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Agradeço ao Professor Luciano Irineu de Castro Filho pelas contribuições
seminais; aos Professores Rodrigo Andrés de Souza Peñaloza e José Guilherme de
Lara Resende pelas intervenções providenciais. Agradeço também ao Tribunal de
Contas da União, na pessoa do Ministro Walton Alencar Rodrigues e dos gerentes
vanguardistas na sua gestão, pelo apoio institucional. À Ana Stella Miranda Silva
agradeço pelo apoio emocional e pela resiliência em face das intempéries da vida.
Agradeço ainda ao Senhor do Universo e a seu filho, Governador da Terra, pela
oportunidade que me proporcionaram.
(#)90%
Este trabalho tem por objetivo estudar as receitas esperadas de leilões de
primeiro preço com adoção de preço de reserva. Para isso, parte-se de um modelo
alternativo (distribuição de malha) ao tradicional na literatura (afiliação) com o
intuito de verificar qual solução é a preferível em termos de receita esperada: com
preço de reserva anunciado ou sigiloso. Por intermédio de simulações numéricas,
são calculadas receitas esperadas ínterim e ex-ante de leilões de primeiro preço
com base na existência de equilíbrios monótonos em estratégias puras dos lances
dos jogadores, os quais são também testados.
Conclui-se que quanto menor for o preço de reserva, mais favorável será o
uso de preço de reserva secreto, pois proporcionará maior receita esperada do que
a opção pelo preço de reserva divulgado. Esse resultado decorre do fato de que o
sigilo do preço de reserva provoca incerteza sobre seu valor, o que promove lances
mais elevados pelos participantes do leilão. No entanto, à medida que o preço de
reserva aumenta, o leilão com preço de reserva divulgado passa a ser vantajoso
vis-à-vis o sigiloso, pois o conhecimento do valor do preço de reserva assegura
que os jogadores de maior tipo apresentem lances maiores. Também é simulada
a maior concorrência nos leilões por meio do incremento do número de participantes, resultando em uma indiferença cada vez maior entre a escolha do preço de
reserva anunciado ou sigiloso à medida que aumenta o número de participantes.
A situação de conluio apresenta igual comportamento no comparativo efetuado
antes. No entanto, situações em que há assimetria do conhecimento do preço de
reserva secreto entre os participantes não são consideradas neste estudo.
No âmbito das licitações públicas, as conclusões são similares, bastando apenas inverter a métrica de preços, por tratarem de leilões de compra e não de venda.
Quanto maior for o preço de reserva (ou preço de referência) em uma concorrência, mais favorável será o uso de preço de reserva secreto, pois este proporcionará
menor custo esperado de aquisição do que a opção pelo preço de reserva divulgado. Considerando que as estimativas de preço de reserva efetuadas pelo governo,
por conservadorismo e/ou conhecimento parcial dos mercados, são geralmente
mais elevadas, é recomendada a princípio a utilização do preço de reserva secreto,
principalmente em certames de reduzida concorrência.
O tema é oportuno, pois recentemente foi proposta reforma na legislação de
licitações, denominada de Regime Diferenciado de Contratação, que contempla,
entre vários itens, a controversa questão do orçamento sigiloso.
Palavras-chave: preço de reserva; licitações; orçamento sigiloso.
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Economia e Contabilidade do Setor Público ‒ Ângelo Henrique Lopes da Silva
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Licitação pública é tema interdisciplinar que pode contar com contribuições
advindas não só do direito, como também de outras áreas do conhecimento, tal
qual a economia. A discussão travada no âmbito jurídico, por valorizar em demasia alguns princípios, tal como o da publicidade, tem proporcionado uma visão
parcial e equivocada do orçamento sigiloso. No entanto, devem ser considerados,
para uma avaliação mais completa, outros aspectos, notadamente de natureza econômica, tal como a busca do menor custo esperado de aquisição do bem licitado.
O desenho de mecanismos econômicos, mais especificamente o de leilões,
tem sido umas das áreas mais promissoras não apenas no âmbito acadêmico, como
também no corporativo. Por meio de tais instrumentos, busca-se otimizar resultados desejados nas transações econômicas realizadas por empresas e governos.
Entre as aplicações de desenho de mecanismos, destaca-se a Teoria de Leilões.
Uma questão interessante a ser levantada nesse sentido consiste em identificar quão proveitoso economicamente é, para o leiloeiro, adotar um preço de
reserva sigiloso em um leilão. Entenda-se como proveitosa economicamente a obtenção de maior receita em um leilão de venda ou de menor custo de aquisição
em um leilão de compra no qual se enquadram, neste último caso, as licitações
públicas. Sabemos que a teoria produzida não é abundante, bem como ainda não
logrou responder definitivamente sobre o tema. Este trabalho apresenta uma contribuição para o entendimento das vantagens de se adotar um preço de reserva
sigiloso perante o divulgado, embora esta última opção seja a mais utilizada.
O tema é contemporâneo na discussão da reforma da legislação brasileira
das licitações públicas e veio à tona com intensidade no debate travado nos meios
político, administrativista e jurídico provocado pela proposição do Regime Diferenciado de Contratação (Lei n. 12.462/2011), o qual prevê o uso de orçamentos
sigilosos nas licitações de obras públicas para a Copa do Mundo e as Olimpíadas.
Na segunda seção deste trabalho apresentamos os objetivos perseguidos,
contextualizando-os no rol das leis licitatórias brasileiras. Na terceira seção, apresentamos uma introdução dos ambientes em que se inserem os modelos econômicos de leilões. Na quarta seção, trazemos um levantamento dos estudos anteriores
realizados especificamente sobre o tema principal. Na quinta seção, esclarecemos
o grau de abrangência do modelo adotado. Apresentamos na sexta seção o modelo
de distribuição de malha trabalhado ao longo de todo o trabalho. A sétima seção
traz passo a passo o desenvolvimento da modelagem utilizada, o qual é auxiliado
pelos apêndices. Por fim, a oitava e a nona seções revelam os resultados e as conclusões alcançadas.
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Economia e Contabilidade do Setor Público ‒ Ângelo Henrique Lopes da Silva
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Complementar o direito positivado referente às licitações com a Teoria de
Leilões pode auxiliar nas decisões polêmicas tomadas sobre o assunto. A lei é
sempre incompleta perante todas as situações presentes na realidade, deixando
lacunas de subjetividade sobre o tema regulamentado. A Teoria de Leilões pode
auxiliar no preenchimento dessas lacunas de entendimento, apontando para a melhor opção em função do que se deseja. Também, não raro, a legislação licitatória e
a Teoria de Leilões apresentam conflitos que motivam a busca de aprimoramentos
na legislação.1
A literatura econômica define quatro tipos básicos de leilões: leilão de primeiro preço, leilão de segundo preço, leilão inglês e leilão holandês.
Nos dois primeiros tipos de leilão, as propostas devem ser apresentadas em
envelopes lacrados, razão pela qual são ditos leilões de tipo selado ou fechado. Em
ambos, vence o certame o licitante que houver apresentado a menor proposta.2 Diferem, no entanto, apenas quanto ao valor que será cobrado pela Administração.
No de primeiro preço, o valor cobrado será o lance do licitante vencedor, que corresponde ao menor preço. No de segundo preço, o valor cobrado corresponderá ao
segundo menor lance, corresponde ao valor apresentado pelo licitante perdedor
de menor lance.
Nos outros dois tipos de leilão, as propostas não são seladas e há possibilidade de uma dinâmica de lances, cujos valores se tornam conhecidos entre os
licitantes à medida que estes são apresentados. São ditos leilões abertos. O leilão
inglês é modelado tradicionalmente por meio do leiloeiro, que parte de um preço
suficientemente alto, em que todos os licitantes queiram participar do leilão. O
leiloeiro reduz gradualmente o preço inicial, de modo que os licitantes desistam
sequencialmente até que reste o último deles, o qual será contratado pelo último
preço consignado. Este preço vencedor é marginalmente menor que o preço do último desistente. O leilão holandês acontece de maneira inversa. O leiloeiro começa
por um preço suficientemente reduzido pelo qual nenhum dos licitantes deseja
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Economia e Contabilidade do Setor Público ‒ Ângelo Henrique Lopes da Silva
contratar. Gradualmente, ele vai elevando esse preço até que o primeiro licitante
se disponha a aceitá-lo, valor pelo qual será contratado.
Tendo em mente essa classificação dos leilões segundo a literatura econômica, podemos traçar um comparativo com as modalidades existentes na legislação nacional. O leilão inglês assemelha-se à fase de lances verbais e sucessivos
do pregão, previsto no art. 4°, VIII, da Lei n. 10.520/2002. Por sua vez, o leilão
selado de primeiro preço corresponde às principais modalidades dispostas na Lei
n. 8.666/1993, ou seja, concorrência, tomada de preços, convite, quando julgadas pelo menor preço. No entanto, o formato do leilão de primeiro preço não se
restringe às licitações da Lei n. 8.666/1993. Vários leilões destinados à delegação
de serviços públicos (concessões, permissões e autorizações), regidos pela Lei n.
8.987/1995 e outras leis específicas, correspondem a leilões selados de primeiro
preço, tais como leilões de arrendamento de terminais portuários e de concessão
de rodovias e ferrovias. Dada a importância desse tipo de leilão, trabalharemos
doravante com o leilão selado de primeiro preço.
A Teoria de Leilões trata de diversos aspectos desejáveis, tais como: eficiência, menor custo esperado, menor corrupção, menor conluio, etc. A escolha de
um ou de vários dos objetivos citados, juntamente com a adoção de mecanismos
complementares que proporcionem propriedades desejadas, guia a seleção da melhor modalidade de leilão.
Dentre os vários princípios encontrados no art. 3° da Lei n. 8.666/1993 está o
de selecionar a proposta mais vantajosa para a Administração. Esse princípio nada
mais é do que um dos principais objetivos perseguidos pela Teoria de Leilões: o do
menor custo esperado.3 Este será o aspecto trabalhado ao longo desta monografia.
Um instrumento importante que pode ser acrescentado aos tipos de licitações é o preço de reserva, que corresponde ao valor máximo que a Administração aceitaria pagar pelo bem/serviço licitado. Ou seja, seria o preço de mercado
levantado ou estimado por meio dos orçamentos elaborados pela Administração
para as licitações, comumente chamado de preço de referência ou, ainda, preço
máximo ou preço-teto.
O preço de reserva consubstancia-se na fixação de preço máximo previsto
no art. 40, X, da Lei n. 8.666/1993, com suas alterações. Esse valor serve de parâmetro para desclassificação caso a proposta comercial do licitante seja superior, de
acordo com o art. 48, II, da Lei n. 8.666/1993.
Uma das questões mais interessantes na Teoria de Leilões e, particularmente,
na abordagem econômica das licitações é qual seria a melhor escolha para promover
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Economia e Contabilidade do Setor Público ‒ Ângelo Henrique Lopes da Silva
menores custos de aquisição para a Administração Pública: divulgar ou não a priori,
no edital, o preço máximo (preço de reserva) de aceitação.
No arcabouço normativo brasileiro, há duas situações distintas quanto à divulgação do preço de reserva: a regida pela Lei n. 8.666/1993, referente às modalidades licitatórias de concorrência, tomada de preços e convite; e a regida pela Lei
n. 10.520/2002, relativa aos pregões.4 Pela Lei de Licitações e Contratos, em seu
art. 40, § 2°, II, constituem anexos do edital o orçamento estimado em planilhas
de quantitativos e preços unitários, ou seja, a Administração Pública é obrigada a
disponibilizar esses valores a priori no edital. Também de acordo com o art. 40, §
1°, “é vedada a utilização de qualquer elemento, critério ou fator sigiloso, secreto,
que [...] possa ainda que indiretamente elidir o princípio da igualdade entre os
licitantes”.5 Portanto, segundo a Lei de Licitações e Contratos, há obrigatoriedade de divulgação do preço de reserva. Diferentemente, reza o art. 3°, III, da Lei
do Pregão, que o orçamento constará dos autos do procedimento licitatório, em
outras palavras, a estimativa de orçamento apenas necessita compor os autos do
processo, não necessariamente o edital. Portanto, nas concorrências, é obrigatório para a Administração Pública o anúncio do preço de reserva, enquanto nos
pregões o anúncio lhe é facultado. Dessa forma entende a Corte de Contas, em
repetidas decisões.6
Recentemente, o Congresso Nacional aprovou o polêmico Regime Diferenciado de Contratação (RDC) para as licitações referentes à Copa do Mundo e às
Olimpíadas, que insere a possibilidade de preço de reserva secreto nas licitações,
ao prescrever, no art. 6°, caput, da Lei n. 12.462/2011, que:
O orçamento previamente estimado para a contratação será tornado público apenas e imediatamente após encerramento da licitação, sem prejuízo da divulgação do detalhamento
dos quantitativos e das demais informações necessárias para a elaboração das propostas.
Nessa discussão, a Teoria de Leilões pode contribuir no sentido de revelar se
os custos de aquisição nas licitações promovidas pela Administração Pública realmente podem ser melhorados com uma política de sigilo nos preços de reserva.
São comuns os argumentos de que caso o preço máximo seja conhecido pelos licitantes estes apresentarão propostas comerciais mais elevadas, próximas do preço
máximo, do que no caso de não saberem do preço máximo. Esse comportamento
é tanto mais provável quanto menor for o número de licitantes concorrentes.
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Economia e Contabilidade do Setor Público ‒ Ângelo Henrique Lopes da Silva
Portanto, este trabalho tem como objetivo utilizar a Teoria de Leilões para
avaliar se há circunstâncias em que leilões de primeiro preço alcançam maior receita esperada com preço de reserva secreto se comparados aos leilões de preço de
reserva anunciado, ou, em linguagem licitatória, se há circunstâncias em que as licitações da Lei n. 8.666/1993 (concorrência, tomada de preços ou convite) podem
alcançar menor custo de contratação quando os preços máximos forem mantidos
em sigilo perante o caso de serem divulgados previamente.
O mecanismo de preço de reserva secreto que ora propomos seria isento
de comportamento oportunista por parte do leiloeiro, no nosso caso, a Administração. O preço de reserva seria previamente estimado e registrado nos autos
do processo licitatório e não estaria sujeito a pedido de vista pelos licitantes.7 Na
seção pública da licitação, junto aos envelopes das propostas dos licitantes, seria
disponibilizado o envelope da proposta de preço de reserva estimado pela Administração, evitando-se também comportamento oportunista por parte do leiloeiro
governamental. Esse mecanismo proporciona, assim, uma propriedade importante em leilões: o compromisso com o valor previamente estabelecido.
Doravante, trabalharemos com leilão de primeiro preço, em que o vencedor
será o de maior proposta. Essa abordagem permite que possamos adaptar melhor o
desenvolvimento deste trabalho à literatura econômica existente, sem, no entanto,
nos afastarmos do âmbito das licitações públicas, haja vista que as conclusões dos
leilões de primeiro preço, seja o vencedor o de maior (abordagem de leilões) ou
o de menor proposta (abordagem licitatória), são equivalentes (CASTRO; FRUTOS, 2010). Em momento futuro apropriado, após a obtenção das conclusões,
retornaremos à abordagem licitatória, bastando, para isso, simplesmente inverter
a métrica de preços.
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Os modelos de leilões, assim como todo modelo econômico, adotam suposições de comportamento dos agentes econômicos. As suposições, ao simplificarem
os modelos, permitem aos estudiosos o desenvolvimento teórico. Esse procedimento é comum às ciências. Nesta seção, tratamos das suposições concernentes à
forma como os licitantes ou jogadores valoram os objetos licitados.
A primeira forma de valoração de licitantes em um leilão é conhecida por
valores privados. Na modelagem com valores privados considera-se que cada
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Economia e Contabilidade do Setor Público ‒ Ângelo Henrique Lopes da Silva
licitante não conhece o valor dos demais licitantes, e, mesmo que soubesse, essa
informação não influenciaria seu próprio valor. Essa suposição é plausível quando
o objeto licitado for destinado ao uso ou ao consumo próprios. Nesses casos, os
licitantes possuem um valor intrínseco pelo bem que independe dos valores de
mercado, a exemplo das obras de arte, como quadros e mobílias, e dos objetos de
coleção, como selos. Essa suposição traz facilidades matemáticas aos modelos que
a adotam. A maioria dos resultados possíveis em Teoria de Leilões já foi obtida
utilizando esse ambiente modelatório.
Entretanto, as suposições da modelagem de valores privados são irrealistas
em muitas situações. Caso os objetos licitados sejam comprados para revenda no
mercado, a modelagem de valores privados estará limitada a descrever o comportamento dos licitantes no leilão. Assim, faz-se necessário sofisticar os modelos de
modo que permitam que os valores entre os licitantes influenciem uns aos outros.
