DECOMPOSIÇÃO MAF APLICADA A GEOESTATÍSTICA DE DADOS COMPOSICIONAIS
Luciana Arnt Abichequer, Universidade Federal do Rio Grande do Sul,
[email protected]
Camilla Zacche da Silva, Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Maria Noel Morales Boezio, Universidade Federal do Rio Grande Sul
João Felipe Coimbra Leite Costa, Universidade Federal do Rio Grande Sul
RESUMO
Problemas geoestatísticos frequentemente envolvem múltiplas variáveis que somadas
devem resultar em uma constante conhecida, condição que deve ser respeitada quando
estimando teores nos blocos. O método clássico para a abordagem de tais problemas é a
cokrigagem, que exige a consideração da correlação espacial dos atributos podendo assim
ser de alta complexidade, sem garantir o fechamento da soma nos blocos. No presente
artigo serão apresentados dois métodos, o primeiro é o MAF (min/max fatores de
autocorrelação) que consiste em uma rotação no sistema de variáveis transformando estas
em combinações linearmente independentes, permitindo assim a estimativa individual de
cada atributo; já o segundo trata-se do ALR (razão logarítmica aditiva) que serve para
garantir que os atributos estimados fechem a soma dos teores nos blocos devidamente.
Palavras-chave: Geoestatística; MAF; ALR.
ABSTRACT
Geostatistical problems often involve multiple variables and these must sum up to a
known constant, condition that has to be respected when estimating grades within the block.
The classic way to approach these problems is through cokrigging, which by demanding to
consider the spatial correlation between attributes can be of high complexity without
guaranteeing the closure of the sum in the blocks. In the present article will be presented two
methods, the first one is the MAF (min/max autocorrelation factors) that consists is a rotation
in the variable system transforming these in linearly independent combinations allowing the
estimate of each attribute individually; the second is the ALR (additive logarithmic ratio) that
does guarantee that the attributes estimated close the grades sum in the blocks correctly.
Key-waords: Geostatiscal; MAF; ALR.
INTRODUÇÃO
O processo de investigação geológica que auxilia na determinação dos teores e
tonelagens de um depósito mineral traz a amostragem de inúmeras variáveis, seja por seu
valor econômico para a avaliação de uma posterior exploração seja para o entendimento
dos processos de formação e posterior beneficiamento do minério. Muitas vezes, as
variáveis amostradas se correlacionam e a consideração conjunta delas no processo de
estimativa de teores, reproduz um cenário mais condizente com a realidade do fenômeno
estudado.
A geoestatística multivariada é a ciência que, partindo das técnicas clássicas de
regressão, é capaz de fornecer estimativas para múltiplas variáveis regionalizadas que irão
auxiliar na caracterização do minério [1] ou então de uma única variável utilizando as
demais como informação secundária. O método mais comumente utilizado e difundido é a
cokrigagem [2], por apresentar um estimador não tendencioso e que minimiza a variância do
erro [3].
No entanto, a grande desvantagem que o método apresenta é que a variabilidade
espacial dos dados correlacionados deve ser previamente modelada, para ser utilizada nos
modelos de regressão requeridos. Isto torna o procedimento extremamente laborioso e
desencoraja sua utilização pela indústria, que necessita de resultados coerentes, mas de
rápida obtenção.
Muitos modelos de corregionalização surgiram para dar solução ao problema da
modelagem da variabilidade espacial conjunta, os dois principais seriam o MLC (Modelo
Linear de Corregionalização) [3], onde os variogramas diretos e cruzados são combinações
lineares das mesmas estruturas básicas. E, o MCI (Modelo de Corregionalização Intrínsica)
[3] onde todos os variogramas são proporcionais a um mesmo modelo.
Depois destes, surgiram ainda, simplificações para os modelos de corregionalização,
como, o modelo de Markov [4] (MM1), no qual a covariância cruzada entre as variáveis é
proporcional à covariância da variável primária. É um modelo de fácil aplicação, porém
excessivamente simplista.
Surge então a busca por metodologias alternativas que proponham uma solução acabada
para a estimativa de múltiplas variáveis regionalizadas. A utilização de funções randômicas,
que transformam os dados em vetores ortogonais entre si e separados por um vetor “h” para
que estes possam ser assumidos independentes e estimados um a um é uma delas. Esta
transformação é chamada de decomposição em fatores de autocorrelação mínimos e
máximos (MAF) e foi desenvolvida inicialmente por [5], para o processamento de imagens
multi espectrais provenientes do sensoriamento remoto.
