores que vivem
ao seu redor. Devido à contaminação dos peixes pelo Agente Oleoso, a pesca na baı́a foi proibida.
Numa tentativa de ressarcir, em parte, os danos causados ao meio ambiente e o prejuı́zo sofrido pelos pescadores,
moveu-se uma ação popular contra a Espertobrás para o estabelecimento de uma multa a ser investida em Programas
de Despoluição da baı́a e em auxı́lio às famı́lias desempregadas.
94
Cap. 6. Limite de Funções
Após uma cuidadosa análise da situação, cientistas ambientalistas, garantiram que a baı́a tem uma capacidade
de se autodepurar a uma taxa de 20% ao ano. Baseando-se nesta hipótese, estabeleceram, então, o seguinte modelo
matemático para a concentração do Agente Oleoso ao longo do tempo:
p(1)
= 10
p(n + 1) = 0, 8 p(n)
(Este é um exemplo de um sistema dinâmico discreto.)
A partir deste modelo, os cientistas chegaram às seguintes previsões:
Ano
1
2
3
4
5
P oluente
(ppm)
10
8
6, 4
5, 12
4, 10
Ano
P oluente
(ppm)
3, 28
2, 62
2, 09
1, 68
1, 34
6
7
8
9
10
Ano P oluente
(ppm)
11
1, 07
12
0, 86
13
0, 65
14
0, 55
15
0, 44
Ano
16
17
18
19
20
P oluente
(ppm)
0, 35
0, 28
0, 23
0, 18
0, 14
Veja estes dados mostrados no gráﬁco a seguir.
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
De posse destes dados, os advogados da Espertobrás Ltda, em defesa do seu cliente, alegaram junto ao tribunal
que não houve um dano real ao meio ambiente provocado pelo derramamento do Agente Oleoso na baı́a, porque ao
ﬁnal de algum tempo o nı́vel de poluição da baı́a retornaria ao seu padrão inicial. Para fundamentar esta linha de
argumentação, usaram a fórmula
lim p(n) = 0,
n→∞
explicando que esta fórmula traduzia em termos matemáticos precisos o que aconteceria com a concentração do Agente
Oleoso ao longo do tempo. Além disso, explicaram também que a fórmula acima signiﬁca, matematicamente, que após
um certo tempo a concentração do Agente Oleoso ﬁcará muito próxima de zero.
O promotor da ação achou que havia alguma coisa errada nesta história, “matematicamente demonstrada“, mas
não sabia como contestar os argumentos matemáticos apresentados. Felizmente, uma de suas assistentes, que tinha
estudado Cálculo na UFRJ e se lembrava das aulas sobre limites, chamou atenção para o verdadeiro signiﬁcado
matemático da expressão lim p(n) = 0.
n→∞
A assistente contra-argumentou que, embora depois de muitos anos a concentração do Agente Oleoso realmente se
aproximaria de zero, os peixes e o restante da fauna e da ﬂora aquáticas estariam contaminados e impróprios para o
consumo. Por este motivo a pesca na baı́a seria proibida até que a concentração do Agente Oleoso ﬁque abaixo de 2
ppm. Para fundamentar seu raciocı́nio apresentou o seguinte gráﬁco, ilustrativo da situação descrita:
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
W.Bianchini, A.R.Santos
95
Assim, pelos dados apresentados pelos ambientalistas e pelo gráﬁco acima, ela concluiu que transcorreriam oito
longos anos até que a baı́a pudesse ser liberada para a pesca. Propôs, então que fosse cobrada da Espertobrás uma
multa de 10 milhões de reais por cada ano em que a pesca estivesse proibida. Pelos dados apresentados, a multa total
devida seria de 80 milhões de reais.
Além disso, a assistente da promotoria aﬁrmou que a interpretação matemática dada pelos advogados da Espertobrás estava correta mas era apenas uma pequena parte da história. O signiﬁcado mais preciso da expressão
lim p(n) = 0 é que para qualquer nı́vel de concentração C do Agente Oleoso haverá um tempo T , que pode estar
n→∞
muito, muito longe no futuro, tal que para todo t ≥ T , isto é, para qualquer tempo posterior, teremos que | p(n) | < C.
Dessa maneira, para que a pesca pudesse ser liberada terı́amos que ter C = 2 ppm e, neste caso, T = 9 anos.