Uma das alternativas nesse caminho é o modelo de valor comum. Nessa espécie
de modelo, o preço do bem leiloado deriva de um preço de mercado, fazendo com
que as valorações individuais propostas pelos licitantes convirjam para um valor
único. Não é difícil entender que essa é a situação mais comum na prática. Assim,
em um leilão de uma planta de geração de energia, os licitantes possuirão valores diferentes, em razão dos próprios estudos de valoração do empreendimento
licitado. Porém, os valores ofertados pelos diversos licitantes tenderão a um valor
único de mercado, pois o valor da energia a ser produzida e o investimento a ser
realizado possuem balizadores de mercado.
Ainda assim, valor comum é um tipo de modelagem específica para o conjunto de situações impostas pelo comportamento dos licitantes. Há duas dimensões que precisam ser consideradas para que definamos, de modo mais geral, a
valoração exercida pelos licitantes: a dependência estatística entre os sinais dos
jogadores e a composição funcional desses sinais para a formação do valor.
Consideramos que cada licitante possui uma informação particular do objeto a ser licitado que o ajuda a valorá-lo, que pode ser proveniente, por exemplo,
de estudos realizados ou, inclusive, de estimativas pessoais rudimentares. Essa
informação do licitante, ou jogador i, é representada por um sinal, uma variável
aleatória Xi, e o valor Vi do objeto será
Vi = vi(X1, X2 , ... XN)
onde vi é a função valoração do licitante i. Essa é uma formulação mais geral, pois a
dependência estatística entre os sinais é qualquer, seguindo uma função densidade
de probabilidade f(X1, ... XN), e o valor de cada jogador depende dos sinais dos
demais jogadores de acordo com a função vi(.). A formulação abrange o modelo
particular de valores privados, bastando fazermos vi(X1, X2 , ... XN) = Vi , no qual o
valor do jogador depende apenas do próprio sinal. Também inclui o modelo par-
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Finanças Públicas ‒ XVI Prêmio Tesouro Nacional ‒ 2011
Economia e Contabilidade do Setor Público ‒ Ângelo Henrique Lopes da Silva
ticular de valor comum, bastando fazermos vi(X1, X2 , ... XN) = v(X1, X2 , ... XN) = V.
Da mesma forma, a formulação pode ser usada para representar modelos afiliados
de Milgrom e Weber (1982). A afiliação, enquanto mantém uma função valoração
vi(.) geral, adota uma espécie de correlação positiva entre os sinais dos jogadores,
em que a probabilidade de um sinal é tanto maior quanto maiores forem os sinais
dos demais.
Tomando por base esses diversos modelos, a Teoria de Leilões desenvolve-se no sentido de auxiliar na escolha do melhor formato de leilões em razão de
vários aspectos, como receita esperada, eficiência, corrupção, conluio, mercado
pretendido, etc. Neste trabalho, o objetivo é verificar, em um modelo mais geral
dos que os existentes atualmente, qual o melhor formato de leilão de primeiro
preço a proporcionar maior receita esperada: o com preço de reserva anunciado
ou o com preço secreto.
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Riley e Samuelson (1981) adotaram uma modelagem de leilões com as
seguintes características: indivisibilidade do bem a ser leiloado, simetria entre
os participantes neutros ao risco e valorações independentes entre eles. Entre
outros achados, concluíram que o vendedor maximizador de sua receita deveria
estabelecer um preço de reserva maior que sua própria valoração. Quanto à revelação do preço de reserva, não haveria diferença entre anunciá-lo ou não no
caso de leilão de segundo preço. Entretanto, no caso de leilão de primeiro preço,
revelar o preço de reserva traria uma receita para o leiloeiro maior ou igual do
que se o preço fosse ocultado.
Em seu artigo seminal, Milgrom e Weber (1982) afirmaram que, em termos
de receita esperada, anunciar o preço de reserva seria sempre melhor que mantê-lo
em sigilo. Os autores inovaram na literatura de leilões ao introduzir a modelagem
de afiliação no contexto de leilões. Segundo eles, a afiliação significa que altas
estimativas de valor por um participante de leilão aumentariam a probabilidade
de a estimativa dos demais ser também elevada. Além disso, a afiliação seria um
modelo de leilão mais geral do que os existentes até então, ou seja, os modelos de
valores privados independentes e de valor comum seriam casos especiais do modelo de afiliação. Os resultados principais deste trabalho foram a caracterização
do equilíbrio em estratégias puras para os modelos afiliados e a obtenção de um
ordenamento entre os diversos tipos de leilões. O leilão inglês, o leilão de primeiro
preço e o leilão de segundo preço apresentariam ordem decrescente de receita esperada. Outro resultado importante apresentado neste artigo foi o estudo do efeito
Finanças Públicas ‒ XVI Prêmio Tesouro Nacional ‒ 2011
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Economia e Contabilidade do Setor Público ‒ Ângelo Henrique Lopes da Silva
da revelação de informação privada pelo leiloeiro. Nos três tipos de leilão citados,
qualquer informação privada revelada pelo leiloeiro aos participantes, entre elas
o preço de reserva, levaria ao aumento da sua receita esperada. Assim, ao dar conhecimento aos participantes sobre seu preço de reserva, no modelo trabalhado
de afiliação, o leiloeiro aumentaria sua receita esperada.
Carey (1993) trabalhou com um leiloeiro comprador de um bem em um
ambiente tradicional de leilão, a saber, valores privados independentes, agentes
simétricos e neutros ao risco. O leilão era de primeiro preço, e o vencedor seria o
que apresentasse o menor lance. O leiloeiro teria a opção de realizar ele mesmo o
serviço por um determinado valor, o preço de reserva, acima do qual não valeria
a pena atribuir a outrem sua realização. Carey concluiu que, em termos de custos
incorridos na contratação, seria preferível para o leiloeiro manter o preço de reserva secreto, uma vez que, ao divulgá-lo, a contratação seria conduzida a preços
iguais ou maiores, a qualquer nível de preço de reserva e de competição.
No entanto, essa conclusão choca-se com os resultados obtidos por Milgrom
e Weber (1982), que afirmaram que os custos de contratação, ao contrário, seriam
maiores caso se mantivesse o preço de reserva em sigilo antes do leilão. Carey
(1993) inseriu o leiloeiro comprador na modelagem de preço de reserva fechado,
igualando sua estratégia de equilíbrio à dos demais jogadores, o que é uma suposição equivocada. Além disso, nota-se que a demonstração não é tão rigorosa, pois a
própria autora adota, segundo suas palavras, uma demonstração heurística.
Em igual ambiente, Elyakime et al. (1994) afirmaram que o preço de reserva público seria melhor que o secreto para efeito de receita esperada. O trabalho foi motivado pelos leilões de madeira, que eram usados para construção
na França. Tais leilões eram de primeiro preço com preço de reserva secreto.
Utilizando desenvolvimento teórico para um ambiente de valores privados independentes e agentes neutros ao risco, os autores demonstraram que a estratégia
de equilíbrio do vendedor leiloeiro seria distinta da dos compradores. A estratégia do vendedor seria a de um lance verdadeiro, ou seja, sua função estratégia
seria a identidade. Diversamente, os compradores apresentariam, em equilíbrio,
lances menores que suas valorações. A solução dessas estratégias de equilíbrio
precisou do uso de integrações numéricas. Os autores demonstraram que o preço de reserva público seria melhor em termos de receita para o leiloeiro do que
um que fosse secreto. Utilizaram-se também de trabalho empírico por meio de
econometria estrutural de leilões para quantificar e confirmar a evidência teórica de que a opção pelo preço de reserva público seria mais vantajosa do ponto
de vista de receita para o leiloeiro.
Segundo Vincent (1995), a teoria tradicional prescrevia que, em leilões de
valor comum, em que o leiloeiro detém a informação privada acerca do valor do
14
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bem, ele poderia aumentar sua receita anunciando o preço de reserva, pois evitaria
a maldição do vencedor, encorajando, assim, a participação com lances maiores.
Mas o que se via, na prática, eram muitos leilões realizados sem divulgação do
preço de reserva. Adotando uma metodologia de teoria dos jogos, em que o leilão
de preço de reserva secreto poderia ser representado como um jogo bayesiano, o
autor mostrou que manter o preço de reserva em sigilo poderia aumentar a receita
em leilões de valor comum por induzir a uma maior participação.
Vincent (1995) estudou a questão do preço de reserva em leilões de segundo preço, propondo uma função utilidade para os compradores de sinal xi igual a
vi(,x-i = axi + (1 – a) Rj≠i xi / (n – 1), que, apesar de não corresponder ao modelo
de afiliação em termos da função valoração, abrangeria os casos de valor comum
e de valores privados caso a fosse, respectivamente, 1/n e 1. Contudo, afastou-se
do modelo geral de afiliação quando modelou não só os sinais xi, como também
o sinal s do vendedor, independentes entre si. Ele concluiu que a receita esperada
para o caso de preço de reserva fechado seria maior do que para o caso aberto nas
situações de valor comum, ou seja, a < 1. A explicação intuitiva para sua modelagem seria o fato de que o preço de reserva, uma vez divulgado, afastaria não só
os compradores com sinal menor que o preço de reserva, mas também os compradores com sinal maior ou igual, desde que suficientemente próximo ao preço
de reserva. A ausência desses jogadores ocasionaria falta de informação para os
jogadores participantes, o que acabaria por comprometer a receita esperada para
o caso aberto. Essa consideração faria com que a receita esperada do leiloeiro, no
caso de preço de reserva fechado, pudesse ser maior, uma vez que, desse modo,
não haveria efeito inibidor na participação.
Brisset e Naegalen (2006) fizeram uma mudança no modelo tradicional ao
estudar o efeito de aversão ao risco dos participantes sobre leilão inglês com preço
de reserva divulgado vis-à-vis o secreto. Estudaram o efeito da revelação do preço
de reserva sobre a receita do leiloeiro em um leilão inglês com participantes avessos ao risco e com valores privados e independentes. Segundo eles, desde que a
aversão relativa constante ao risco fosse suficientemente alta e o leiloeiro pudesse
se comprometer com o preço de reserva, a política de manter em sigilo o preço de
reserva seria ótima. Mas se o leiloeiro não pudesse se comprometer com a fixação
de um preço de reserva, a política de sigilo no preço de reserva sigiloso poderia
não resultar em um equilíbrio bayesiano. Por fim, sugeriram preço de reserva secreto em leilões governamentais, por ter o governo capacidade institucional de
comprometimento com o valor do preço de reserva estabelecido.
Partindo de um modelo de valores privados, sinais independentes e simétricos, Rosenkranz e Schmitz (2007) tomaram emprestado das ciências comportamentais a função utilidade referencial (reference-based utility) para alterar a modelagem padrão de leilões e alcançar conclusões sobre preços de reserva opostas às
Finanças Públicas ‒ XVI Prêmio Tesouro Nacional ‒ 2011
15
Economia e Contabilidade do Setor Público ‒ Ângelo Henrique Lopes da Silva
dos modelos tradicionais. A utilidade referencial teria a forma v-t-f(t-ρ), em que
v seria o tipo; t, o pagamento; ρ, o ponto de referência; e f, um número positivo
pequeno. Se f > 0, teríamos o modelo padrão tratado pela literatura. Mas se f >
0, o comprador teria uma desutilidade em pagar um adicional relativo ao ponto
de referência, que poderia ser, entre outros elementos, o preço de reserva. Baseados no modelo de utilidade referencial, os autores afirmaram que seria vantajoso
para o leiloeiro manter o preço de reserva em sigilo para os leilões de primeiro e
segundo preços.
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Castro (2008) ofereceu um novo ambiente para o modelo de leilões que generalizaria as relações de dependência entre os jogadores, sendo, portanto, um
modelo mais geral que o de afiliação, proposto por Milgrom e Weber (1982), quanto à função de distribuição conjunta dos sinais entre os jogadores. Segundo o autor, “enquanto a existência de equilíbrios monótonos em estratégias puras (MPSE)
é estabelecida para um caso especial de dependência positiva (afiliação), não há
resultados de existência de MPSE com dependência genérica”. Dada essa lacuna,
Castro propôs um novo modelo, chamado de distribuição em malhas (grid distribution), que permitiria generalizar a relação de dependência entre os jogadores.
Ele demonstrou que o modelo de distribuição em malhas sempre teria equilíbrio
em estratégias puras.
Cabe uma melhor explicação quanto à afirmativa de que a distribuição de
malha é mais geral do que o modelo de afiliação. Na verdade, quanto à função valoração dos participantes, o modelo de afiliação é mais geral do que o de distribuição em malhas, pois neste último modelo os valores são privados e independentes
(Figura 1.A). Entretanto, quanto à dependência entre os sinais, o modelo de distribuição em malhas, por conter uma dependência geral entre os sinais, generaliza
os sinais afiliados (Figura 1.B).
Para visualizar melhor a abrangência do modelo ora proposto, podemos
usar a Figura 2. O modelo de afiliação de Milgrom e Weber (1982) utiliza as situações localizadas nos quadrantes A e C, no quais os sinais têm relação de afiliação e
os valores são interdependentes. Por sua vez, o modelo de Castro (2008) utiliza as
situações dos quadrantes A e B, em que os sinais são “em malha” e valores são privados ou independentes. Portanto, as situações do quadrante B são possibilidades
de o modelo de distribuição de malhas gerar resultados que não são alcançados
pelo modelo de afiliação. Logo, se nos restringirmos ao conjunto dos modelos com
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Economia e Contabilidade do Setor Público ‒ Ângelo Henrique Lopes da Silva
função de valoração privada, a afirmativa de generalidade do modelo de Castro
(2008) é válida.
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Fonte: elaboração do autor
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Fonte: elaboração do autor
Trabalhando, portanto, sobre esse conjunto de distribuições mais geral, as
distribuições em malhas, procuramos responder adiante o que seria mais vantajoso para o leiloeiro em termos de receita esperada: revelar ou não o preço
de reserva.
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Sejam n jogadores em um leilão de um bem. Como é costume, podemos
normalizar os tipos dos jogadores para um intervalo [0,1]n. Esses valores encontram-se distribuídos de acordo com a função densidade de probabilidade (fdp)
conjunta f:[0,1]n q ^+. Essa função é simétrica no sentido de que, se r:{1, ..., n} q
{1, ..., n} é uma permutação dos participantes, então f(x1, ..., xn) = f(xr(1), ..., xr(n)).
A função f é geral quanto à dependência entre os tipos (x1, ..., xn), ou seja, ela contempla os casos de independência e de afiliação entre os jogadores.
As funções de distribuição correspondentes aos tipos dos jogadores têm sido
representadas comumente por funções contínuas. Continuidade é uma suposição
que possibilita o melhor desenvolvimento das operações matemáticas, sobretudo
do cálculo diferencial. Todavia, o conjunto de funções de densidade de probabilidade contínuas é um conjunto muito grande para ser representado totalmente.
Dessa maneira, os pesquisadores são levados a estudar resultados de leilões em
subconjuntos muito restritos em relação ao conjunto das funções de densidade
de probabilidade contínuas, a exemplo das funções de densidade que apresentam
afiliação entre os tipos concebidos por Milgrom e Weber (1982). Essa e outras
restrições podem levar a uma representação insuficiente do caso mais geral, o que
pode resultar em conclusões equivocadas se tais conclusões se aplicarem a um
caso particular de dependência, mas não ao caso geral.
Com o objetivo de tratar as funções de densidade do modo mais geral possível, Castro (2008) sugeriu a construção de um modelo com funções de distribuição de malha, que, apesar de simples, são funções gerais. Uma função contínua
qualquer pode ser “discretizada” de modo que, em intervalos iguais e quadrangulares do domínio, ela apresente valores constantes. O número de intervalos na
operação de “discretização” é representado por k. A Figura 3 mostra 1 simulação
de uma distribuição de malha com 2 jogadores de tamanho k = 3, com os seus 9
patamares escalonados de valores da função.
18
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com base em Castro
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Por simplicidade, considere um leilão com dois participantes. Seja D o conjunto
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sobre o espaço dimensional finito D . De fato, D é um conjunto dimensional finito, pois qualquer função de densidade f ‘ D pode ser descrita por uma matriz
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Fonte: CASTRO (2008)
A restrição ao conjunto Dh } ,k‘bD das distribuições não implica nenhuma
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perda de generalidade no problema que ora estudamos. Note que o fechamento L h
é o conjunto de todas as densidades .
Castro (2008) usou essa modelagem para estudar resultados diferentes dos
obtidos na literatura até então. Em seu trabalho, demonstrou que as receitas esperadas dos leilões de primeiro e de segundo preços destoavam dos resultados
considerados na literatura. Esse autor utilizou a modelagem supracitada para
dois compradores.
Este trabalho emprega uma modelagem para n compradores que parte de
Castro (2008). Há naturalmente um paralelismo nos resultados entre os casos para
2 e n compradores. Nosso objetivo é inserir preços de reserva anunciados e secretos no modelo para n compradores.