Já para garantir uma soma fechada, [6] tem trazido a hipótese de que dados
regionalizados podem ser restringidos a uma soma fechada por serem composicionais
(CODA) sendo apropriada para o tratamento de múltiplas variáveis como as do minério de
ferro, manganês e fosfato, nos quais os balanços de massa e as relações estequiométricas
apresentam-se como tais, onde as correlações podem ser induzidas pelos fechamentos.
O presente trabalho pretende estudar a eficiência da aplicabilidade das duas
metodologias, MAF e CODA combinadas, CODA para garantir o fechamento dos teores do
bloco e MAF para que cada uma das variáveis envolvidas no processo possa ser estimada
de maneira independente garantindo que o processo seja mais facilmente executado e de
forma mais rápida. E por fim, fazer a comparação dos resultados obtidos com a metodologia
clássica, a cokrigagem.
A metodologia proposta foi aplicada, inicialmente como estudo de caso no banco de
dados teórico Walker Lake [8], composto por duas variáveis, ouro e cobre. Trabalhos futuros
preveem o teste da metodologia em banco de dados de minas “reais”.
Os resultados obtidos com a combinação CODA/MAF, provaram ser melhores do que os
obtidos via cokrigagem. Além disto, a decomposição MAF não precisa que os modelos de
corregionalização sejam previamente modelados, o que agiliza deveras o trabalho
executado.
METODOLOGIA
A metodologia aplicada neste estudo é a decomposição em fatores de autocorrelação
mínimos máximos (MAF) [5] [9] de razões logarítmicas aditivas (alr), que está
exaustivamente apresentada em [6]. A comparação com o método clássico (cokrigagem
ordinária) é apresentada na discussão dos resultados.
A decomposição em fatores de autocorrelação mínimos e máximos (MAF) está baseada
na decomposição em componentes principais (PCA), incorporando a descorrelação espacial
além do vetor de separação nulo.
As componentes principais são combinações lineares das funções randômicas Z1,
Z2,...,ZNv. Geometricamente, essas combinações lineares representam a seleção de um
novo sistema de coordenadas, obtido rotacionando o sistema original, no qual Z1, Z2,...,ZNv
são considerados os eixos de coordenadas. Os novos eixos representam as direções de
maior variabilidade e são, por construção, ortogonais entre si. Na Krigagem das
componentes principais, assume-se que esta ortogonalidade é transladável para vetores
separados por “hs” diferentes de zero. Na teoria, a condição acima é satisfeita só se as Nv
variáveis estão intrinsecamente correlacionadas [10]. Na prática, essa condição pode ser
verificada observando os variogramas cruzados entre as componentes principais [10] [11].
Como é apresentado em [9] a ideia é transformar um vetor de observações multivariadas
normalizadas Z(u)=[Z1(u),Z2(u),...,ZNv(u)]T num conjunto de Nv combinações lineares
ortogonais. A operação é realizada seguindo os passos:
1. Realizar a decomposição espectral da matriz simétrica B (matriz de
variância/covariâncias de Z(u)) em uma matriz de autovetores ortonormais H e uma
matriz diagonal de autovalores D, de modo que B=HDHT.
2. Calcular as variáveis transformadas V(u)=WTZ(u) onde W=HD-1/2 é tal que W TBW=I.
3. Calcular a matriz de variogramas para o vetor de separação ∆, ГV(Δ) deV(u).
4. Calcular a decomposição espectral de ГV(Δ) numa matriz de autovetores
ortonormais C e uma matriz diagonal de autovalores Λ, tal que ГV(Δ)=C(Λ/2)CT.
5. Transformar Z(u) com o vetor AT, tal que A=WC.
A geoestatística de dados composicionais é uma extensão dos conceitos da análise
estatística de dados composicionais ao caso de variáveis regionalizadas. Revisões mais
detalhadas são apresentadas em [12] [6].
Para isto, é necessária uma metodologia que extenda os conceitos da análise estatística
composicional desenvolvidos por [12] ao caso das variáveis regionalizadas [1].