Sua explicação foi ovacionada pela platéia. O promotor então argumentou que, embora o nı́vel de 2 ppm fosse
adequado para a liberação da pesca na baı́a, a fauna e a ﬂora, especialmente dos manguezais, só se recuperariam
completamente quando o nı́vel de concentração do Agente Oleoso ﬁcasse abaixo de 0,5 ppm e apresentou o gráﬁco a
seguir:
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
concluindo, então, que este nı́vel só seria atingido quando t ≥ 14.
Tendo em vista os argumentos apresentados por ambas as partes, o juiz condenou a Espertobrás a pagar uma
multa de 140 milhões de reais (e sem desconto!).
1. Nos itens abaixo, determine quanto tempo deveremos esperar até que a concentração de poluentes ﬁque abaixo
do nı́vel indicado.
(a) A concentração atual é de 15 ppm e cai a uma taxa de 30% ao ano. O nı́vel tolerável de poluição é de 0,5
ppm.
(b) A concentração atual é de 15ppm e cai a uma taxa de 10% ao ano. O nı́vel tolerável de poluição é de 0,1
ppm.
2. No julgamento acima, apesar de todos os interessados terem concordado com a multa estipulada, muitos especialistas discordaram do nı́vel aceitável de poluição. Para cada um dos especialistas consultados este nı́vel seria
de:
Para
Para
Para
Para
o
o
o
o
Professor
Professor
Professor
Professor
A. Sim Tabom:
E. Justo:
Q. Calamidade:
Q. Horror:
12 ppm
3 ppm
2 ppm
1 ppm
Calcule a multa que a Espertobrás deveria pagar levando em conta a opinião de cada um dos professores
consultados.
3. Ainda em relação ao julgamento acima, os advogados da Espertobrás apelaram da sentença alegando que a
baı́a já apresentava um certo nı́vel de poluição antes do derramamento do Agente Oleoso. Supondo que a
concentração de agentes poluidores na baı́a é normalmente de 0,1 ppm, os ambientalistas obtiveram o seguinte
modelo matemático para prever a concentração de poluentes ao longo do tempo
p(1) = 10
p(n + 1) = 0, 1 + 0, 8 (p(n) − 0, 1)
Este modelo, em vez de levar em conta a quantidade de poluição da baı́a, estima a diferença entre o nı́vel de
poluição atual e o nı́vel de poluição natural 0,1. Em outras palavras, se o nı́vel aceitável é C, a Espertobrás será
multada por cada ano no qual | p(n) − 0, 1 | ≥ C. Levando em conta este modelo, nos itens abaixo, determine
por quantos anos a Espertobrás deverá ser multada se
96
Cap. 6. Limite de Funções
(a) O nı́vel tolerado é de 0,05 ppm
(b) O nı́vel tolerado é de 0,01 ppm
4. A Cia. Água Pura vende água mineral. A demanda por seu produto é tão grande que o gerente precisou adquirir
10 milhões de litros de água de outro fornecedor. Infelizmente, a água que ele comprou estava contaminada por
coliformes fecais com uma concentração de 10 ppm. Água se torna imprópria para o consumo se a concentração
de coliformes fecais é superior a 2 ppm. Para não ter prejuı́zo, o gerente resolveu diluir a água adquirida com
sua própria água pura. Que quantidade de água pura ele deve adicionar à água contaminada para que a mistura
se torne própria para o consumo?
6.11.2
Seqüência de Fibonacci
Em 1202, o matemático italiano Leonardo Pisano (1170-1230), conhecido como Fibonacci (ﬁlho de Bonaccio), famoso
por ter introduzido os algarismos arábicos na Europa, formulou e resolveu o problema descrito a seguir.
“Os coelhos se reproduzem rapidamente. Admitamos que um par de coelhos adultos produza um casal de coelhos
jovens todo mês, e que os coelhos recém-nascidos se tornem adultos em dois meses e produzam, por sua vez, nessa
época, um outro casal de coelhos. Começando com um casal jovem, de que tamanho estará a colônia após o primeiro,
segundo, terceiro,.... meses?”
No ﬁnal do primeiro mês há um par de coelhos, no ﬁnal do segundo mês existe ainda um único par, no ﬁnal do
terceiro mês existem 2 pares, e assim por diante.