20
Finanças Públicas ‒ XVI Prêmio Tesouro Nacional ‒ 2011
Economia e Contabilidade do Setor Público ‒ Ângelo Henrique Lopes da Silva
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Com o intuito de compararmos, em leilões de primeiro preço, as receitas
esperadas entre os casos de preço de reserva aberto (ou anunciado) e fechado (ou
sigiloso), as duas etapas seguintes são cumpridas:
a) modelagem de distribuição de malha com n jogadores para preço de
reserva anunciado;
b) modelagem de distribuição de malha com n jogadores para preço de
reserva secreto.
Para cada um dos casos citados seguem-se subetapas similares para a obtenção dos resultados. Em primeiro lugar, gera-se uma realização da densidade
conjunta dos sinais dos jogadores de acordo com o ambiente de distribuição em
malha. Em seguida, busca-se encontrar, para essa particular realização da densidade conjunta, o candidato à estratégia de equilíbrio simétrico em estratégias puras
para leilões de primeiro preço. O candidato à estratégia de equilíbrio é testado
se, realmente, é um equilíbrio Nash-bayesiano e, caso o seja, é levado à próxima
subetapa. Com base nesses equilíbrios, calculam-se as receitas esperadas dado o
preço de reserva (receita esperada ínterim), bem como as receitas esperadas (receita esperada ex-ante). Isso é repetido milhares de vezes, sendo cada simulação
correspondente a uma realização da densidade conjunta dos sinais dos jogadores.
As receitas esperadas desejadas compreendem a média das receitas esperadas ao
longo das simulações anteriores. As receitas esperadas são finalmente comparadas.
A Figura 5 apresenta os passos da modelagem utilizada, que passamos a descrever.
Finanças Públicas ‒ XVI Prêmio Tesouro Nacional ‒ 2011
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Fonte: elaboração do autor
Passo 1
Inicialmente, uma realização da densidade conjunta f ‘ Dk entre os jogadores é obtida aleatoriamente. Essa geração aleatória segue Castro (2008) e Devroye
(1986, citado por Castro, 2008).
Passo 2
A partir da realização de f ‘ Dk, obtêm-se expressões necessárias para o desenvolvimento das estratégias de lance, tais como Fy1|t1 (y|x) e fy1|t1 (y|x), onde x é
o tipo de um jogador 1, y é maior dos tipos dos jogadores diferentes de 1, F(·) é a
função distribuição acumulada condicional e f(·) é a função densidade de probabilidade (Apêndice B).
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Passo 3
Obtidas as
funções
acumulada
e de densidade,
possível
fazerW0'
uso6%2+2:,2'
da mode- 8&+09'
2' D' %26%2+2:,&10'
60%'
$3&' C&%"LC24'
&42&,[%"&'
&' 3&"+'é:0'
301240;'
lagem de leilão duplo de Williams (1991) e Castro e Riascos (2009). No ambiente
de leilões duplos, compradores e vendedores apresentam lances. Tomando o mo2+,&'C&%"LC24'&42&,[%"&'D',%&:+?0%3&1&'23'$3&'80:+,&:,29'6&%&'":80%60%&%'$3'6%2.0'
delo e igualando o número de vendedores a 1, simulamos um leiloeiro único que
apresenta um lance. Esse valor corresponde ao preço de reserva e é representado
12'%2+2%C&'&:$:8"&10'F&6J:1"82'RH;'
por uma variável aleatória a mais no modelo. No caso em pauta, essa variável
aleatória
é transformada
em2'uma
constante para
incorporar
um preço:2$,%&'
de reserva
*&' 30124&#23'
&8"3&'
80:+"12%&:10'
$3&'
?$:./0' $,"4"1&12'
&0' %"+809'
anunciado (Apêndice C).
1-*/"*9' D' 60++OC24' &?"%3&%' A$2' 0' 8&:1"1&,0' \' 2+,%&,D#"&' 12' 2A$"4O-%"0' 6&%&' 6%2.0' 12'
Considerando a modelagem anterior e uma função utilidade neutra ao risco,
u(x) = x, é possível afirmar que o candidato à estratégia de equilíbrio para preço
%2+2%C&'&-2%,0'12'C&40%'2'D'
de reserva aberto de valor r é
௫
௫
ܾሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬െ න ݁‫ ݌ݔ‬൥െ න
௥
ఈ
݂௒భ ȁ௧భ ሺ‫ݏ‬ȁ‫ݏ‬ሻ
݀‫ݏ‬൩ ݀ߙ '
‫ܨ‬௒భ ȁ௧భ ሺ‫ݏ‬ȁ‫ݏ‬ሻ
Nas Figuras 6 e 7, apresentamos uma amostra de curvas de estratégia de
'
equilíbrio para preço de reserva nulo. A primeira figura é um gráfico com cinco
simulações de estratégias de equilíbrio para k = 3 e n = 2, enquanto para a segunda
W&+' ?"#$%&+' ]' 2' ^9' &6%2+2:,&30+' $3&' &30+,%&' 12' 8$%C&+' 12' 2+,%&,D#"&' 12'
figura n = 10.
2A$"4O-%"09' 6&%&' 6%2.0' 12' %2+2%C&' :$40;' I' 6%"32"%&' ?"#$%&' D' $3' #%L?"80' 803' 8":80'
+"3$4&.>2+' 12' 2+,%&,D#"&+' 12' 2A$"4O-%"0' 6&%&' !"#3 23 )"49' 2:A$&:,0' A$29' 6&%&' &'
+2#$:1&'?"#$%&9')"'%;'
!"#
#
!"#$%&'@'
#%A!"50'/+'.")$1&72+.'/+'1&,5+':&%&'!';'6'+'"';'3
Fonte: elaboração do autor
Finanças Públicas ‒ XVI Prêmio Tesouro Nacional ‒ 2011
23
Economia e Contabilidade do Setor Público ‒ Ângelo Henrique Lopes da Silva
!"#$%&'B'
#%A!"50'/+'.")$1&72+.'/+'1&,5+':&%&'!';'6'+'"';'(C
Fonte:
elaboração
do
autor
'5-6/'23',010+'0+'60:,0+'$%&'('2'&'1"?2%2:8"&-"4"1&12'23' ሺͲǡͳሻ̳‫ܣ‬9'23'
$"1&12'12'5-6/'23',010+'0+'60:,0+'$%&'('2'&'1"?2%2:8"&-"4"1&12'23' ሺͲǡͳሻ̳‫ܣ‬9'23'
ǡͳቅ9'6%2C"+,0':0'I6J:1"82'I;'*&'!"#$%&'^'2+628"?"8&32:,29'A$&:10'0'
Podemos comprovar a consistência dos gráficos gerados por algumas eviଵ
ൌ ቄͲǡ ǡ dências.
ǥ ǡͳቅ9'6%2C"+,0':0'I6J:1"82'I;'*&'!"#$%&'^'2+628"?"8&32:,29'A$&:10'0'
A primeira é que as estratégias ou lances de equilíbrio estão, como é de
௞
se esperar, sempre abaixo da reta de inclinação unitária (diagonal do quadrado),
10%2+'D'12'MU9'601230+'80:84$"%'A$2'&'2+,%&,D#"&'12'2A$"4O-%"0',0%:&)
ou seja, o lance de equilíbrio é um valor inferior à valoração do jogador em um
%0'12'=0#&10%2+'D'12'MU9'601230+'80:84$"%'A$2'&'2+,%&,D#"&'12'2A$"4O-%"0',0%:&)
82,OC24' montante
\' C04&,"4"1&12'
1&+' ?$:.>2+'
de H(z).1280%%2:,2'
A segunda é1&'
que&42&,0%"21&12'
é permitido visualizar
de modo fácil a continuidade de\'b(z)
em todos os1280%%2:,2'
pontos [0,1]1&'
e a diferenciabilidade
em ?$:.>2+'
(0, 1)\A, em
2:0+' +$+82,OC24'
C04&,"4"1&12'
&42&,0%"21&12' 1&+'
1_
1&+;'
que A = {0, k , ..., 1}, previsto no Apêndice A. Da Figura 7 especificamente, quando
1&12'#2%&1&+;'
o número de jogadores é de 10, podemos concluir que a estratégia de equilíbrio
se torna menos suscetível à volatilidade decorrente da aleatoriedade das funções
!"##$%(%
densidade geradas.
0' 0' 8&:1"1&,0'\' 2+,%&,D#"&' 12'4&:829' 6%08212)+2' \'&C2%"#$&./0' +2'&'
R&48$4&10' 0' 8&:1"1&,0'\' 2+,%&,D#"&' 12'4&:829' 6%08212)+2' \'&C2%"#$&./0' +2'&'
#"&'D'%2&432:,2'$3'2A$"4O-%"0'W&+5)-&_2+"&:0'23'2+,%&,D#"&+'6$%&+;'
Passo 4
1&'2+,%&,D#"&'D'%2&432:,2'$3'2A$"4O-%"0'W&+5)-&_2+"&:0'23'2+,%&,D#"&+'6$%&+;'
Calculado o candidato à estratégia de lance, procede-se à averiguação se a
&,D#"&'5-.&2/'D'$3'2A$"4O-%"09'2:,/0'
referida
estratégia é realmente um equilíbrio Nash-bayesiano em estratégias puras.
39'+2'&'2+,%&,D#"&'5-.&2/'D'$3'2A$"4O-%"09'2:,/0'
Assim,
se ‫ݎ‬aሻ൯estratégia
é um
ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ‫ ؠ‬Ȇ൫‫ݔ‬ǡ
ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ൯
ሾ‫ݎ‬ǡ ͳሿଶ '
ܾሺ‫ݖ‬ǡ
െ Ȇ൫‫ݔ‬ǡ ܾb(·,r)
൑ Ͳǡequilíbrio,
‫׊‬ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ‫ א‬então
οሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ‫ ؠ‬Ȇ൫‫ݔ‬ǡ ܾሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ൯ െ Ȇ൫‫ݔ‬ǡ ܾሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ൯ ൑ Ͳǡ ‫׊‬ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ‫ א‬ሾ‫ݎ‬ǡ ͳሿଶ,'
em que
23'A$2'
Ȇ൫‫ݔ‬ǡ ܾሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ൯ ൌ ൫‫ ݔ‬െ ܾሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ൯‫ܨ‬௒భȁ௧భ ሺ‫ݖ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ'
Ȇ൫‫ݔ‬ǡ ܾሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ൯ ൌ ൫‫ ݔ‬െ ܾሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ൯‫ܨ‬௒భȁ௧భ ሺ‫ݖ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ'
e
2'
ሺ
24
Finanças Públicas ‒ XVI Prêmio Tesouro Nacional ‒ 2011
௭
ሻ
௭
݂ ሺ‫ݏ‬ȁ‫ݏ‬ሻ௭
௭ ௒భ ȁ௧భ
Ȇ൫‫ݔ‬ǡ ܾሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ൯ ൌ ൫‫ ݔ‬െ ܾሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ൯‫ܨ‬௒భȁ௧భ ሺ‫ݖ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ'
Economia e Contabilidade do Setor Público ‒ Ângelo Henrique Lopes da Silva
2'
௭
௭
ܾሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ ൌ ‫ ݖ‬െ න ݁‫ ݌ݔ‬൥െ න
௥
ఈ
݂௒భ ȁ௧భ ሺ‫ݏ‬ȁ‫ݏ‬ሻ
݀‫ݏ‬൩ ݀ߙ '
‫ܨ‬௒భȁ௧భ ሺ‫ݏ‬ȁ‫ݏ‬ሻ
Portanto, o teste de equilíbrio consiste na busca do ponto máximo da função
70%,&:,09'0',2+,2'12'2A$"4O-%"0'80:+"+,2':&'-$+8&'10'60:,0'3LK"30'1&'?$:./0'
D(x, z) no domínio [r, 1]2 e, caso ele seja positivo, rejeita-se a simulação específica
não representar
Na busca de pontos (x, z) que tornem a função
ሻ':0'103O:"0'
ሾ‫ݎ‬ǡ ͳሿଶequilíbrio.
''29'8&+0'242'+2=&'60+","C09'%2=2",&)+2'&'+"3$4&./0'2+628O?"8&'
οሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬por
D(x, z) > 0, graças a simplificações algébricas do modelo de distribuição de malha,
não é%26%2+2:,&%'
necessário percorrer
todosW&'
os pontos
1]2, masሺapenas
um subconjunto
60%' :/0'
2A$"4O-%"0;'
-$+8&'em
12'[r,60:,0+'
‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ' A$2'
,0%:2' &' ?$:./0'
menor de pontos, o que torna essa busca computacionalmente mais célere e exata.
οሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൐ Ͳ9'
#%&.&+' &'
+"364"?"8&.>2+'&4#D-%"8&+'
10'apenas
301240'12'
12' 3&45&9'
Portanto,
a estratégia
b(·,r) será equilíbrio
no caso1"+,%"-$"./0'
de não se encontrar D(x, z) > 0 no domínio da função (Apêndice D).
:/0' D':282++L%"0' 62%80%%2%' ,010+' 0+' 60:,0'23' ሾ‫ݎ‬ǡ ͳሿଶ 9' 3&+' &62:&+'$3' +$-80:=$:,0'
32:0%'12'60:,0+9'0'A$2',0%:&'2++&'-$+8&'8036$,&8"0:&432:,2'3&"+'8D42%2'2'2K&,&;'''
70%,&:,09' 2+,%&,D#"&' 5-.&2/' &62:&+' +2%L' 2A$"4O-%"09' 8&+0' :/0' +2' 2:80:,%2'
οሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൐ Ͳ':0'103O:"0'1&'?$:./0'FI6J:1"82'*H;'
'
'
!"#
#
!"#$%&'D'
#%A!"50'/0'+E$"1F*%"0',&.9G*&H+."&,0
Fonte: elaboração do autor
A Figura 8 apresenta uma simulação da função D(x, z) para k = 5. A superfície do gráfico evidencia a continuidade em z e a descontinuidade em x nos
pontos A = {0, 1_k, ..., 1}, estando de acordo com o exposto no Apêndice A. Para
que o equilíbrio se confirme, é necessário que toda a superfície D(x, z) esteja
abaixo do hiperplano de nível 0. No exemplo apresentado, percebemos que a
maioria da superfície se encontra abaixo do plano, à exceção dos pontos em
torno de (x, z) = (0,4; 0,4) e (x, z) = (0,8; 0,8). A existência desses dois pontos
implica ausência de equilíbrio.8
8
DYHUGDGHDRVHFRQVLGHUDURHUURQXPpULFRSHUPLWHVHTXHDFRPSDUDomRVHMDUHDOL]DGDQmRFRP]HURPDVFRPXP
1
Q~PHURf!PXLWRSHTXHQRGDRUGHPGHH
Finanças Públicas ‒ XVI Prêmio Tesouro Nacional ‒ 2011
25
Economia e Contabilidade do Setor Público ‒ Ângelo Henrique Lopes da Silva
Passo 5
Se b(·,r) gerado aleatoriamente é equilíbrio, então podemos empregá-lo no
cálculo das receitas esperadas, dado o preço de reserva r (receita esperada ínterim). O pagamento esperado
do leilão de primeiro preço é dado por
௫
ܲଵ ൌ න ௫ܾሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ݂௒భ ȁ௧ ሺ‫ݕ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ݀‫ ݕ‬ൌ ܾሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ‫ܨ‬௒భȁ௧ ሺ‫ݕ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ'
ܲଵ ൌ න଴ ܾሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ݂௒భ ȁ௧ ሺ‫ݕ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ݀‫ ݕ‬ൌ ܾሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ‫ܨ‬௒భȁ௧ ሺ‫ݕ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ'.
଴
I'%282",&'2+62%&1&'10'42"402"%0'D'
A receita esperada do leiloeiro é
I'%282",&'2+62%&1&'10'42"402"%0'D'
ଵ
ܴଵ ൌ ݊ න ଵܲଵ ݂ሺ‫ ݔ‬ሻ݀‫'ݔ‬,
ܴଵ ൌ ݊ න௥ ܲଵ ݂ሺ‫ ݔ‬ሻ݀‫'ݔ‬
௥
onde n é o número de jogadores (Apêndice
E).
B:12':'D'0':Y32%0'12'=0#&10%2+'FI6J:1"82'ZH;'
B:12':'D'0':Y32%0'12'=0#&10%2+'FI6J:1"82'ZH;'
!"##$%)%
Passo 6
!"##$%)%
Calculadas as receitas esperadas, tantas quantos forem os valores diferentes
R&48$4&1&+'&+'%282",&+'2+62%&1&+9',&:,&+'A$&:,&+'?0%23'0+'C&40%2+'1"?2%2:,2+'
de
preço de reserva tomados no passo anterior, obtém-se, então, a receita esperada
R&48$4&1&+'&+'%282",&+'2+62%&1&+9',&:,&+'A$&:,&+'?0%23'0+'C&40%2+'1"?2%2:,2+'
ex-ante, por meio da média das receitas esperadas ínterim ao longo dos valores de
12'6%2.0'12'%2+2%C&',03&10+':0'6&++0'&:,2%"0%9'0-,D3)+29'2:,/09'&'%282",&'2+62%&1&'
preço de reserva escolhidos.