A idéia de Aitchison é considerar um vetor randômico W, que não seja uma composição:
( ) = [ 1( ),
2( ), … ,
( )]
(1)
Uma composição Z(u) pode ser obtida a partir de W, dividindo cada componente
individual pela soma das componentes:
( )=
Assim, a relação:
( )
( ) ⋯
( )
(2)
( )
( )
=
( )
∀ , = 1, … ,
( )
(3)
é válida, desde que W j(u) e Zj(u) sejam > 0.
Por esta propriedade, é possível verificar que os dados composicionais se referem a
grandezas relativas e não absolutas. Como estes dados são muito difíceis de manipular [12]
sugere a transformação em razões logarítmicas.
São definidas três razões-logarítmicas: razão-logarítmica aditiva (alr), razão logarítmica
centrada (clr) e a razão-logarítmica isométrica (ilr). A razão-logarítmica isométrica (ilr) [13] foi
desenvolvida após as duas primeiras, de utilização clássica, introduzidas por [12]. A ilr
capitaliza algumas propriedades da clr e tem a sua maior utilidade na abordagem de
permanecer-no simplex [14]; [15] pertencente à quarta fase de desenvolvimento na análise
dos dados composicionais. A transformação aplicada neste estudo é a alr, mas na teoria, as
três transformações devem fornecer o mesmo resultado, o que está demonstrado em [13]
Para cada componente, a transformação alr implica na divisão pela D-ésima componente,
além da transformação dos quocientes em logaritmos naturais. Ou seja, se o banco de
dados for constituído por duas (caso aqui estudado), uma delas será escolhida para ser
utilizada como divisor para a outra. Depois, o quociente é transformado em logaritmo natural
para facilitar a manipulação dos dados.
A transformação em razões-logarítmicas aditivas (alr) é definida como [6]:
→
( ) = ( ) = (ln (
(4)
( )
( )
) … ln
( )
( )
)
(5)
O vetor Y(u) tem uma componente a menos que composição r Z(u) (rZ(u) porque se
refere a variáveis regionalizadas).
( )= ( ( )
( )…
( ))
(6)
O vetor X(u) é definido de forma auxiliar, para retro-transformar os dados.
( ) = (( ( ) ( ) …
( )0)
(7)
É a chamada transformação logística aditiva generalizada (agl), [6]; [16]
∶
→
(8)
( )→ ( )=
( ( ))
9)
( ( )
Onde,
exp ( ( ) = (
( )
( )…
( )1)
(10)
Se a soma constante da composição Z(u) for diferente de c (constante do fechamento),
então a retro-transformação é dada por:
( )= .
( )
(11)
A grande vantagem do método é a diminuição do número de variáveis que deverá ser
estimada. No presente caso de estudo, em vez de ter-se que variografar e krigar duas
variáveis, o procedimento só terá que ser feito para uma delas. O que é muito vantajoso no
caso da cokrigagem, onde os modelos lineares de corregionalização devem ser
propriamente ajustados e quanto maior o número de variáveis com que se está trabalhando,
mais dificultado fica o trabalho. Na metodologia sugerida neste estudo, a vantagem da
cokrigagem não se apresenta, já que os dados composicionais serão posteriormente
submetidos a transformação MAF, que como já citado anteriormente, traz a vantagem de
que cada variável pode ser estimada de forma independente.
ESTUDO DE CASO
O trabalho foi realizado com o banco de dados teórico Walker Lake retirado de [8]. Banco
este composto por 470 pontos de dois atributos, Au e Cu. Cu foi amostrado em toda a malha
enquanto que a Au não possui amostras em 195 pontos da malha. Este banco, na
bibliografia em que foi retirada indica que a amostragem teria ocorrido em 3 estágios
distintos, o primeiro onde foram obtidas 195 amostras em uma malha aproximadamente
regular de 20x20m2 onde foram obtidos 195 valores do atributo Cu, o segundo estágio de
amostragem teria ocorrido próximo as áreas onde Cu teve valores acima de 500ppm, e
neste segundo estágio foi onde foram obtidos os primeiros valores de Au, neste segundo
estagio foram adicionadas 150 amostras ao banco de dados, o terceiro estagio da
amostragem foi realizado para delinear as áreas das anomalias reveladas no primeiro e
segundo estágios, foram amostrados 128 pontos, totalizando os 470 pontos amostrados da
malha. [8].