Seja an o número de casais de coelhos no ﬁnal do enésimo mês. Então, temos a seguinte sequência: a1 = 1 , a2 = 1
, a3 = 2 ..... Esta é a famosa seqüência de Fibonacci.
1. Liste os primeiros sete termos da seqüência de Fibonacci.
2. Como podemos relacionar an+2 a an e an+1 , para n = 1; para n = 2 ; para n = 3?
3. Deﬁna an+2 em termos de an e an+1 .
(Relações desse tipo, onde o valor de an é determinado em função dos termos precedentes, é chamada, em
matemática, fórmula de recursão.)
4. Use o comando abaixo, após substituir os pontos de interrogação pelo valor que você achou para an+2 , para
achar a solução desse problema.
> rsolve({a(1)=1,a(2)=1,a(n+2)=??},{a(n)});
5. Quantos pares de coelhos existem ao ﬁnal do décimo segundo mês?
6. Mostre que a soma dos n primeiros termos de uma sequência de Fibonacci é dada pela fórmula: a1 + a2 + ... +
an = an+2 − 1.
onde os ak ’s são os termos da seqüência de Fibonacci descrita nos itens
7. Considere agora a seqüência rk = aak+1
k
anteriores. Esta sequência representa a taxa de crescimento do número de coelhos entre o k -ésimo mês e o (k +1)ésimo mês. Calcule os primeiros oito termos dessa seqüência. O que esses números parecem sugerir quanto a
taxa de crescimento de uma colônia de coelhos desse tipo ao longo do tempo?
8. Mostre que rk =
1
rk−1
+ 1.
9. Use a relação anterior para provar que se lim rk = r, então temos que r é a solução da equação b2 − b − 1 = 0,
k→∞
que tem uma única raiz positiva.
Sugestão: Seja ck = rk − r, então lim ck = 0. Escreva r em função de ck usando a relação obtida no item
k→∞
anterior.
10. Considere a seqüência das seguintes frações 1 ,
seqüência
1
1
1
r1 , r2 , r3 ,
1
1
1
1+1 , 1+ 1+1
,
1
1+
1
1+
, etc. Mostre que esta seqüência é igual à
1
1+1
etc.
AB
= AC
11. Divida um segmento de reta AB em um ponto C tal que AC
CB . Esta divisão é chamada seção áurea ou
AB
divisão em média e extrema razão. A razão AC é igual ao número r.
Observação Acima demonstramos que este número é irracional e algébrico, isto é, é raiz de uma equação
algébrica de coeﬁcientes racionais. Este número desempenha um importante papel na geometria e na estética.
W.Bianchini, A.R.Santos
97
O retângulo de lados AB e AC chama-se retângulo áureo e tem a seguinte propriedade: se dele retirarmos um
quadrado de lado AC, o retângulo restante será semelhante ao retângulo original. Este tipo de retângulo tem
sido considerado por arquitetos e artistas como o retângulo de melhores proporções. Exemplos do uso desse tipo
de retângulo na arquitetura são encontrados desde a antiguidade até os nossos dias. Você é capaz de encontrar
alguns desses exemplos?
12. Seja l10 o comprimento do lado do decágono regular inscrito em um cı́rculo de raio r. Prove que l10 divide r em
média e extrema razão.
6.11.3
Definindo e estimando o número π
Por meio de medições, desde a antiguidade já era bem conhecido, o fato de ser constante a razão Cd , onde C denota
o comprimento de uma circunferência e d o seu diâmetro. Notaremos esta razão com a letra grega π. Desse modo, o
número π = Cd está bem deﬁnido.
Os babilônios e antigos hebreus usavam o número três para estimar esta razão. No entanto, quando os gregos, da
época de Arquimedes (240 A.C.), começaram a construir máquinas com engrenagens circulares, surgiu a necessidade
de se obter uma estimativa melhor para π.
O método usado por Arquimedes para resolver este problema, ilustrado na animação abaixo, se baseia na observação
de que os perı́metros dos polı́gonos regulares de mesmo número de lados, inscritos e circunscritos a uma circunferência
de diâmetro unitário, podem ser usados como aproximações, por falta e por excesso, respectivamente, para o número
π . Esta aproximação será cada vez melhor à medida que aumentarmos o número de lados dos polı́gonos considerados
para este cálculo. Veja a animação no texto eletrônico.
O objetivo desse projeto é provar a existência do número π e usar a idéia de Arquimedes para estimar o seu valor.