12'6%2.0'12'%2+2%C&',03&10+':0'6&++0'&:,2%"0%9'0-,D3)+29'2:,/09'&'%282",&'2+62%&1&'
7*38)979'60%'32"0'1&'3D1"&'1&+'%282",&+'2+62%&1&+'O:,2%"3'&0'40:#0'10+'C&40%2+'12'
7*38)979'60%'32"0'1&'3D1"&'1&+'%282",&+'2+62%&1&+'O:,2%"3'&0'40:#0'10+'C&40%2+'12'
Passo 7
6%2.0'12'%2+2%C&'2+8045"10+;'
6%2.0'12'%2+2%C&'2+8045"10+;'
Para fins de comparação futura, a mesma função densidade gerada aleato!"##$%*%
riamente no passo 1 é empregada novamente, desta vez para o leilão com preço de
!"##$%*%
reserva
fechado.
7&%&' ?":+' 12' 8036&%&./0' ?$,$%&9' &' 32+3&' ?$:./0' 12:+"1&12' #2%&1&'
7&%&' ?":+' 12' 8036&%&./0' ?$,$%&9' &' 32+3&' ?$:./0' 12:+"1&12' #2%&1&'
&42&,0%"&32:,2'
:0'8 6&++0'
M' D' 236%2#&1&' :0C&32:,29' 12+,&' C2E9' 6&%&' 0' 42"4/0' 803'
Passos
e9
&42&,0%"&32:,2' :0' 6&++0' M' D' 236%2#&1&' :0C&32:,29' 12+,&' C2E9' 6&%&' 0' 42"4/0' 803'
No caso do preço de reserva aberto, a estratégia de equilíbrio foi obtida da
6%2.0'12'%2+2%C&'?285&10;'
transformação
da variável aleatória de lance do leiloeiro em um valor constante
6%2.0'12'%2+2%C&'?285&10;'
correspondente
!"##$#%+%,%-%ao preço de reserva anunciado. No caso do preço de reserva secreto,
utilizamos também a modelagem de leilão duplo, fazendo-se necessária aqui
!"##$#%+%,%-%
aW0'
permanência
desse lance
como variável
representando
o desconheci8&+0' 10' 6%2.0'
12' %2+2%C&'
&-2%,09'aleatória,
&' 2+,%&,D#"&'
12' 2A$"4O-%"0'
?0"' 0-,"1&' 1&'
mento
do valor
do preço
de reserva&-2%,09'
antes da
abertura dos12'
envelopes.
Adotamos
W0' 8&+0'
10' 6%2.0'
12' %2+2%C&'
&' 2+,%&,D#"&'
2A$"4O-%"0'
?0"' 0-,"1&' 1&'
,%&:+?0%3&./0'
1&'
&42&,[%"&'
12'para
4&:82'
10' 42"402"%0'
23'significar
$3' C&40%'
80:+,&:,2'
uma função
deC&%"LC24'
distribuição
uniforme
o leiloeiro,
por esta
a ausên,%&:+?0%3&./0'
1&' C&%"LC24'
&42&,[%"&'
12' 4&:82'e10'
$3' C&40%' 80:+,&:,2'
cia de informação
por parte
dos participantes
por42"402"%0'
facilitar o23'
equacionamento
eo
80%%2+60:12:,2'
&0'computacional.
6%2.0' 12' %2+2%C&'
&:$:8"&10;'
' W0'para
8&+0'
10'
6%2.0' quanto
12' %2+2%C&'
processamento
Portanto,
há incerteza,
cada
licitante,
80%%2+60:12:,2'
6%2.0'
12' %2+2%C&'
' W0' 8&+0'
6%2.0'
12' %2+2%C&'
ao valor do &0'
preço
de reserva,
mas a &:$:8"&10;'
distribuição uniforme
do10'
sinal
do leiloeiro
+28%2,09'
$,"4"E&30+'
,&3-D3'
&' 30124&#23'
42"4/0' 1$6409'
?&E2:10)+2'
:282++L%"&'
U(0,1)
é conhecida
de todos
(Apêndice F).12'
A estratégia
de equilíbrio
candidata
a
+28%2,09'
$,"4"E&30+'
,&3-D3'
&'
30124&#23'
12'
42"4/0'
1$6409'
?&E2:10)+2'
:282++L%"&'
lance de equilíbrio é dada por
&A$"' &' 62%3&:J:8"&' 12++2' 4&:82' 8030' C&%"LC24' &42&,[%"&9' 12' ?0%3&' &' %26%2+2:,&%' 0'
&A$"' &' 62%3&:J:8"&'
12++2'
4&:82'
8030'
C&%"LC24'
Finanças Públicas
‒ XVI Prêmio
Tesouro
Nacional
‒ 2011 &42&,[%"&9' 12' ?0%3&' &' %26%2+2:,&%' 0'
12+80:528"32:,0' 10' C&40%' 10' 6%2.0' 12' %2+2%C&' &:,2+' 1&' &-2%,$%&' 10+' 2:C24062+;'
26
'
'
‫ݎ‬ǡ ‫ ݔ݁ݏ‬൑ ‫'ݎ‬
Economia e Contabilidade do Setor Público ‒ Ângelo Henrique Lopes da Silva
ܾƍ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ'
݂௒భ ȁ௧భ ሺ‫ݔ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ‫ܩ‬൫ܾሺ‫ ݔ‬ሻ൯
‫ݔ݁ݏ‬
൑ ‫'ݎ‬ሺ‫ ݔ‬ሻ൯ሺ‫ ݔ‬െ ܾሻ ሺ‫ ݔ‬െ ܾሻǡ ‫ ݔ݁ݏ‬൐ ܾ'
ሺ
ሻ
‫ܨ‬௒భȁ௧భ ሺ‫ݔ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ‫ܩ‬൫ܾ ሺ‫ ݔ‬ሻ൯ െ ‫ܨ‬௒భ ȁ௧‫ݎ‬ǡ
‫ݔ‬ȁ‫ݔ‬
݃൫ܾ
భ
ܾƍ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ'
'
݂௒భ ȁ௧భ ሺ‫ݔ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ‫ܩ‬൫ܾሺ‫ ݔ‬ሻ൯
ሺ‫ ݔ‬െ ܾሻǡ ‫ ݔ݁ݏ‬൐ ܾ'
‫ܨ‬௒భȁ௧భ ሺ‫ݔ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ‫ܩ‬൫ܾ ሺ‫ ݔ‬ሻ൯ െ ‫ܨ‬௒భ ȁ௧భ ሺ‫ݔ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ݃൫ܾ ሺ‫ ݔ‬ሻ൯ሺ‫ ݔ‬െ ܾሻ
<2'0',"60'10'C2:1210%'D'%26%2+2:,&10'60%'$3&' 1"+,%"-$"./0'$:"?0%32'F‫ ܩ‬ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ
Se o tipo do vendedor é representado por uma distribuição uniforme
'
‫ݔ‬H9'2:,/0'
(G(x)), então
<2'0',"60'10'C2:1210%'D'%26%2+2:,&10'60%'$3&' 1"+,%"-$"./0'$:"?0%32'F‫ ܩ‬ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ
‫ݎ‬ǡ ‫ ݔ݁ݏ‬൑ ‫'ݎ‬
‫ݔ‬H9'2:,/0' ܾƍ ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ'
݂௒భ ȁ௧భ ሺ‫ݔ‬ȁ‫ ݔ‬ሻܾሺ‫ ݔ‬ሻ
ሺ‫ ݔ‬െ ܾሻǡ ‫ ݔ݁ݏ‬൐ ܾ'
ሺ‫ݔ‬ȁ‫ݔ‬൑ሻሺ‫ ݔ'ݎ‬െ ܾሻ
‫ܨ‬௒భȁ௧భ ሺ‫ݔ‬ȁ‫ ݔ‬ሻܾሺ‫ ݔ‬ሻ െ ‫ܨ‬௒‫ݎ‬ǡభȁ௧‫ݔ݁ݏ‬
భ
ܾƍ ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ'
ሺ‫ݔ‬ȁ‫ݔ‬aberto
ሻܾሺ‫ ݔ‬ሻ foi possível uma solução algébrica
'
భ ȁ௧భ
Enquanto para o preço de݂௒reserva
ሺ‫ ݔ‬െ ܾሻǡ ‫ ݔ݁ݏ‬൐ ܾ'
ሻ െ ‫ܨ‬௒భȁ௧భ ሺno
ሻሺ‫ ݔ‬െ
ሻ
‫ܨ‬௒భȁ௧భ ሺ‫ݔ‬ȁ‫ ݔ‬ሻde
ܾሺ ‫ݔ‬
‫ݔ‬ȁ‫ݔ‬caso
para a obtenção da estratégia
equilíbrio,
doܾpreço
de reserva fechado
Z:A$&:,0'
A$29'
6&%&'
6%2.0'
12'
%2+2%C&'
&-2%,09'
?0"'
60++OC24'
$3&'
+04$./0'
fez-se necessário o uso de solução numérica para a equação diferencial
anterior.
' Na Figura 9, mostramos, para uma malha k = 2, o gráfico da estratégia de equilí&4#D-%"8&'6&%&'0-,2:./0'1&'2+,%&,D#"&'12'2A$"4O-%"09':2+,2'8&+0'12'6%2.0'12'%2+2%C&'
brio do leilão fechado em linhas pontilhadas, conjuntamente com as estratégias
Z:A$&:,0'
A$29'
&-2%,09'
60++OC24'
de equilíbrio
do6&%&'
leilão6%2.0'
aberto12'
para%2+2%C&'
preços de
reserva?0"'
iguais
a 0,1; $3&'
0,2; ...;+04$./0'
1 em
?285&109'
?2E)+2'
:282++L%"0'
0'
$+0'
12'
+04$./0'
:$3D%"8&'
6&%&'
&'
2A$&./0'
1"?2%2:8"&4'
linhas cheias.
&4#D-%"8&'6&%&'0-,2:./0'1&'2+,%&,D#"&'12'2A$"4O-%"09':2+,2'8&+0'12'6%2.0'12'%2+2%C&'
&8"3&;' W&' !"#$%&' Q9' 30+,%&30+9' 6&%&' $3&' 3&45&' `aT9' 0' #%L?"80' 1&' 2+,%&,D#"&' 12'
?285&109' ?2E)+2' :282++L%"0' 0' $+0' 12' +04$./0' :$3D%"8&' 6&%&' &' 2A$&./0' 1"?2%2:8"&4'
2A$"4O-%"0'10'42"4/0'?285&109'23'4":5&'60:,"45&1&+9'80:=$:,&32:,2'803'&+'2+,%&,D#"&+'
&8"3&;' W&' !"#$%&' Q9' 30+,%&30+9' 6&%&' $3&' 3&45&' `aT9' 0' #%L?"80' 1&' 2+,%&,D#"&' 12'
12'2A$"4O-%"0'10'42"4/0'&-2%,0'6&%&'6%2.0+'12'%2+2%C&'"#$&"+'&'U9Mb'U9Tb;;;bM9'23'4":5&+'
2A$"4O-%"0'10'42"4/0'?285&109'23'4":5&'60:,"45&1&+9'80:=$:,&32:,2'803'&+'2+,%&,D#"&+'
852"&+;'
12'2A$"4O-%"0'10'42"4/0'&-2%,0'6&%&'6%2.0+'12'%2+2%C&'"#$&"+'&'U9Mb'U9Tb;;;bM9'23'4":5&+'
'
852"&+;'
'
'
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!"#$%&'I'
#
50):&%&780'+,-%+'1&,5+.'/+':%+70'/+'%+.+%?&'.+5%+-0'+'&,$,5"&/0
'
Fonte: elaboração do autor
#
Finanças Públicas ‒ XVI Prêmio Tesouro Nacional ‒ 2011
27
!"#
%2.0'12'%2+2%C&'D':/0':$409'D'Y,"4'1"C$4#L)40'6&%&'A$2'0+'=0#&10%2+9'23'
Economia e Contabilidade do Setor Público ‒ Ângelo Henrique Lopes da Silva
2'0'6%2.0'12'%2+2%C&'D':/0':$409'D'Y,"4'1"C$4#L)40'6&%&'A$2'0+'=0#&10%2+9'23'
242+' 12' ,"60' 6%[K"30' &0' 6%2.0' 12' %2+2%C&9' 60++&3' &6%2+2:,&%' 4&:82+'
quebras
de inclinação
no60++&3'
valor de 0,5
devem-se 4&:82+'
ao fato de ser
' &A$242+' 12' As
,"60'
6%[K"30'
&0' 6%2.0'dos
12'gráficos
%2+2%C&9'
&6%2+2:,&%'
nesse ponto
a divisão
da$3'
malha
k = 2 (fosse
a malha0'de
tamanho
= 3, as quebras
.0' 12' %2+2%C&;'
*2++&'
?0%3&9'
=0#&10%'
A$2' C&40%&'
0-=2,0'
23'kU9M'
em*2++&'
0,333 e ?0%3&9'
0,663). Observa-se
que,
quando
o preço
de reserva
r = 0, os
0' 6%2.0'ocorreriam
12' %2+2%C&;'
$3' =0#&10%'
A$2'
C&40%&'
0' 0-=2,0'
23' U9M'
2'12'U9M9'8&+0'0'6%2.0'12'%2+2%C&'+2=&'&-2%,0'2'12'C&40%'Mb'2:A$&:,0'
lances serão sempre maiores para preço de reserva fechado. Porém, à medida que o
preço de reserva aumenta, os lances para preço de reserva aberto passam a superar
3'4&:82'12'U9M9'8&+0'0'6%2.0'12'%2+2%C&'+2=&'&-2%,0'2'12'C&40%'Mb'2:A$&:,0'
' 12' 6%2.0'
12' %2+2%C&'
4&:82' +2%"&'
:/0'
&6%0C2",LC24'
:0'a reduzidos
gradualmente
os ?285&109'
para preço+2$'
de reserva
fechado.
Isso
ocorre porque,
preços
de 12'
reserva,
a não
divulgação
de4&:82'
tais valores
com
que os jogadores
' 8&+0' 12'
6%2.0'
%2+2%C&'
?285&109'
+2$'
+2%"&' faz
:/0'
&6%0C2",LC24'
:0' de
%"&'&-&"K0'12'U9M;'W0'2:,&:,09'803'6%2.0'12'%2+2%C&'&":1&'%21$E"10'12'
maior tipo apresentem maiores lances ao se depararem com a incerteza do valor
do preço de reserva estabelecido secretamente pelo leiloeiro. Caso o preço de re0"+'+2%"&'&-&"K0'12'U9M;'W0'2:,&:,09'803'6%2.0'12'%2+2%C&'&":1&'%21$E"10'12'
3$",0+'=0#&10%2+'A$29'12C"10'\'":82%,2E&'10'6%2.0'12'%2+2%C&'+28%2,09'
serva seja revelado antes, a tendência dos jogadores é aproximarem seus lances
1&'5L'3$",0+'=0#&10%2+'A$29'12C"10'\'":82%,2E&'10'6%2.0'12'%2+2%C&'+28%2,09'
do valor reduzido do preço de reserva. Podemos verificar esse efeito observando
+'+$62%"0%2+'&0'8&+0'12'+2',2%'6%2.0'12'%2+2%C&'&-2%,09'12'&80%10'803'
que se o leiloeiro fixar o preço de reserva como nulo, mas não divulgá-lo, isso é o
&:82+'+$62%"0%2+'&0'8&+0'12'+2',2%'6%2.0'12'%2+2%C&'&-2%,09'12'&80%10'803'
bastante para provocar lances mais elevados de todos os licitantes.
60+,&':0'6&%L#%&?0'&:,2%"0%;'c'321"1&'A$2'0'C&40%'12'6%2.0'12'%2+2%C&'
Se o preço de reserva é não nulo, é útil divulgá-lo para que os jogadores, em
/0'2K60+,&':0'6&%L#%&?0'&:,2%"0%;'c'321"1&'A$2'0'C&40%'12'6%2.0'12'%2+2%C&'
especial
aqueles de tipo próximo ao preço de reserva, possam apresentar lances
+'0'?&,0%'%2C24&10%'10'6%2.0'12'%2+2%C&'&,$&':0+'4&:82+'&6%0C2",LC2"+'
acima do preço de reserva. Dessa forma, um jogador que valora o objeto em 0,1
&9' 3&"+'0'?&,0%'%2C24&10%'10'6%2.0'12'%2+2%C&'&,$&':0+'4&:82+'&6%0C2",LC2"+'
daria um2'%2+,&3'
lance de 0,1,
caso o=0#&10%2+'
preço de reserva
fosse,"60'
aberto
de valor 1; enquanto
2.0' 12' %2+2%C&H'
32:0+'
12' 3&"0%'
A$2'e60++&3'
caso
de preço
de reserva
fechado
seu lance
não
aproveitável
no leilão,
10' 6%2.0'no
12'
%2+2%C&H'
2'%2+,&3'
32:0+'
=0#&10%2+'
12'seria
3&"0%'
,"60'
A$2' 60++&3'
'+0-'":82%,2E&9'?&E2:10'803'A$2'0'42"4/0'803'6%2.0'12'%2+2%C&'&-2%,0'
pois seria abaixo de 0,1. Entretanto, com preço de reserva reduzido de 0,1, ainda
há muitos jogadores que, devido à incerteza do preço de reserva secreto, dariam
&:82+'+0-'":82%,2E&9'?&E2:10'803'A$2'0'42"4/0'803'6%2.0'12'%2+2%C&'&-2%,0'
#%&1$&432:,2'
+$62%"0%2+'
&0' 8&+0'
?285&10;'
I++"39'
6012)+2'
0-+2%C&%'
lances superiores
àqueles
no caso
de preço
de reserva
aberto,
de acordo com a
situação
exposta
no
parágrafo
anterior.