Tabela 1: Sumário estatístico dos atributos U e V do banco de dados em análise.
Variável
Numero
de
amostras
Média
Média
desagrupada
Desv.
Padrão
Desv.
Padrão
desagrupado
Mediana
Mediana
desagrupada
Au
Cu
278
470
613.3
436.5
532.84
289.01
27.7
17.31
718.66
255.32
613.3
425.3
260.84
234.17
TRANSFORMAÇÃO ALR
A transformação dos dados originais em dados composicionais requer que a soma dos
teores em cada bloco seja 100%. Como isto não é garantido para todos os blocos, então, é
a realizada a operação closure [6] segundo a equação:
( )=
( )
( . )
× 100
(12)
Onde, sum(2.1) = soma dos teores no bloco
Para verificar a influência da operação sobre os dados originais, faz-se uma comparação
dos dados transformados pelo fechamento com os originais, conforme apresentado na figura
1. Os gráficos mostram uma correlação quase perfeita entre o variável ouro original e a
transformada pela operação. Já o cobre transformado não apresenta uma correlação tão
expressiva com os dados originais como vemos na figura 2. Isto acontece porque existem
vários locais onde o cobre está amostrado e o ouro não. Assim, na operação a variável
recebe todo o peso para o fechamento.
Scatter Diagram (au, au(%))
au
0
1
2
3
4
5
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.0
0.0
0
1
2
3
4
au(%)
au(%)
rho=0.902
5
au
Isatis
Dados cok/Dados cok
Figura 1-Comparação entre os dados transformados de Au e os originais
Scatter Diagram (cu, cu(%))
cu
0
5
15
1.0
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0
5
10
cu(%)
cu(%)
10
rho=-0.457
1.0
15
cu
Isatis
Dados maf/Dados maf
Figura 2-Dados transformados de cu e seus originais.
. A figura 3 mostra a estatística básica dos dados fechados desagrupados, calculada pelo
método das janelas móveis [8].
Histogram (au(%), cu(%))
au(%)
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.4
0.4
Nb Samples:
Minimum:
Maximum:
Mean:
Std. Dev.:
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Frequencies
Frequencies
0.3
268
0.00
0.52
0.08
0.08
0.0
au(%)
cu(%)
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.7
0.7
Nb Samples:
Minimum:
Maximum:
Mean:
Std. Dev.:
0.6
0.6
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Frequencies
Frequencies
0.5
470
0.48
1.00
0.95
0.07
0.0
cu(%)
Isatis
Figura 3-Estatístico dos dados desagrupados utilizando o método de janelas móveis.
Os valores da decomposição alr, foram calculdados de acordo com a equação 13, o cobre
foi escolhido arbitrariamente para ser o divisor:
= ln
(13)
A continuidade espacial das razões logaritmicas aditivas deve ser analisada e modelada,
por meio dos modelos lineares de corregionalização (MLC) [11] [3], para a determinação
dos parâmetros do elipsóide de busca conforme equação 14. Como a transformação alr
remove a correlação espúria entre as variáveis, mas não garante a descorrelação entre elas,
os dados composicionais encontrados nesta etapa da metodologia serão submetidos a
decomposição MAF, para que cada uma possa ser estimada de forma independente. Na
figura 4 temos os variogramas para decomposição alr.
Variogram Model - Global Window
Distance (m)
0
25
50
75
100
3
Variogram : Yau(%)
Variogram : Yau(%)
3
N67
2
2
N157
1
0
0
25
50
75
1
0
100
Distance (m)
Isatis
Figura 4- Variograma alr
(ℎ) = 0.8 + 0.2
ℎ
°
°
+ 1.1
ℎ
°
(14)
°
DECOMPOSIÇÃO MAF
A decomposição em fatores de correlação mínimos e máximos está baseada na idéia de
transformar
um
vetor
de
observações
multivariadas
normalizadas
Z(u)=[Z1(u),Z2(u),...,ZNv(u)]T num conjunto de Nv combinações lineares ortogonais entre si,
estendendo o conceito da decomposição em componentes principais para vetores
separados por uma distância (h) maior do que zero. Normalmente esta distância é
equivalente a malha de separação entre as amostras, ou então ao alcance da primeira
estrutura do MLC [9].