É possı́vel construir polı́gonos regulares inscritos numa circunferência qualquer, por um processo recursivo. Seja
n um número natural maior ou igual a 2. O polı́gono de 2(n+1) lados é obtido a partir do polı́gono de 2n lados por
uma divisão ao meio dos ângulos formados pelos raios que passam pelos seus vértices. Veja a ﬁgura a seguir, onde
construı́mos, por esse processo, um octógono regular a partir do quadrado , isto é, passamos do polı́gono de 22 lados
para o polı́gono de 23 lados.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
–1–0.8
–0.4
–0.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1
–0.4
–0.6
–0.8
–1
Observe que, à medida que n cresce, a diferença entre o apótema dos polı́gonos inscritos, assim construı́dos, e o
raio da circunferência torna-se arbitrariamente pequena.
Do mesmo modo é possı́vel obter um polı́gono regular de 2(n+1) lados, circunscrito a uma circunferência, a partir do
polı́gono de 2n lados tomando-se como um novo ponto de tangência a interseção da bissetriz do ângulo central formado
pelos raios que passam pelos pontos de tangência de dois lados adjacentes com a circunferência, como é mostrado na
ﬁgura a seguir.
98
Cap. 6. Limite de Funções
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
–1 –0.6
–0.2
–0.4
–0.6
–0.8
–1
0.20.40.60.8 1 1.21.4
Sejam an o apótema do polı́gono regular de 2n lados inscrito numa circunferência de raio R e pn o seu perı́metro,
e seja Pn o perı́metro do polı́gono regular de 2n lados circunscrito a mesma circunferência.
1. Prove que pn < pn+1 qualquer que seja n natural maior ou igual a 2.
2. Prove que Pn+1 < Pn qualquer que seja n natural maior ou igual a 2.
3. Use os dois itens anteriores para concluir que pn é uma seqüência crescente e Pn é decrescente.
4. Mostre, por semelhança de triângulos, que pn < Pn qualquer que seja n natural maior ou igual a 2 (veja ﬁgura
a seguir). Daı́, conclua que pn < P4 .
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
–1
–0.6
0 0.20.40.60.8 1
–0.2
–0.4
–0.6
–0.8
–1
–1.2
Como pn é uma seqüência crescente e limitada, existe um número C tal que C = lim pn . Vamos deﬁnir o
n→∞
comprimento da circunferência como sendo este número C. Assim, podemos tornar a diferença entre pn e C tão
pequena quanto quisermos, bastando para isso escolher n suﬁcientemente grande.
n)
5. Mostre que Pn − pn = Pn (R−a
, e daı́, usando o fato de que Pn < P4 qualquer que seja n natural maior do que
R
2, conclua que podemos tornar a diferença entre Pn e pn arbitrariamente pequena, bastando para isso considerar
n suﬁcientemente grande.
6. Use o fato acima para mostrar que lim Pn = C.
n→∞
7. Sejam duas circunferências de raios a e b e comprimentos C a e C b , respectivamente. Usando semelhança de
a
b
a
b
triângulos, prove que pna = pnb e Pan = Pbn onde, como anteriormente, pn a e pn b ( Pn a e Pn b ) denotam os
perı́metros dos polı́gonos regulares de 2n lados inscritos nas (circunscritos às) circunferências de raios a e b,
respectivamente.
a
b
C
8. Use os itens anteriores e a unicidade do limite para provar C
2a = 2b.
Com isto demonstramos que a razão entre o comprimento C de uma circunferência de raio R qualquer e o seu
diâmetro é constante. Chamando essa razão de π, temos que C = 2 π R ou, equivalentemente, π = 2CR .
9. Considere a circunferência de raio 12 . Deduza uma fórmula para pn e outra para Pn , em função do ângulo central
da circunferência formado pelos raios que ligam dois vértices consecutivos dos polı́gonos e use-a para estimar o
valor de π, com erro menor do que 0, 01.
223
Arquimedes calculou para π um valor entre 22
7 e 71 . Os hindus e árabes (450 D.C.) chegaram ao valor de 3,1416
e Vieta (1593), trabalhando com polı́gonos de 393 lados, chegou a um valor entre 3,1415926537 e 3,1415926535.
Resultados mais precisos foram obtidos nos séculos XVII e XVIII usando-se a teoria das séries inﬁnitas.