À
medida
que
o
valor
de
de reserva
&:82+' #%&1$&432:,2' +$62%"0%2+' &0' 8&+0' ?285&10;' I++"39' 6012)+2'preço
0-+2%C&%'
.0+' 12' %2+2%C&'
+$62%"0%2+'
&'
U9]9'
0+'
4&:82+'
10+'
42"4>2+'
803'
6%2.0'
12'
aumenta, mais o fator revelador do preço de reserva atua nos lances aproveitáveis
%&' 6%2.0+'
12' %2+2%C&'
U9]9' 0+'menos
4&:82+'jogadores
10+' 42"4>2+'
803'tipo
6%2.0'
(acima
do preço+$62%"0%2+'
de reserva),&'restando
de maior
que12'
possam
0'+/0'+236%2'32450%2+'10'A$2'0+'803'6%2.0'12'%2+2%C&'?285&10;'
elevar lances sob incerteza, fazendo com que o leilão com preço de reserva aberto
&-2%,0'+/0'+236%2'32450%2+'10'A$2'0+'803'6%2.0'12'%2+2%C&'?285&10;'
tenha lances gradualmente superiores ao caso fechado. Assim, pode-se observar
./%
que, para preços de reserva superiores a 0,6, os lances dos leilões com preço de
"##$%./%reserva aberto são sempre melhores do que os com preço de reserva fechado.
+30'3010'A$2'0'6&++0'G9'12'60++2'10'8&:1"1&,0'\'2+,%&,D#"&'12'4&:829'
0'32+30'3010'A$2'0'6&++0'G9'12'60++2'10'8&:1"1&,0'\'2+,%&,D#"&'12'4&:829'
' &C2%"#$&./0' Passo
+2' &' %2?2%"1&'
2+,%&,D#"&' D' %2&432:,2' $3' 2A$"4O-%"0' W&+5)
10
)+2' \' &C2%"#$&./0' +2' &' %2?2%"1&' 2+,%&,D#"&' D' %2&432:,2' $3' 2A$"4O-%"0' W&+5)
Do mesmo modo que o passo 4, obtido o candidato à estratégia de lance,
3'2+,%&,D#"&+'6$%&+;'I++"39'+2'&'2+,%&,D#"&'5-./3D'$3'2A$"4O-%"09'2:,/0'
procede-se à averiguação se a referida estratégia é realmente um equilíbrio Nash:0'23'2+,%&,D#"&+'6$%&+;'I++"39'+2'&'2+,%&,D#"&'5-./3D'$3'2A$"4O-%"09'2:,/0'
Assim,
a estratégia
ሻ ‫ ؠ‬Ȇ൫‫ݔ‬ǡ ܾሺem
ሻ൯ ൑ Ͳǡ
ሻ‫א‬
ሾͲǡͳሿଶ ' b(·) é um equilíbrio, então
οሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬-bayesiano
‫ݖ‬ሻ൯estratégias
െ Ȇ൫‫ݔ‬ǡ ܾሺ‫ݔ‬puras.
‫׊‬ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬se
οሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ‫ ؠ‬Ȇ൫‫ݔ‬ǡ ܾሺ‫ݖ‬ሻ൯ െ Ȇ൫‫ݔ‬ǡ ܾሺ‫ ݔ‬ሻ൯ ൑ Ͳǡ ‫׊‬ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ‫ א‬ሾͲǡͳሿଶ ',
2'
em que
3'A$2'
Ȇ൫‫ݔ‬ǡ ܾሺ‫ݖ‬ሻ൯ ൌ ൫‫ ݔ‬െ ܾሺ‫ݖ‬ሻ൯‫ܨ‬௒భ ȁ௧భ ሺ‫ݖ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ‫ܩ‬൫ܾ ሺ‫ݖ‬ሻ൯'.
ሻ൯' distribuição uniforme (G(x)
൫‫ ݔ‬െ ܾሺ‫ݖ‬éሻ൯
Ȇ൫‫ݔ‬ǡ
ܾሺ‫ݖ‬ሻ൯
‫ܨ‬௒భ ȁ௧భ ሺ‫ݖ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ‫ܩ‬൫ܾ
Se
o tipo
do ൌ
vendedor
representado
porሺ‫ݖ‬uma
ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ
60'10'C2:1210%'D'%26%2+2:,&10'60%'$3&'1"+,%"-$"./0'$:"?0%32'F‫ܩ‬
= x), então
2'0',"60'10'C2:1210%'D'%26%2+2:,&10'60%'$3&'1"+,%"-$"./0'$:"?0%32'F‫ ܩ‬ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ
0'
28
Finanças Públicas ‒ XVI Prêmio Tesouro Nacional ‒ 2011
Ȇ൫‫ݔ‬ǡ ܾሺ‫ݖ‬ሻ൯ ൌ ൫‫ ݔ‬െ ܾሺ‫ݖ‬ሻ൯‫ܨ‬௒ ȁ௧ ሺ‫ݖ‬ȁ‫ ݔ‬ሻܾሺ‫ݖ‬ሻ'
"60'10'C2:1210%'D'%26%2+2:,&10'60%'$3&'1"+,%"-$"./0'$:"?0%32'F‫ ܩ‬ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ
?$:./0' οሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ' :0' 103O:"0' ሾͲǡͳሿଶ' 29' 8&+0' 242' +2=&' 60+","C09' %2=2",&)+2' &' +"3$4&./0'
Economia e Contabilidade do Setor Público ‒ Ângelo Henrique Lopes da Silva
2+628O?"8&' 60%' :/0' %26%2+2:,&%' 2A$"4O-%"0;' *"?2%2:,2' 10' 8&+0' 803' 6%2.0' 12' %2+2%C&'
Ȇ൫‫ݔ‬ǡ ܾሺ‫ݖ‬ሻ൯ ൌ ൫‫ ݔ‬െ ܾሺ‫ݖ‬ሻ൯‫ܨ‬௒భȁ௧భ ሺ‫ݖ‬ȁ‫ ݔ‬ሻܾሺ‫ݖ‬ሻ.'
&-2%,09' &' +04$./0' 60++OC249' :0'
6%2+2:,2' 8&+09' D' &62:&+' &' :$3D%"8&' 60%' 32"0' 1&'
A função b(z) é a solução da equação diferencial dada pelo
!!"passo 9, substituindo-se
x
por
z.
O
teste
de
equilíbrio
consiste
na
busca
do
ponto
máximo da
3&K"3"E&./09'60%'8L48$40':$3D%"809'1&'?$:./0'οሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ;'I'2+,%&,D#"&'5-./'&62:&+'+2%L'
2
função D(x, z) no domínio [0,1] , e, caso ele seja positivo, rejeita-se a simulação
específica por não representar ሺequilíbrio.
Diferentemente da situação com preço
2A$"4O-%"09'8&+0':/0'+2'2:80:,%2'ο
‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൐ Ͳ':0'103O:"0'1&'?$:./0'FI6J:1"82'dH;'
de reserva aberto, a solução possível, neste caso, é apenas a numérica por meio da
!"##$%..% por cálculo numérico, da função D(x, z) . A estratégia b(·) será equimaximização,
líbrio apenas se não se encontrar D(x, z) > 0no domínio da função (Apêndice G).
<2' 5-./' #2%&10' &42&,0%"&32:,2' D' 2A$"4O-%"09' 2:,/0' 601230+' 236%2#L)40' :0'
Passo 11
8L48$40'1&+'%282",&+'2+62%&1&+9'1&10'6%2.0'12'%2+2%C&'
2'F%282",&'2+62%&1&'O:,2%"3H;'
Se b(·) gerado aleatoriamente é equilíbrio, então podemos empregá-lo no
I' %282",&' 2+62%&1&' 10' 42"4/0' 12' 6%"32"%0' 6%2.09' 6&%&' 0' 8&+0' 12' 6%2.0' 12' %2+2%C&'
cálculo das receitas esperadas, dado o preço de reserva r (receita esperada ínterim). A receita esperada do leilão de primeiro preço, para preço de reserva sigilo+"#"40+09'D'1&1&'60%'
so, é dada por
ଵ
ܴଵ ൌ ݊ න ܾሺ‫ ݔ‬ሻ‫ܨ‬௒భȁ௧భ ሺ‫ݔ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ݂௧భ ሺ‫ ݔ‬ሻ݀‫'ݔ‬,
௥
onde
n é o número de jogadores (Apêndice H).
0:12')'D'0':Y32%0'12'=0#&10%2+'FI6J:1"82'eH;'
Para vários valores de preço de reserva, a receita esperada calculada aqui é
7&%&'CL%"0+'C&40%2+'12'6%2.0'12'%2+2%C&9'&'%282",&'2+62%&1&'8&48$4&1&'&A$"'D'
comparada àquela do passo 5, com preço de reserva aberto.
8036&%&1&'\A$24&'10'6&++0'f9'10'8&+0'803'6%2.0'12'%2+2%C&'&-2%,0;'
Passo 12
!"##$%.&%
Do mesmo modo que o passo 6, calculadas as receitas esperadas, tantas
quantos
forem 3010'
os valores
diferentes
de]9'
preço
de reserva
tomados
no2+62%&1&+9'
passo anterior
*0' 32+30'
A$2'
0' 6&++0'
8&48$4&1&+'
&+'
%282",&+'
,&:,&+'
11, obtém-se a receita esperada ex-ante por meio da média das receitas esperadas
ínterim ao longo dos valores de preço de reserva escolhidos.
A$&:,&+'?0%23'0+'C&40%2+'1"?2%2:,2+'12'6%2.0'12'%2+2%C&',03&10+':0'6&++0'&:,2%"0%'
A cada geração aleatória ou simulação da função densidade conjunta dos
MM9'0-,D3)+2'&'%282",&'2+62%&1&'7*38)979'60%'32"0'1&'3D1"&'1&+'%282",&+'2+62%&1&+'
tipos dos jogadores, segundo a modelagem de distribuição de malha, os passos 1
a 12 são executados computacionalmente.
O:,2%"3'&0'40:#0'10+'C&40%2+'12'6%2.0'12'%2+2%C&'2+8045"10+;'
Ao longo dos milhares de simulações realizados, são calculadas médias
das receitas calculadas nos passos 5, 6, 11 e 12 com o objetivo de comparar as
receitas esperadas ínterim e ex-ante. As comparações estão demonstradas na
próxima seção.
!"#
#
Finanças Públicas ‒ XVI Prêmio Tesouro Nacional ‒ 2011
29
Economia e Contabilidade do Setor Público ‒ Ângelo Henrique Lopes da Silva
N&(#)9/3+'%)
Em virtude de sua natureza simulatória, aspectos importantes deste trabalho
foram a eficiência na execução dos milhares de simulações em termos de tempo de
processamento e a precisão requerida para os resultados.
Três fatores definem a eficiência em termos de processamento em trabalhos
dessa natureza: software, hardware e algoritmos. Para a consecução deste trabalho,
utilizamos como software numérico o MatLab 7.8.0 (R2009a). O MatLab mostrou-se uma ferramenta eficiente para executar os inúmeros cálculos matriciais e diferenciais necessários.
Apesar das escolhas adequadas em termos de recursos computacionais e de
algoritmos, o número de simulações não pôde ser elevado em demasia em razão
do tempo de produção deste trabalho. Dado o número de módulos computacionais a serem executados em repetição, realizamos o número factível e suficiente
de 10 mil simulações para cada caso de k e n. Além disso, a precisão numérica que
estabelecemos para o cálculo numérico das equações diferenciais foi de 1e-18; o
das integrações, de 1e-5; e para o das maximizações de funções no ^2, de 1e-6.
De posse das formulações construídas na modelagem, podemos calcular as
estratégias de equilíbrio, testá-las e calcular as receitas esperadas para os leilões de
primeiro preço com preço de reserva aberto ou fechado. Com o objetivo de traçar
uma curva de receita esperada em função de preços de reserva, podemos tomar
um conjunto de valores de preço de reserva. Por razões de limite computacional,
optamos por encontrar equilíbrios e calcular receitas esperadas para 51 preços de
reserva distribuídos de modo equidistante no intervalo (0,1).
No confronto final dos resultados, são consideradas tão-somente as simulações para as quais é confirmado o equilíbrio Nash-bayesiano, ou seja, serão calculadas as receitas esperadas mais adiante apenas para as simulações que gerarem
cumulativamente equilíbrio nos casos de preço de reserva fechado e aberto.9 Portanto, é salutar evidenciar o quantitativo de simulações utilizadas para diferentes
valores de k e n. Na Tabela 1, mostramos um total de 10 mil simulações para cada
valor de k (colunas) e n (linhas). Podemos observar que, quanto maior k, muito
mais difícil será encontrar uma simulação com o equilíbrio estudado. A aleatorien
dade dos valores dos elementos na lista [i] ‘^k gera uma volatilidade, que cresce
à medida que k aumenta. Isso faz com que seja cada vez mais difícil encontrar
30
RWHVWHGHHTXLOtEULRHPTXHDGLIHUHQoDGH"-S0TT1QmRSRGHVHUSRVLWLYDXWLOL]DPRVSDUDHIHLWRGHFiOFXORQXPpULFR
1
XPDWROHUkQFLDGHHDEDL[RGRTXDODLQGDSRGHULDVHUFRQVLGHUDGRHTXLOtEULR2FULWpULRGHDFHLWDomRGRHTXLOtEULR
pGHTXHHOHH[LVWDSDUDRFDVRHPTXHRSUHoRGHUHVHUYDIRU]HUR2HTXLOtEULRSDUDRFDVRGHSUHoRGHUHVHUYDQXORp
RFDVRPDLVFRQVHUYDGRURXVHMDFDVRKDMDHTXLOtEULRSDUDWDOFDVRWHUHPRVHTXLOtEULRSDUDWRGRVRVRXWURVSUHoRVGH
UHVHUYD
Finanças Públicas ‒ XVI Prêmio Tesouro Nacional ‒ 2011
Economia e Contabilidade do Setor Público ‒ Ângelo Henrique Lopes da Silva
equilíbrio nas simulações, embora sempre exista o equilíbrio, como demonstrado por Castro (2009). O mesmo efeito acontece com o aumento do número de
jogadores n, mas em menor magnitude. Os saltos que ferem esse comportamento
decrescente monótono do número de equilíbrios, a exemplo de 6.044 (em n = 4;
k = 2) para 6049 (em n = 5; k = 2), são decorrentes, naturalmente, da aleatoriedade das simulações geradas. Essa distorção tende a desaparecer se aumentarmos o
número de simulações. Dado o reduzido número de equilíbrios para k = 4, apresentaremos, doravante, os resultados apenas para k = 2 e 3.
-&*+1&'('
,J)+%0'/+'+E$"1F*%"0.
8
4
9
:
<
;
9
;"9<<
:
<<;
Fonte: elaboração do autor
Agregaremos, por meio de uma média aritmética simples, as receitas esperadas ao longo das simulações que apresentaram equilíbrio. Assim, teremos 51
receitas esperadas médias para os leilões com preço de reserva aberto e fechado
correspondentes aos preços de reserva calculados. Essas são receitas ínterim, que
correspondem a receitas esperadas, dado o valor do preço de reserva estabelecido
pelo leiloeiro, conhecido ou não pelos jogadores. Os resultados para n = 2, 3,..., 7
encontram-se expostos na Figura 10, para k = 2, e na Figura 11, para k = 3.
Dois fatores contrários acontecem na receita esperada do leilão aberto à medida que o preço de reserva aumenta. A adoção de um preço de reserva não nulo
garante que a receita do vendedor, caso venda o bem, não seja menor que o referido valor de preço de reserva, o que acarreta um efeito de maior receita esperada.