Depois de realizada a transformação MAF, a descorrelação entre as variáveis pode ser
checada por meio da análise dos variogramas cruzados das variáveis. Para que as mesmas
não apresentem correlação, o variograma cruzado entre elas deve apresentar efeito pepita
puro até o vetor de separação “h”onde antes da transformação as mesmas eram
correlacionadas. Para este estudo, um vetor de separação de 200m foi escolhido.
A estimativa de cada uma delas é então realizada de forma independente, normalmente
por krigagem ordinária [1], com a utilização dos parâmetros para vizinhança de busca
apresentados na tabela 2. Estes parâmetros foram selecionados com o auxílio da validação
cruzada [8]. Para tal procedimento, é necessário que os variogramas de cada uma das
variáveis envolvidas sejam analisados e modelados. A equação 15 e a figura 5 apresentam
os variogramas experimentais e modelados da MAF calculada para o ouro, sendo esta a
variável que sofreu a transformação neste estudo.
(ℎ) = 0.2 + 0.3
ℎ
°
°
+ 0.5
ℎ
°
°
(15)
Variogram Model - Global Window
Distance (m)
0
25
50
75
100
1.5
N157
1.0
1.0
N67
0.5
0.0
0
25
50
75
0.5
Variogram : MAFau(%)
Variogram : MAFau(%)
1.5
0.0
100
Distance (m)
Isatis
Dados maf/Dados maf
Figura 5-Variograma dos fatores MAF Au.
Tabela 2- Parametros utilizados na krigagem.
MAF
1
2
Tipo de vizinhança:
Móvel
Móvel
Elipsoide de busca:
N158º,
N68
200
N158º,
N68
200
25
25
8
8
3
3
3
3
Yes
Yes
5
5
5
5
1
1
Raio de busca ao longo da
N157º:
Raio de busca ao longo da
N68º:
Numero de setores
angulares:
Minimo de am ostras na
vizinhança:
Numero otimo de amostras
por setor:
Busca heterotopica:
Discretização de bloco em
X:
Discretização de bloco em
Y:
Discretização de bloco em
Z:
Depois de estimados os valores para o MAFau(u)*, os valores encontrados são retro
transformados para decomposições alrau(u)* e alrcu(u)* e, finalmente retornados ao espaço
original, por meio da decomposição agl [6], onde se obtém os valores finais de cu(u)* e
au(u)*.
COKRIGAGEM ORDINÁRIA
A análise da continuidade espacial das variáveis transformadas revelou um elipsóide de
busca com a direção principal orientada para N157.5° e a direção de menor continuidade
para 67.5°, sendo também estas duas as principais direções de anisotropia para os dados
originais depois do fechamento.
Neste caso, a dificuldade de ajuste do modelo linear de corregionalização não se
apresenta de maneira tão evidente porque o estudo está baseado na estimativa de somente
duas variáveis. Assim, os modelos que devem ser ajustados simultaneamente para
satisfazer a condição de definição positiva das matrizes de corregionalização são três, os
dois modelos de cada variável independente e o modelo cruzado entre as duas. As figuras
6,7 e 8 apresentam os variogramas experimentais e modelados para a variável cobre, ouro
e o variograma cruzado entre as duas. As equações 16,17 e 18 representam os modelos de
variogramas para as variáveis Au, Cu e cruzados respectivamente.
A Cokrigagem Ordinária é realizada com os mesmos parâmetros de busca da tabela 2,
porém com um raio de busca de 80 m na direção principal de anisotropia.
Variogram Model - Global Window
Distance (m)
25
50
75
100
0.009
0.008
0.008
0.007
0.007
N67
0.006
0.005
0.006
0.005
0.004
0.004
N157
0.003
0.003
0.002
0.002
0.001
0.001
0.000
0
25
50
75
100
Variogram : au(%)
Variogram : au(%)
0
0.009
0.000
Distance (m)
Isatis
Dados cok/Dados cok
Figura 6-Variograma direto variável Au.
