Capítulo 3
3.1 Modelo Molecular de um Gás Ideal
3.2 Capacidade Calorífica Molar de um Gás Ideal
3.3 Processos Adiabáticos para um Gás Ideal
Ludwing Boltzmann
(1844-1906)
1
3.1 Modelo Molecular de um Gás Ideal
Dum ponto de vista macroscópico, a representação matemática do modelo do
gás ideal é a lei do gás ideal:
PV  nRT
As propriedades macroscópicas podem ser compreendidas
com base no que está acontecendo na escala atómica
Examinaremos também a lei do gás ideal em termos do
comportamento das moléculas individuais que formam o gás
Modelo estrutural de um gás mantido num recipiente
•
O número de moléculas no gás é muito grande e a separação média entre as
moléculas é grande quando comparada com suas dimensões
•
As moléculas obedecem às leis do movimento de Newton, mas como um todo
movem-se aleatoriamente
•
As moléculas interagem somente por meio de forças de curto alcance durante
colisões elásticas
• As moléculas colidem elasticamente com as paredes do recipiente
•
O gás é puro, o que significa que todas as suas partículas são
idênticas
2
Interpretação Molecular da Pressão de um Gás Ideal
Uma das moléculas de um gás ideal, de massa m move -se numa caixa cúbica de lado d,
com uma velocidade vxi na direcção do eixo x (i refere-se a partícula i)
A componente pxi do momento da molécula é mvxi antes da colisão,
a variação no momento da molécula na direcção x é
p xi  momento linear final – momento linear inicial
pxi  mvxi  (mvxi )  2mvxi
t 
O intervalo de tempo entre duas
colisões com a mesma parede
Pelo Teorema impulso – momento:
2d
v xi
Fi t  pxi  2mvxi
Onde Fi é a força da parede sobre a molécula
 2mvxi  2mvxi  mvxi2
Fi 


t
2d / vxi
d
Pela terceira lei de Newton a componente da força que a molécula exerce sobre a parede é
  m vxi2  m vxi2
 
Fi, sobre a parede   Fi  
d
 d 
3
Considerando as N moléculas do gás ideal no recipiente de volume V
A força média total F exercida sobre a parede do recipiente pelo gás
m vxi2 m N 2
F 
  v xi
d
d i 1
i 1
N
A força constante, F, sobre a
parede devido às colisões
moleculares tem o valor
m N 2
F   v xi
d i 1
N
v x2 
v
i 1
N
2
xi

m
F  N v x2
d
A força total sobre a parede é
Pelo teorema de Pitágoras:
vi2  vxi2  vyi2  vzi2
e
m  v 2
F N
d  3
 N  mv 2 
 

 3 d 



Obtemos a pressão exercida sobre a parede, dividindo F pela área
da parede (A=d2).
Nota: V=Ad=d3
v 2  3vx2
 
1N
P
mv 2
3V
A pressão é proporcional ao número de moléculas por unidade de volume e à
energia cinética translacional média das moléculas
1 2
mv
2
4
Interpretação Molecular da Temperatura de um Gás Ideal
N
PV  nRT 
RT
NA
PV  NkBT
Substituindo
N A  6.0221023
onde
kB 
R
 1.38 1023 J/K
NA
 
1N
P
mv 2
3V
obtemos
T
Número de Avogadro
Constante de Boltzmann
2  N  1 2 
  mv V  NkBT
3  V  2


2 1 2
 mv 
3kB  2

A temperatura de um gás é uma medida directa da energia cinética translacional
média das moléculas
5
Rescrevendo a equação anterior de outra forma
1
3
mv 2  k BT
2
2
3
k BT é a energia translacional média por molécula
2
1 2  1 mv 2  1 k T
2
x
B
como
vx  v
2
2
3
Teorema de equipartição de energia
A energia de um sistema em equilíbrio térmico está igualmente dividida entre
todos os graus de liberdade
“Graus de liberdade” refere-se ao número de maneiras independentes pelas quais uma
molécula pode ter energia.
No caso do gás ideal cada molécula têm 3 graus de liberdade uma vez que se movimentam
na direcção dos eixos x,y e z
A energia cinética translacional total de N moléculas de gás é simplesmente N vezes a
energia translacional média por molécula = Energia interna de um gás monoatómico
1 2 3
K translacional total  N  mv   N BT
2
 2

K translacional total 
3
nRT  U
2
6
3.2 Capacidade Calorífica Molar de um Gás Ideal
A quantidade de gás ideal é medida pelo número de moles n, em vez da
massa m
O gás é submetido a diversos processos
i f'
i f
i  f ''
com a mesma variação de temperatura
T  T f  Ti

mesmo
U
Pelo primeiro princípio da termodinâmica
Q  U  W
W para cada trajectória é diferente

Q diferente para cada trajectória
(área sob a curva diferente)
Logo a energia necessária para produzir cada variação de temperatura não tem um
7
valor único
Essa dificuldade é resolvida definindo-se as capacidades caloríficas para dois
processos que ocorrem com mais frequência: o processo isocórico e o processo
isobárico
Modificamos a equação
Volume constante
Q  nCV t
Pressão constante
Q  nCP t
Q  m ct
Escrevemos em moles
Processo isocórico
Processo isobárico
i f
i f'
CV é a capacidade calorífica molar a volume constante
CP é a capacidade calorífica molar a pressão constante
8
No processo isocórico V = constante
Do primeiro princípio da termodinâmica
nCV 
3
nR
2
U  nCV T

CV 
W   PdV  0
Q  U 
3
nRT
2

3
R  12.5 J/mol  K para todos os gases monoatómicos
2
• válida para qualquer processo no qual há variação de
temperatura , não apenas para um processo isocórico
• verdade também para gases monoatómicos e poliatómicos
Para variações infinitesimais
1 dU
CV 
n dT
9
No processo isobárico P = constante
PV  nRT
U  nCV T

CV  CP  R
CP 
U  Q  W  nCP T  PV
nCV T  nCP T  nRT

esta expressão se aplica a qualquer gás ideal
5
R  20.8 J/mol  K
2
CP

CV
  1.67
CP 52 R 5

3 
CV 2 R 3
grandeza sem dimensão
para um gás monoatómico
10
3.3 Processos Adiabáticos para um Gás Ideal
Em três processos, uma variável de estado é mantida constante
P = constante para um processo isobárico
V = constante para um processo isocórico
T = constante para um processo isotérmico
Um quarto processo especial é o processo
adiabático
Há algo constante nesse processo?
A combinação de algumas variáveis permanece
constante
PV   constante
TV  1 = constante
PiVi  Pf V f
TiVi 1  Tf Vf 1
11