Por outro lado, o preço de reserva acaba por eliminar os jogadores de menor tipo,
reduzindo o nível de participação no leilão e, por conseguinte, gerando menor
efeito de receita esperada. Outra maneira de ver o efeito do nível de participação
é perceber que a probabilidade de lance acima do preço de reserva (lance aproveitável) diminui à medida que este aumenta. Por conta desses dois fatores, o de
truncagem do pagamento e o de redução do nível de participação, o comportamento
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da receita esperada do vendedor versus o preço de reserva é uma curva côncava
que apresenta um ponto de máximo. Ela é ascendente, enquanto o fator de truncagem do pagamento sobre a receita esperada é maior que o fator da redução de
participação. Ao atingir o máximo, o segundo fator iguala-se e, daí em diante,
torna-se superior ao primeiro fator, o que gera a curva descendente até atingir a
receita esperada nula, quando o preço de reserva é suficientemente próximo do
valor máximo unitário.
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Fonte: elaboração do autor
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Fonte: elaboração do autor
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Economia e Contabilidade do Setor Público ‒ Ângelo Henrique Lopes da Silva
No caso do leilão de preço de reserva fechado, os jogadores, mesmo aqueles
de menor tipo, não se abstêm inicialmente de dar seus lances, pois desconhecem
o preço de reserva estabelecido a priori. Seus lances são invalidados a partir da
revelação a posteriori do preço de reserva, caso este seja maior. Há, pois, o fator de
diminuição de ocorrência de lance aproveitável sobre a receita esperada, haja vista
que, assim como no leilão de preço de reserva aberto, à medida que aumenta o
preço de reserva a probabilidade de lance acima do preço de reserva diminui.
Comparando-se as duas curvas de receita esperada para 2 jogadores, observa-se uma nítida superioridade da receita do leilão de preço de reserva fechado
para valores inferiores de preço de reserva. A incerteza quanto ao valor do preço
de reserva estabelecido secretamente pelo leiloeiro faz com que os lances dos jogadores sejam maiores para a maior parte dos seus tipos, como pode ser visto na Figura 9 para preços de reserva reduzidos. Assim, apenas pelo fato de não anunciar
qual valor foi estabelecido como preço de reserva, um leilão de preço de reserva
secreto de valor zero aufere maior receita esperada comparada ao leilão com preço
de reserva em que os jogadores sabem abertamente seu preço zero. Essa vantagem
do leilão fechado sobre o aberto diminui à medida que o preço de reserva se eleva.
A partir de um valor de preço de reserva, essa relação se inverte, tornando a receita
esperada do leilão aberto maior do que a do fechado, até ambos, naturalmente,
anularem-se, quando o preço de reserva for o máximo unitário.
Pode-se concluir ser melhor um leilão fechado para valores de preço de reserva reduzidos e um leilão aberto para valores de preço de reserva elevados. Caso
o preço de reserva seja reduzido e enquanto tal valor não deteriore as chances de
lances aproveitáveis, um leilão fechado permite que os jogadores se aventurem
mais em seus lances, dada a incerteza do preço de reserva secreto. Caso o preço de
reserva seja elevado, as chances de lances aproveitáveis deterioram-se exacerbadamente, sendo preferível a divulgação do preço de reserva para garantir que aqueles
jogadores de tipo maior possam dar lances suficientemente altos para superar o
preço de reserva.
Podemos também extrair comparações importantes das curvas em função
do número de jogadores. As receitas esperadas, como era de se desejar, elevam-se
quando o número de jogadores n aumenta, demonstrando a importância do fator
concorrencial. Esse fator também pode ser depreendido da aproximação entre as
curvas de leilão aberto e fechado, à medida que aumenta o número de jogadores,
ou seja, a maior concorrência exerce dois efeitos: o de maior receita esperada generalizada e o de indiferença na escolha entre os leilões aberto e fechado.
Devemos frisar que a modelagem apresentada anteriormente se fundamenta em jogos não cooperativos entre jogadores simétricos, ou seja, o estudo
não abrange as ocorrências de conluio e insider information entre os jogadores.
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No entanto, quanto à situação de conluio, podemos, ainda assim, concluir do mesmo modo para o comportamento das receitas esperadas para leilões aberto e fechado. Podemos emular um conluio por meio da presença de um único jogador
no leilão, este a representar por um único lance o acordo firmado previamente
entre os conluiados.10 Perceba-se que se o preço de reserva for revelado esse único
jogador sempre apresentará lance igual ao preço de reserva fixado pelo leiloeiro.
Mas com preço de reserva secreto o risco é de não haver lances aproveitáveis no resultado final do leilão. A conjugação desses dois fatores leva a um comportamento
similar aos exemplos dos casos de n v 2 jogadores anteriormente descritos. Com
um único jogador, podemos compreender o resultado como uma extrapolação do
caso de n = 2 jogadores. A Figura 12 demonstra o comportamento de um único
jogador em um leilão de primeiro preço, considerando uniformes as distribuições
do sinal desse jogador e do preço de reserva (Apêndice I).
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Fonte: elaboração do autor
Por fim, vale ressaltar que todas as receitas esperadas citadas neste estudo
correspondem a receitas esperadas ínterim, ou seja, a receita esperada é calculada
para valores determinados de preço de reserva. Em contraposição, a receita esperada ex-ante, considerando-se todos os possíveis valores de preço de reserva, pode
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ser obtida com base na média dos valores de receita esperada ao longo das curvas
obtidas para os distintos preços de reserva.11 Desse modo, podemos comparar as
receitas esperadas dos leilões aberto e fechado (Tabela 2).
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Vê-se que as receitas esperadas ex-ante possuem diferenças na casa dos décimos de milésimo, indicando a igualdade numérica entre as receitas. Reforça essa
afirmativa o fato de, em simulações complementares, as receitas esperadas ex-ante
convergirem ainda mais quando aumentamos o número de preços de reserva na
interpolação e tornamos o cálculo da receita esperada mais preciso.
Essa igualdade das receitas esperadas entre os leilões aberto e fechado não
confronta os resultados encontrados por Milgrom e Weber (1982), pois eles afirmaram que a receita esperada ex-ante do leilão aberto seria maior ou igual à do
fechado, e, neste estudo, encontramos a igualdade entre as receitas. Tal resultado
provém da simplificação feita quando da introdução do sinal do leiloeiro, no qual
fizemos o citado sinal independente estatisticamente dos sinais dos jogadores (demonstração do Teorema F no Apêndice F). O princípio da ligação (linkage principle) (KRISHNA, 2010) justifica o fato de nosso desenvolvimento ter resultado
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em igualdade, pois a independência entre os sinais do leiloeiro e os sinais dos
jogadores implica igualdade das receitas esperadas.12
A maior contribuição deste estudo encontra-se na revelação do comportamento das receitas esperadas ínterim, dependentes de distintos valores de preço
de reserva. Assim, os resultados encontrados desvendam as situações em que a
receita esperada do leilão fechado é maior que a do aberto e vice-versa. Esse comportamento dicotômico acontece para o conjunto amplo de todas as funções densidade de probabilidade pretendido pelo estudo, incluindo-se aí os casos em que
as funções são afiliadas.
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Com o objetivo de comparar os leilões de primeiro preço com preço de reserva anunciado e sigiloso em termos de receita esperada, adotamos modelo mais
geral denominado de distribuição em malha, na expectativa de gerarmos conclusões adicionais ou divergentes às encontradas pelo modelo de afiliação por Milgrom e Weber (1982). Os resultados obtidos não tiveram o poder de contrapor-se
aos resultados dos citados estudiosos, pois simplificações realizadas no desenvolvimento do modelo geral acabaram por impossibilitar tal intuito. Todavia, resultados adicionais podem ser acrescidos à literatura de leilões acerca das receitas
esperadas ínterim, estas não tratadas por Milgrom e Weber (1982).
Em leilões de primeiro preço, a comparação das receitas esperadas entre as
opções de preço de reserva anunciada e secreta mostra-se ambígua, dependendo
do preço de reserva estabelecido pelo leiloeiro. A receita esperada é maior para
preço de reserva sigiloso, quando o valor do preço de reserva é reduzido, enquanto
ela é maior para preço de reserva anunciado, quando o valor do preço de reserva
é elevado. Portanto, a opção pelo preço de reserva sigiloso apresenta-se mais vantajosa nas situações de preço de reserva reduzido, devido ao fato de a incerteza do
seu valor levar os jogadores de maior tipo a oferecerem lances maiores do que na
situação de preço de reserva anunciado. Contudo, à medida que o preço de reserva
aumenta, esse efeito é neutralizado pelo maior risco de não termos mais lances
aproveitáveis, ou seja, aqueles acima do valor de preço de reserva, o que torna a
opção pelo preço de reserva anunciado melhor em termos de receita esperada.
Adicionalmente, quando o número de jogadores no leilão aumenta, em contexto
de maior competição, a diferença entre as opções sigilosa e anunciada reduz-se
gradativamente, tornando cada vez mais indiferente a escolha entre uma ou outra
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opção. O conluio, representado na modelagem por um único jogador, não altera
os resultados já descritos.
Transportando a linguagem da Teoria de Leilões para as licitações públicas,
podemos depreender alguns ensinamentos importantes. Nas concorrências, quanto maior for o preço de referência, maior a possibilidade de que menores custos de
contratação sejam obtidos com a opção pelo preço de referência sigiloso vis-à-vis
o divulgado. Na prática, sabe-se que a Administração Pública, costumeiramente,
não conhece tão bem o mercado em que opera quanto os licitantes, e, em razão
desse desconhecimento parcial e/ou por conservadorismo devido ao temor de licitação deserta ou fracassada, tende a adotar preços de referência mais elevados
dentro da faixa de preços possíveis. Essa lógica leva à recomendação de que as
concorrências públicas deveriam optar preferencialmente por certames com preço
de referência sigiloso em prol de menores custos de aquisição de obras, materiais
e serviços. Logo, o advento do recente Regime Diferenciado de Contratação para
licitações da Copa do Mundo e das Olimpíadas pode ser benéfico economicamente para a Administração Pública, em virtude, particularmente, do caráter sigiloso
dos preços de referência contidos nos orçamentos licitatórios.
Trabalhos futuros podem melhorar os resultados aqui alcançados. Inicialmente, o modelo de distribuição de malha pode ainda ser aprimorado ao impor
à geração dos dados que as funções de distribuição geradas sejam mais suaves, o
que exigirá maior capacidade de processamento computacional. No modelo, há
espaço para inserir alguma dependência entre o leiloeiro e os participantes do leilão, o que demandará modificações nas expressões das funções de distribuição de
malha. Adicionalmente, a inclusão de custo de participação no leilão pode levar a
outros resultados quanto às vantagens de se aumentar o número de participantes.
Por fim, a existência de alguns participantes conhecedores do preço de reserva
sigiloso (insider information) deve exigir a quebra da simetria da modelagem.
(#Q#"C82-+)
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௞
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[0,1],
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que
x
‘
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ሿ
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‫א‬
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9'
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x
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‘
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12?":"30+'
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՜ ࣞ'
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que associa
para
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23' A$2' ߙ 8030'&',%&:+?0%3&./0'A$2'&++08"&'6&%&'8&1&'݂
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೔ ቃ9'para
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ሼͳǡ
de
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OB'termo
vem do
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ǥ
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,2%30' k!+0-%2'
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ሺ,01&+'
ሺ݂...,
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quadrado
tem volumeΤ1/k
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as
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௞
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݇
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௜ୀଵ
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é,
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(
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௞
௞
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são
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௠ሿCastro
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ሻΤ' ݇D'
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ൌ ͳ9'ς‫࢞׊‬
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9'೔ ቃ',23'C04$32'ͳ
"+,0'
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6&%&' ,01&+'
&+' A12:+"1&12+'
݂ ‫א‬argumentos
ࣞ9' ܶ ଵ ሺ݂ሻሺ࢞ሻutilizados
&8"3&'C23'10'?&,0'12'A$2'8&1&'A$&1%&10'
;'W0,2'A$2'
௜ୀଵ
ς௜ୀଵ
Τ݇ ௡ ;'W0,2'A$2'
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ሾͲǡͳሿ௡ ;'
௞ ೔ ିଵ
௞
"+,%"-$"./0'$:"?0%32'23'
௡
௞ equilíbrio
ς௜ୀଵ ቀde
Τ݇ ௡crescente,
em Teoria
dos Leilões.
Seja
b:[0,1]
q
]
um
lance
simétrico
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;'W0,2'A$2'
௞
௞
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ଵ
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ଵ
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inversa,
b ͳ9'
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t
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ሻ;'
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40 Finanças Públicas ‒ XVI Prêmio Tesouro Nacional ‒ 2011
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Economia e Contabilidade do Setor Público ‒ Ângelo Henrique Lopes da Silva
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ఈ
e que, além disso, caso exista, será ele único.
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Dadas as mesmas condições do resultado anterior, o equilíbrio simétrico
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todo lugar,
mais precisamente, b é diferenciável em (0,1)\0, em que A é o conjunto {0, 1_k , ..., 1},
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equilíbrio
neste
trabalho. 23' ?$:./0' 12' 10"+' 6&%l32,%0+9' &' +&-2%9' 0' ,"60' 12' $3'
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Por
meio
dessas
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extraem-se
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densidade,
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ൌ ॴ൫ߙ௝ +2'
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<2=&'C-*&+&A/'
C-*&+&A/'
80:=$:,0'
,&"+'
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que
|P| ȁdenota
o número
de elementos
de P e i =12'
(i1,A'
...,2'in)࢏ éൌtal
); A$2'
:1"82+9'0$'+2=&9'
ሺ݅ଵque
ǡ ǥ ǡi݅1௡=ሻ'II(a
D' ,&4'
23'
A$2'
ܲȁ12:0,&'
0' :Y32%0'
12' 24232:,0+'
O:1"82+9'0$'+2=&9'
i
O:1"82+9'0$'+2=&9'
O:1"82+9'0$'+2=&9'
ij = m, se j e P; ij = II(ai), se j e P C. Seja I(x, y, P) o conjunto de tais índices, ou seja,
஼ ൟ' ,&"+'
ሺ݅ൌ
ǡǥ
ൌ
‫ݔ‬ሻॴॴ൫ߙ
Ǣሺ݅‫ݔ‬
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ൌ
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ൌ
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ሻ0'
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ǣ ǣ݅݅ଵ݅ॴ௝ሺൌ
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ൌ
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‫݆݁ݏ‬
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ൌ
݅
‫ܲ א‬ൟ'஼ ൟ'
‫ ܫ‬ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ܲሻ ‫ ؠ‬൛࢏ ൌ ሺ݅ଵଵǡ ǥ ǡ ݅௡௡ሻǣ ݅ଵଵ ൌ ॴሺ‫ݔ‬ሻǢ ݅௝௝ ൌ ॴሺ‫ݕ‬ሻǡ ‫ܲ א ݆݁ݏ‬Ǣ௝݅௝ ൑ ॴሺ‫ݕ‬ሻ െ ͳǡ ‫݆݁ݏ‬
B,:"'NM@'*&1&+'12?":".>2+'&8"3&9',230+'A$2@'
O:1"82+9'0$'+2=&9'
B,:"'NM@'*&1&+'12?":".>2+'&8"3&9',230+'A$2@'
B,:"'NM@'*&1&+'12?":".>2+'&8"3&9',230+'A$2@'
B,:"'NM@'*&1&+'12?":".>2+'&8"3&9',230+'A$2@'
Lema B1: Dadas as definições anteriores, temos que:
௡ିଵ
ሻ ሺ ሺሻሻ‫݆ݕ‬ሻሺሺെ
ሻ௝ିଵ൑௝ିଵ
݉െെ൅݉
ሺ‫ݕ‬ȁൌ
‫ ݔ‬ሺሻሺ‫ ݕ‬ሺ݅‫ݕ‬ȁଵ‫ݔ‬ȁǡ‫ݔ‬ሻǥሻ ǡ ݅௡ ሻǣ ݅σଵ ௡ିଵ
ሺ௡ିଵ
௝‫ݔ‬ሺሻ݉ǡ
ൌσ
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݉ǡ
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݉ǡ݆ ॴ‫ݕ݇݌݌‬
݆ ǡ݇‫ݕ‬
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ȁ௧
௝ୀଵ
௒݂
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௝ିଵ
௝ୀଵ
'
σ
ሺ
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ሺ
ሻ
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݂ ௒ሺభ‫ݕ‬ȁ௧ȁభ‫ ݔ‬ሺሻ‫ݕ‬ȁ‫ ݔ‬ሻσൌ
௡ିଵ
௠ିଵ௠ିଵ
ൌ ൣσ
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௡ିଵ
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ሺ݅ǡ‫݌ܥ‬
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݉ǡ
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െ
݉
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௡ିଵ
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σ
ሺ
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௝
௝
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σ
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െ
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௜ୀଵ ௝
௡ିଵ
௠ିଵ
௝
‫ܨ‬௒భȁ௧భ ሺ‫ݕ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ σ௝ୀଵ
B,:"'NM@'*&1&+'12?":".>2+'&8"3&9',230+'A$2@'
௝ୀଵ ൣσ௜ୀଵ ‫ܥ‬௝ ሺ݅ǡ ‫ ݌‬ሻ ൅ ‫ܥ‬௝ ሺ݉ǡ ‫ ݌‬ሻሺ݇‫ ݕ‬െ ݉ ൅ ͳሻ ൧
2' 2'2'
௝ିଵ
e 2'
σ௡ିଵ
݂௒భ ȁ௧భ ሺ‫ݕ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ
௝ୀଵ ‫ܥ‬௝ ሺ݉ǡ ‫ ݌‬ሻ݆ሺ݇‫ ݕ‬െ ݉ ൅ ͳሻ
ൌ
'
௠ିଵ௠ିଵ
௡ିଵ
௡ିଵ
௠ିଵ
௡ିଵ
௠ିଵ
ሺ݅ǡ‫݌ܥܥ‬௝௝ሺሻ݅ǡ൅‫݌‬ሻ‫ܥ‬௝൅
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ሻ൅௝ͳ൧ሻͳ௝ሻ൧௝ ൧
ൣσ
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௝
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ሺ‫ݕܨ‬
‫ ݔ‬ሺሻ‫ ݕ‬ሺ‫ݕ‬
ൌ
' ሻ'௝ ൧'
‫ܨ‬௒భȁ௧‫ܨ‬
ൣσ
ȁ‫ݔ‬ȁ‫ݔ‬ሻሻൌൌσ௡ିଵ
‫݅ ܥ‬ǡ ‫݌‬ሻ ൅ ሿሺ
‫ܥ‬௝ ሺ݉ǡ ‫݌‬ሻሺ݇‫ݕ‬
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݉൅ͳ
௒ȁȁ௧
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௞ ௜ୀଵ
௝ୀଵσ
భȁ௧భభ భ
௞௞ ௝ ሾ݂ሿሺሾሾ݂݅
ሻ
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ଵ
௡ିଵ
௜భ ǡǥǡ௜௜೙షభ
ୀଵ
௜భ ǡǥǡ௜
'
‫ܨ‬௒భȁ௧భ ሺ‫ݕ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ ൌ
೙షభ ୀଵ
ୀଵ ݂ ݅ଵ ǡ ǥ ǡ ݅௡ିଵ ǡ ‫݌‬
೙షభ
σ௞௜భభǡǥǡ௜
2'
ǡǥǡ௜೙షభ ୀଵሾ݂ሿሺ݅ଵ ǡ ǥ ǡ ݅௡ିଵ ǡ ‫ ݌‬ሻ
ሻൌ
σȁ௉ȁୀ௝
σ࢏ୀூሺ௫ǡ௬ǡ௉ሻ
ሻ௝'2''‫ܥ‬
ൌσ
0:12'‫݌‬
ሺ݉ǡ ሺ‫݌‬
σ࢏ୀூሺ௫ǡ௬ǡ௉ሻ
ሾ݂ሿሺሾ࢏݂ሻሿሺ
ሻॴ'2''‫ܥ‬
onde
pൌ=ॴሺII(x)
.;'࢏ሻ;'
ൌ‫݌݌‬ሻσ
0:12'‫݌‬
‫ݔ‬ൌ
௝ ሺሻ݉ǡ
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0:12'‫݌‬
ൌ
ȁ௉ȁୀ௝
௝ ݉ǡ ௡ିଵ
࢏ୀூሺ௫ǡ௬ǡ௉ሻሾ݂ሿሺ࢏ሻ;'
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σ
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0:12'‫ ݌‬ൌ ॴሺ‫ ݔ‬ሻ'2''‫ܥ‬
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ȁ௉ȁୀ௝௝ ࢏ୀூሺ௫ǡ௬ǡ௉ሻ௝ ሿሺ‫݌‬
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‫ܨ‬௒భȁ௧భ ሺ‫ݕ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ ൌ
௞
C,:$3#;@"DE$F'B'UHVXOWDGRpGHPRQVWUDGRSRU6LOYDŶ'
ሻ
C,:$3#;@"DE$F'B'UHVXOWDGRpGHPRQVWUDGRSRU6LOYDŶ'
ǡ ǥ ǡ Silva
݅௡ିଵ ǡ ‫݌‬
Demonstração: O resultadoσé௜భdemonstrado
(2010).