= 0.0025 + 0.0007
ℎ
°
°
+ 0.003
ℎ(
°
Variogram Model - Global Window
Distance (m)
25
50
75
100
0.007
0.007
0.006
0.006
N67
0.005
0.004
0.005
0.004
0.003
0.003
N157
0.002
0.002
0.001
0.001
0.000
0
25
50
75
100
Variogram : cu(%)
Variogram : cu(%)
0
0.000
Distance (m)
Isatis
Dados so au/dados so au
Figura 7-Variograma direto variável Cu
)
(16)
= 0.0025 + 0.007
ℎ
°
°
+ 0.003
ℎ(
°
°
)
(17)
Variogram Model - Global Window
Distance (m)
0
25
50
75
100
0.005
N157
0.000
0.000
N67
-0.005
-0.005
0
25
50
75
Variogram : au(%) & cu(%)
Variogram : au(%) & cu(%)
0.005
100
Distance (m)
Isatis
Figura 8-Variograma cruzado Au e Cu
= −0.0025 − 0.0007
ℎ
°
°
− 0.003
ℎ(
°
°
)
(18)
DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
A primeira verificação pertinente a análise dos resultados é a reprodução da média
estimada para as duas variáveis em relação a média dos dados originais (média local e
média global). A reprodução da média global é analisada fazendo-se a comparação da
média obtida pelas estimativas (cokrigagem e alr+maf) com a média desgarupada dos
dados originais tabela 3. Já a verificação das médias locais pode ser feita por meio da
análise de deriva nas direções X e Y. Neste artigo somente a direção X é exibida figura 9.
Tabela 3: Comparação de médias entre dados originais, cokrigagem e pelo método
Alr+MAF.
Comparação
das
medias
globais
fechadas
Au
Cu
originais
desagrupados
0.07
0.95
closed
cokrig
Alr+maf
0.03
0.97
0.05
0.95
Graphic Edit: Graphic Edit: Scatter Diagram (X, a
X
0
100
200
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.0
au(%)cok
au(%)cok
rho=0.127
0.3
0.0
0
100
200
X
Isatis
Figura 9-Análise de deriva. Linha preta representa os dados originais; linha vermelha
representa a cokrigagem e a linha rosa representa o método alr+maf.
Em relação à cokrigagem, a metodologia proposta apresenta a vantagem de que o
número de variáveis a serem estimadas é sempre uma unidade menor. Além desta, a
modelagem do modelo linear de corregionalização também é desnecessária no método
apresentado, o que diminui significativamente o trabalho a ser realizado para as estimativas
multivariadas.
A estatística básica dos dados estimados neste estudo é bastante semelhante a dos
dados originais, conforme apresentado na tabela 3, demonstrando que o estimador testado
não é tendencioso.
A soma dos teores constantes em cada bloco é perfeitamente satisfeita com a
combinação alr/maf conforme a figura 10, o que não acontece na cokrigagem, como vemos
na figura 11, que também apresenta resultados bastante razoáveis. No entanto a
cokrigagem não garante a soma constante dos teores e a transformação dos dados em
razões logarítmicas aditivas
Histogram (soma)
soma
0.50
1.00
Nb Samples:
Minimum:
Maximum:
Mean:
Std. Dev.:
1.00
1.25
1.50
2868
1.00
1.00
1.00
0.00
1.00
0.75
0.75
0.50
0.50
0.25
0.25
0.00
0.50
0.75
1.00
soma
Isatis
dados finais alr/dados finais alr
1.25
1.50
Frequencies
Frequencies
0.75
0.00
Figura 10-Histograma da soma através dos métodos MAF e CODA combinados.
Histogram (soma (%) todos cu)
soma (%) todos cu
0.98
0.99
1.01
Nb Samples:
Minimum:
Maximum:
Mean:
Std. Dev.:
0.5
0.4
1.02
1.03
2713
0.98
1.03
1.00
0.00
0.5
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.0
0.98
0.99
1.00
1.01
1.02
1.03
Frequencies
Frequencies
1.00
0.0
soma (%) todos cu
Isatis
Grid/Cok
Figura 11-Histograma da soma através da cokrigagem.
CONCLUSÕES
Foi possível com o estudo de caso realizado verificar a aplicabilidade dos métodos
propostos, tanto MAF quanto alr, de forma eficiente. De fato, o método de descorrelação
MAF, é eficiente para h diferente de zero, simplificando o processo uma vez que não se
torna necessária a cokrigagem, assim como a transformação alr fecha a soma nos blocos
com sucesso, e ainda, no caso da soma o método se mostra mais eficiente que a
cokrigagem, pois esta não garante o fechamento da soma dos teores em cada bloco.
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