C,:$3#;@"DE$F'B'UHVXOWDGRpGHPRQVWUDGRSRU6LOYDŶ'
ǡǥǡ௜೙షభ ୀଵሾ݂ሿሺ݅ଵpor
C,:$3#;@"DE$F'B'UHVXOWDGRpGHPRQVWUDGRSRU6LOYDŶ'
Incide
sobre
função
aleatória
do10'
modelo
grid
distribution,
ሿሺ
ሻ'a&'geração
g:8"12'
+0-%2'
&'a?$:./0'
#2%&./0'
&42&,[%"&'
301240'
D2EF3
FEG92E519E=)9'
ሻ݂'ሿሺ
g:8"12'
+0-%2'
&'
݂ሿሺ‫݌‬ሾ࢏ሻሾ݂[i](i)
&'࢏࢏σ
&42&,[%"&'
D2EF3
FEG92E519E=)9'
ሺሾ݉ǡ
σ࢏ୀூሺ௫ǡ௬ǡ௉ሻ
ሾ݂ሿሺ࢏10'
ሻ;' 301240'
ሺ‫?ݔ‬$:./0'
ሻ&'
ሻ#2%&./0'
ൌ
0:12'‫݌‬
ൌ
ॴ
'2''‫ܥ‬
g:8"12'
+0-%2'
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'
&'
#2%&./0'
&42&,[%"&'
10'
301240'
D2EF3
FEG92E519E=)9'
ȁ௉ȁୀ௝
௝
que
corresponde
a
obter
aleatoriamente
os
patamares
a
da
função
de
distribuição
g:8"12' +0-%2' &' ?$:./0' ሾ݂ሿሺ࢏ሻ' &' #2%&./0' &42&,[%"&'
ij 10' 301240' D2EF3 FEG92E519E=)9'
A$2'
80%%2+60:12'
&42&,0%"&32:,2'
0+' 6&,&3&%2+'
8eEH' 1&'
?$:./0' 12'
1"+,%"-$"./0'
das
Figuras
1 e&'2.0-,2%'
Castro
(2008) segue
Devroye
(1986)
demonstra
obter
A$2'A$2'
80%%2+60:12'
&' 0-,2%'
&42&,0%"&32:,2'
0+' 6&,&3&%2+'
8EH' 1&'
12'como
1"+,%"-$"./0'
80%%2+60:12'
&' 0-,2%'
&42&,0%"&32:,2'
0+' 6&,&3&%2+'
8EH'?$:./0'
1&' ?$:./0'
12' 1"+,%"-$"./0'
C,:$3#;@"DE$F'B'UHVXOWDGRpGHPRQVWUDGRSRU6LOYDŶ'
rigorosamente&'essas
realizações.
Assim, cada
realização de
] ?$:./0'
corresponderá
a
A$2' 80%%2+60:12'
0-,2%'
&42&,0%"&32:,2'
0+' 6&,&3&%2+'
8EH'[a
1&'
12' 1"+,%"-$"./0'
ij kwk
1&+'uma
?"#$%&+'
M'
2'
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FTUUVH'
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FMQV]H'
2'
1230:+,%&'
8030'
0-,2%'
em nosso
estudo.
1&+'1&+'
?"#$%&+'
M'simulação
2'M'T;'
FTUUVH'
*2C%0_2'
FMQV]H'
2'10'
1230:+,%&'
8030'
0-,2%'
?"#$%&+'
2'R&+,%0'
T;' R&+,%0'
FTUUVH'
*2C%0_2'
FMQV]H'
2'301240'
1230:+,%&'
8030'
0-,2%'
ሾ݂+2#$2'
ሿሺ࢏ሻ+2#$2'
g:8"12'
+0-%2'
&' ?$:./0'
' &' #2%&./0'
&42&,[%"&'
D2EF3
FEG92E519E=)9'
1&+' ?"#$%&+' M' 2' T;' R&+,%0' FTUUVH' +2#$2' *2C%0_2' FMQV]H' 2' 1230:+,%&' 8030' 0-,2%'
%"#0%0+&32:,2'2++&+'%2&4"E&.>2+;'I++"39'8&1&'%2&4"E&./0'12' ൣܽ௜௝ ൧௞ൈ௞ '80%%2+60:12%L'
Finanças Públicas ‒ XVI Prêmio Tesouro Nacional ‒ 2011
"#0%0+&32:,2'2++&+'%2&4"E&.>2+;'I++"39'8&1&'%2&4"E&./0'12'
'80%%2+60:12%L'
௜௝ ൧ൣܽ
%"#0%0+&32:,2'2++&+'%2&4"E&.>2+;'I++"39'8&1&'%2&4"E&./0'12'
'80%%2+60:12%L'
A$2'
80%%2+60:12' &' 0-,2%' &42&,0%"&32:,2' 0+' 6&,&3&%2+' 8EH'ൣܽ
1&'
?$:./0'
12' 1"+,%"-$"./0'
௜௝ ൧
௞ൈ௞
%"#0%0+&32:,2'2++&+'%2&4"E&.>2+;'I++"39'8&1&'%2&4"E&./0'12' ൣܽ௜௝ ൧௞ൈ௞ '80%%2+60:12%L'
42
&'$3&'+"3$4&./0'23':0++0'2+,$10;'
௞ൈ௞
௫
௫
ሻ
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6%01$E"10' 60%'
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݂௒భ ȁ௧భ:0'
ͳ +"3642+'
൩
න ݁‫݌ݔ‬e൥െ
න do Setor Público
݀‫ݏ‬
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'
ܾ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬െEconomia
Contabilidade
‒
Ângelo
Henrique
Lopes
da Silva
ͳ െ ܿ ‫ܨ‬௒భȁ௧భ ሺ‫ݏ‬ȁ‫ݏ‬ሻ
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ఈ %2+2%C&9' ' A$2' %21$:1&%L' :0' 2A$"4O-%"0'
R&+,%0'
FTUUVH9'I'
601230+'
":+2%"%'
0' 6&%&'
6%2.0'2A$"4O-%"0'
12'
6240'
I6J:1"82'
A$2' 0' 8&:1"1&,0'
23' 42"4/0' 12' 6%"32"%0' 6%2.0' 803'
G<L$.&")(*(3(!=+0'+N8&'(.)();7&-C,0&#("#%(<0)O#(.)(0)=)0>'('$7$"&'.#
g364232:,&:10'
$3&' 301"?"8&./0' +"3642+' :0' 2A$&8"0:&32:,0' 6%01$E"10' 60%'
';B
&-&"K0;'
1-6/"6
'2'+23'6%2.0'12'%2+2%C&'D'1&10'60%@'
Dada
uma
realização,
utilizar
do12'
lema
anterior
para 803'
௭
௭a expressão
R&+,%0'
601230+'
":+2%"%'
0'podemos
12'
%2+2%C&9'
' A$2'
:0' 2A$"4O-%"0'
6240'FTUUVH9'
I6J:1"82'
I'
A$2'
0'
8&:1"1&,0'
6&%&'
2A$"4O-%"0'
23'
42"4/0'
6%"32"%0'
6%2.0'
௫6%2.0'
௫
ሻ%21$:1&%L'
ሺ
ȁ
6240'
I6J:1"82'
I'
A$2'
0'
8&:1"1&,0'
6&%&'
2A$"4O-%"0'
23'
42"4/0'
12'
6%"32"%0'
6%2.0'
803'
‫ݏ‬
‫ݏ‬
݂
ͳ
ȁ௧
௒
construir uma estratégia
de equilíbrio൥െ
do nosso modelo grid distribution.
Sabemos
݀ߙ' '
ܾܾሺሺ‫ݖ‬ǡ‫ݎݔ‬ሻ ሻൌൌ‫ݖݔ‬െെනන݁‫݌ݔ‬
݁‫݌ݔ‬൥െ ͳ නන݂௒భ ȁ௧భ భ భሺ‫ݏ‬ȁ‫ݏ‬ሻ ݀‫ݏ‬
݀‫ݏ‬൩൩݀ߙ
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ሺ
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ሻ
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‫ܨ‬
‫ݏ‬
‫ݏ‬
ͳ
െ
ܿ
pelo
Apêndice
A
que
o
candidato
para
equilíbrio
em
leilão
de
primeiro
preço
com
'2'+23'6%2.0'12'%2+2%C&'D'1&10'60%@'
&-&"K0;'
ͳ െ ܿ ఈ ‫ܨ‬௒భ௒ȁ௧భ ȁ௧భ భሺ‫ݏ‬ȁ‫ݏ‬ሻ
1-6/"6 '2'+23'6%2.0'12'%2+2%C&'D'1&10'60%@'
௥
1-c
଴
ఈ
u(z) = z e sem preço de reserva
é dado௫ por:
௫
݂௒భ ȁ௧భ௭ ሺ‫ݏ‬ȁ௫‫ݏ‬ሻ
ͳ
௭ ௫
ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬െ න ݁‫ ݌ݔ‬൥െ
න
݀‫ ݏ‬൩ ݀ߙ
ܾ
ሻ
B' 2A$&8"0:&32:,0'
&8"3&'
,&3-D3'
6012'
&0' +2' +"364"?"8&%' 0'
ȁ‫ݏ‬௒ሻ݂ȁ௧
ሺ+2%'
‫ ݏ‬ሺȁ'‫ݏ‬ሻȁ‫ݏ‬0-,"109'
‫ͳܨ‬
ͳ െ ܿ ͳ+"3642+'
௒భȁ௧భ ሺ‫݂ݏ‬
g364232:,&:10'
301"?"8&./0'
భ ௒:0'
భ ȁ௧భ 2A$&8"0:&32:,0' 6%01$E"10' 60%'
଴
ఈ
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ܾሺ‫ݖ‬ǡܾ‫ݎ‬ሺሻ‫ݔ‬$3&'
ൌ
‫ݖ‬
െ
݁‫݌ݔ‬
݀‫ݏ‬
ሻ ൌ ‫ ݔ‬െ න ݁‫ ݌ݔ‬൥െ
න
൩
݀‫ݏ‬
݀ߙ
'
ͳെ
ܿ ܿ ‫ܨ‬௒భ‫ܨ‬ȁ௧௒భȁ௧ ሺ‫ݏ‬భ ሺȁ‫ݏ‬ሻ ȁ‫ݏ‬ሻ
ͳെ
g364232:,&:10'
$3&'
301"?"8&./0'
+"3642+'
:0'
2A$&8"0:&32:,0'
6%01$E"10'
60%' ‫ܩ‬൫ܾሺ‫ ݔ‬ሻ൯ ൌ Ͳ9' +2'
௥ 0-,"10'
ఈ ఈ
଴ 0' 6%2.0'
%2+$4,&10'
6&%&' 601230+'
42"4>2+' 1$640+'
10' 12'
I6J:1"82'
!9'' A$2'
?&E2:10)+2'
R&+,%0'
FTUUVH9'
":+2%"%'
%2+2%C&9'
%21$:1&%L'
:0' 2A$"4O-%"0'
Implementando
simples
no equacionamento
R&+,%0'
FTUUVH9' 601230+'uma
":+2%"%'modificação
0' 6%2.0' 12' %2+2%C&9'
' A$2' %21$:1&%L'
:0' 2A$"4O-%"0' produzido
B'por
2A$&8"0:&32:,0'
&8"3&'
,&3-D3'
6012'
0-,"109'
&0' +2' +"364"?"8&%'
g364232:,&:10'
$3&'
+"3642+'
6%01$E"10'
Castro
podemos
inserir
o preço
de +2%'
reserva,
redundará
no
equilí- 0'60%'
ሺ‫ ݔ‬ሻ൯(2008),
ሺ:0'
‫ ݔ‬൏ ‫ݎ‬9'2'‫ܩ‬൫ܾ
ൌ ͳ9'+2'‫ݔ‬
൒301"?"8&./0'
‫ݎ‬9'2:A$&:,0'A$2'݃൫ܾ
‫ ݔ‬ሻ൯2A$&8"0:&32:,0'
ൌ que
Ͳ'6&%&',010'6:,0':0'+$60%,2;'
&-&"K0;'
&-&"K0;'
brio abaixo:
௭ ௭
௭ 12' %2+2%C&9'
%2+$4,&10'
42"4>2+'
1$640+'
0-,"10'
10'ͳ I6J:1"82'
‫ܩ‬൫ܾሺ‫ ݔ‬ሻ൯
Ͳ9' +2'
௭ !9' ?&E2:10)+2'
R&+,%0' 6&%&'
FTUUVH9'
601230+'
":+2%"%'
0' 6%2.0'
' A$2' %21$:1&%L'
:0'ൌ2A$"4O-%"0'
ሺ‫ݏ‬ȁ‫ݏ‬ሻ
݂௒ ȁ௧%2+2%C&'
Z++&' +"364"?"8&./0' ܾ,%&:+?0%3&'
0' 6%2.0'
12'
ሻ C&%"LC24' &42&,[%"&' FC&40%'
ሺ
ȁ
݂
‫ݏ‬
‫ݏ‬
ሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ ൌ ‫ ݖ‬െ න ݁‫ ݌ݔ‬൥െ
൩
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݀‫ݏ‬
ȁ௧
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ȁ‫ݏ‬ሻ భ భ
൥െܿ ఈ ‫ܨ‬௒భȁ௧భሺ‫ݏ‬න
݀‫ݏ‬൩ ݀ߙ '
ܾሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ ൌ ‫ ݖ‬െ௥ න ݁‫ ͳ݌ݔ‬െ
ሺ‫ݏ‬ȁ‫ݏ‬ሻ
‫ܨ‬௒భൌ
ͳ
െ
ܿ
&-&"K0;'
ȁ௧భ Ͳ'6&%&',010'6:,0':0'+$60%,2;'
ሺ‫ ݔ‬ሻ൯
‫ ݔ‬൏12+80:528"10H'6&%&'$3&'80:+,&:,2'FC&40%'80:528"10H;''
‫ݎ‬9'2'‫ܩ‬൫ܾ ሺ‫ ݔ‬ሻ൯ ൌ ͳ9'+2'‫ ݔ‬൒ ‫ݎ‬9'2:A$&:,0'A$2'݃൫ܾ
௥
ఈ
B' 2A$&8"0:&32:,0' &8"3&' ,&3-D3' 6012' +2%' 0-,"109' &0' +2' +"364"?"8&%' 0'
௭
௭ ser obtido ao se simplificar o reO equacionamento anterior
também pode
Z++&' +"364"?"8&./0'
0' 6%2.0'
%2+2%C&'
12'
C&%"LC24'
&42&,[%"&'
FC&40%' 0'
ሺ‫ݏ‬ȁ0-,"109'
‫ݏ‬ሻ ሺ‫ ݔ‬ሻ൯ ൌ Ͳ9'
݂௒ +2%'
ͳ 6012'
%2+$4,&10'
6&%&',%&:+?0%3&'
42"4>2+' 1$640+'
0-,"10'
10' I6J:1"82'
!9' ?&E2:10)+2'
‫ܩ‬൫ܾ
+2' +2' +"364"?"8&%'
R0:+"12%&:10'+032:,2'=0#&10%2+':2$,%0+'FB"%H9',2%230+'
B'
2A$&8"0:&32:,0'
&8"3&'
,&3-D3'
&0'
ȁ௧
భ
sultado para leilões
obtido
G(b(x))
= 0, se x <
ሻൌ‫ݖ‬െ
൩
න ݁‫݌ݔ‬do൥െApêndice
න F,భ fazendo-se
݀ߙ
'
ܾሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬duplos
݀‫ݏ‬
‫ܨ‬௒భ ȁ௧భtodo
ሺ ‫ ݏ‬ȁ‫ ݏ‬ሻ
ͳ ሺെ
ܿ para
r, e‫ݔ‬G(b(x))
1, ൌseͳ9'+2'‫ݔ‬
x v r൒,‫ݎ‬9'2:A$&:,0'A$2'݃൫ܾ
enquanto
g(b(x))
ponto no suporte. Essa
ሺ‫ ݔ‬ሻ൯
൏ ‫ݎ‬9'2'‫ܩ‬൫ܾ=
‫ ݔ‬ሻ൯=ൌఈ0Ͳ'6&%&',010'6:,0':0'+$60%,2;'
௥
12+80:528"10H'6&%&'$3&'80:+,&:,2'FC&40%'80:528"10H;''
ሺ
ሻ
ሺ
ሻ
ܾ ‫ݖ‬ǡ ‫ ݎ‬10'
ൌ ‫ ݖ‬െ ‫ݖ ܪ‬ǡ ‫ ݎ‬ǡ'!9' ?&E2:10)+2' ‫ܩ‬൫ܾሺ‫ ݔ‬ሻ൯ ൌ Ͳ9' +2'
%2+$4,&10'
6&%&' 42"4>2+'
1$640+'
0-,"10'
simplificação
transforma
o preço
reservaI6J:1"82'
de variável aleatória (valor desconheciZ++&' +"364"?"8&./0' ,%&:+?0%3&' 0' 6%2.0' %2+2%C&' 12' C&%"LC24' &42&,[%"&' FC&40%'
do)
uma constante (valor
B'para
2A$&8"0:&32:,0'
&8"3&'conhecido).
,&3-D3'
6012'
0-,"109'
&0' +2' +"364"?"8&%' 0'
ሻ
ሺ௦ȁ௦
R0:+"12%&:10'+032:,2'=0#&10%2+':2$,%0+'FB"%H9',2%230+'
௭
௭ ௙ +2%'
భ ȁ೟భ
ሺ‫ ݔ‬ሻ൯ ൌ ͳ9'+2'‫ ݔ‬൒ ‫ݎ‬9'2:A$&:,0'A$2'݃൫ܾ
‫ ݔ‬൏ ‫ݎ‬9'2'‫ܩ‬൫ܾ
ൌ Ͳ'6&%&',010'6:,0':0'+$60%,2;'
ሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ ‫׬ ؠ‬௥ ݁‫ ݌ݔ‬൤െ ‫׬‬ఈሺ‫ݔ‬ೊሻ൯
12+80:528"10H'6&%&'$3&'80:+,&:,2'FC&40%'80:528"10H;''
݀‫ݏ‬
൨
݀ߙ
;'
0:12'D'12?":"10'8030'‫ܪ‬
ሺ௦ȁ௦ ሻ
Considerando somente jogadores neutros (cிೊ=భ ȁ೟0),
భ teremos
%2+$4,&10' 6&%&'
42"4>2+' 1$640+'
R0:+"12%&:10'+032:,2'=0#&10%2+':2$,%0+'FB"%H9',2%230+'
ܾሺ0-,"10'
‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ ൌ ‫ݖ‬10'
െ I6J:1"82'
‫ ܪ‬ሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻǡ' !9' ?&E2:10)+2' ‫ܩ‬൫ܾሺ‫ ݔ‬ሻ൯ ൌ Ͳ9' +2'
Z++&' +"364"?"8&./0' ,%&:+?0%3&' b(z,
0' r)
6%2.0'
%2+2%C&'
= z – H(z,
r), 12' C&%"LC24' &42&,[%"&' FC&40%'
N,$@,:"' RM@' Z3' $3' 42"4/0'
12'
6%2.0' 803' 6%2.0' 12' %2+2%C&' &-2%,0'
ܾሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ ൌ
‫ ݖ‬െ6%"32"%0'
‫ ܪ‬ሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻǡ'
ሻ
ሺ௦ȁ௦ൌ
௭
௭ ௙ೊభሺȁ೟‫ݔ‬భሻ൯
ሺ‫ ݔ‬ሻ൯ ൌ ͳ9'+2'‫ ݔ‬൒ሺ ‫ݎ‬9'2:A$&:,0'A$2'݃൫ܾ
‫ ݔ‬൏ 0:12'D'12?":"10'8030'‫ܪ‬
‫ݎ‬9'2'‫ܩ‬൫ܾ
Ͳ'6&%&',010'6:,0':0'+$60%,2;'
onde é definido
como ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ ‫׬ ؠ‬௭௥ ݁‫ ݌ݔ‬൤െ
.
12+80:528"10H'6&%&'$3&'80:+,&:,2'FC&40%'80:528"10H;''
ሺ௦ȁ௦ ሻ
௭ ௙ೊభ‫׬‬
ሻ ݀‫ ݏ‬൨ ݀ߙ ;'
ȁ೟
ఈ
భ ி
ሺ௦ȁ௦
ఘିଵ ఘ
ȁ೟
ሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ ‫׬ ؠ‬௥ ݁‫ ݌ݔ‬൤െ ‫׬‬ఈ
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݀‫ݏ‬
൨
݀ߙ
;'
0:12'D'12?":"10'8030'‫ܪ‬
భ
భ
ሺ
ሻ
ி
௦ȁ௦
+"3D,%"80' 8%2+82:,2' 12' $3' =0#&10%'
803' C&40%'‫ א ݎ‬ቀ ௞ ǡ ௞ ቃ9' &' 2+,%&,D#"&' 12' 2A$"4O-%"0'
ೊభ ȁ೟భ
Z++&' R0:+"12%&:10'+032:,2'=0#&10%2+':2$,%0+'FB"%H9',2%230+'
+"364"?"8&./0' ,%&:+?0%3&' 0' 6%2.0' %2+2%C&' 12' C&%"LC24' &42&,[%"&' FC&40%'
N,$@,:"'
RM@'$3'
Z3' $3'
42"4/0' 12'
12' 6%"32"%0'
6%2.0'
803' 6%2.0'
12' %2+2%C&'
&-2%,0'
N,$@,:"'
RM@' Z3'
42"4/0'
6%"32"%0'
6%2.0'
803'
6%2.0'
12'reserva
%2+2%C&'
&-2%,0'
Teorema
C1:
Em
um
leilão
de
primeiro
preço
com
preço
de
aberto
12',"60'6'D'1&1&'60%'
ఘିଵ ఘ
12+80:528"10H'6&%&'$3&'80:+,&:,2'FC&40%'80:528"10H;''
com803'
valor
r‘
, a&' 2+,%&,D#"&'
estratégia
crescente
de um jogador
2A$"4O-%"0'
12' $3' =0#&10%'
C&40%'‫ݎ‬
‫ א‬ቀ ௞ ǡ ௞ ቃ9'
ሺ‫ݖ‬ǡde
ܾ12'
‫ݎ‬ሻequilíbrio
ൌ ‫ ݖ‬+"3D,%"80'
െ ‫ ܪ‬ሺsimétrico
‫ݖ‬ǡ 8%2+82:,2'
‫ݎ‬ሻǡ'
ఘିଵ ఘ
ቃ9'
ǡ
&'
2+,%&,D#"&'
12'
2A$"4O-%"0'
+"3D,%"80'
8%2+82:,2'
12' $3' =0#&10%'
803' C&40%'‫ݎ‬
‫א‬
ቀ
de tipo z é௞ dada
௞ por
ܾሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ ൌ ‫ ݖ‬െ ‫ ܪ‬ሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻǡ'
12',"60'6'D'1&1&'60%'
R0:+"12%&:10'+032:,2'=0#&10%2+':2$,%0+'FB"%H9',2%230+'
௭
௭ ௙ೊభ ȁ೟భሺ௦ȁ௦ ሻ
z – H(z,
ሻ ‫ؠ‬r)‫׬‬௥=݁‫݌ݔ‬
݀‫ ݏ‬൨ ݀ߙ ;'
0:12'D'12?":"10'8030'‫ܪ‬ሺ‫ݖ‬ǡሺ ‫ݎ‬b(z,
൤െ ‫׬‬ఈr),
ሻ
ሺ
ሻ
ிೊభ ȁ೟భ ሺ௦ȁ௦ ሻ
ܾ
‫ݖ‬ǡ
‫ݎ‬
ൌ
‫ݖ‬
െ
‫ܪ‬
‫ݖ‬ǡ
‫ݎ‬
ǡ'
12',"60'6'D'1&1&'60%'
0:12'
ܾሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ ൌ ‫ ݖ‬െ ‫ ܪ‬ሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻǡ'
onde
0:12'
N,$@,:"' RM@' Z3' $3' 42"4/0'
803'
6%2.0'
%2+2%C&' &-2%,0'
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ܾሺ௡ିଵ
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ൌ ‫ݖ‬6%"32"%0'
െ ‫ ܪ‬ሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬6%2.0'
‫ ܥ‬ሺ݉ǡ
݉ሻ 12'
ሺ௦ȁ௦ ሻ௝
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σ
σ
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0:12'D'12?":"10'8030'‫ܪ‬
‫ݖ‬ǡ
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‫׬‬
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σ
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ሺ
ሻ
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12'
12' $3' =0#&10%'
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ሻ+"3D,%"80'
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൫σ
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݉݉
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௜ୀଵ ‫ܥ‬௝ ሺ݅ǡ
N,$@,:"' RM@' Z3' $3' 42"4/0' 12' 6%"32"%0' 6%2.0' 803'
6%2.0' 12' %2+2%C&' &-2%,0'
‫ܥ‬௝ ሺ݉ǡ ݉ሻ ௝ାଵ!"#
#
௡ିଵ
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൅ ͳǡ‫݈ܥ‬௝ ሺ൅݅ǡ ͳ݉ሻሻ ߞ ൅ σ௝ୀଵ ݆ ൅ ͳ௡ିଵߞ‫ܥ‬௝ ሺ‫ݍ‬ǡ ‫ ݍ‬ሻ
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Finanças Públicas
‒ XVI Prêmio
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Economia e Contabilidade do Setor Público ‒ Ângelo Henrique Lopes da Silva
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௝ୀଵ ௜ୀଵ&'
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Demonstração: O resultado é demonstrado por Silva (2010).
6&%&'+2'80:?"%3&%'+2'D'%2&432:,2'$3'2A$"4O-%"0;''
80:?0%32'0'2K60+,0':0'I6J:1"82'I;'70%,&:,09'2++2'8&:1"1&,0':282++",&'+2%',2+,&10'
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*2'
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G<L$.&")(@(3(J)=+)(.)();7&-C,0&#(<'0'(<0)O#(.)(0)=)0>'('$7$"&'.#
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B'2A$&8"0:&32:,0'12'4&:82'0-,"10'6240'X20%23&'RM'80:?"#$%&)+2':/0'&62:&+'
*2' 60++2' 1&' 2+,%&,D#"&' 12' 2A$"4O-%"0' 0-,"1&' 6240' X20%23&' RM9' 6%08$%&30+'
C2%"?"8&%'+2',&4'2+,%&,D#"&'12'4&:82'D'%2&432:,2'$3'2A$"4O-%"0'W&+5)N&_2+"&:0;'X230+'
O equacionamento de lance obtido pelo Teorema C1 configura-se não ape*2'
60++2'
1&'
2+,%&,D#"&'
2A$"4O-%"0'
0-,"1&'
6240'
6%08$%&30+'
23'
$3'
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C2%1&129'
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8&:1"1&,0'
&'a&'
2A$"4O-%"09'
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2+,%&,D#"&'
8&:1"1&,&'
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5-6&2/3
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63X20%23&'
;3 8&:1"1&,0'
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8030'
12+8%",&'
23'
$3'
&'
2A$"4O-%"09'
3&+9'
:&'
C2%1&129'
2A$"4O-%"09'
nas8&:1"1&,0'
em um candidato
a equilíbrio,
mas,
naD'
verdade,
no
único
candidato
equilíC2%"?"8&%'+2',&4'2+,%&,D#"&'12'4&:82'D'%2&432:,2'$3'2A$"4O-%"0'W&+5)N&_2+"&:0;'X230+'
A$2' brio,
&' 2+,%&,D#"&'
2A$"4O-%"0'
D' 5-6&2/3 esse
"3 63candidato
;3 I-6&2/'necessita
8030' ser
12+8%",&'
conforme o8&:1"1&,&'
exposto no&'Apêndice
A. Portanto,
80:?0%32'0'2K60+,0':0'I6J:1"82'I;'70%,&:,09'2++2'8&:1"1&,0':282++",&'+2%',2+,&10'
C2%"?"8&%'+2',&4'2+,%&,D#"&'12'4&:82'D'%2&432:,2'$3'2A$"4O-%"0'W&+5)N&_2+"&:0;'X230+'
&:,2%"0%32:,2;'
80:?0%32'0'2K60+,0':0'I6J:1"82'I;'70%,&:,09'2++2'8&:1"1&,0':282++",&'+2%',2+,&10'
para se confirmar
é realmente
A$2' testado
&' 2+,%&,D#"&'
8&:1"1&,&'se &'
2A$"4O-%"0'umD'equilíbrio.
5-6&2/3 "3 63 ;3 I-6&2/' 8030' 12+8%",&'
&:,2%"0%32:,2;'
De posse 8&:1"1&,&'
da estratégia&'de2A$"4O-%"0'
equilíbrio D'
obtida
pelo"3Teorema
C1, procuramos
6&%&'+2'80:?"%3&%'+2'D'%2&432:,2'$3'2A$"4O-%"0;''
A$2' &'I'?$:./0'5-6&2/3"363;3I-6&2/3D'2A$"4O-%"0'+2'0'+2#$":,2'&80:,282@'
2+,%&,D#"&'
5-6&2/3
63 ;3 I-6&2/'
8030' 12+8%",&'
6&%&'+2'80:?"%3&%'+2'D'%2&432:,2'$3'2A$"4O-%"0;''
&:,2%"0%32:,2;'
verificar
se tal estratégia de lance é realmente um equilíbrio Nash-bayesiano. TeI'?$:./0'5-6&2/3"363;3I-6&2/3D'2A$"4O-%"0'+2'0'+2#$":,2'&80:,282@'
*2'
60++2'
RM9'
mos
que
aοestratégia
candidata
equilíbrio
é‫ݎ‬b(z,r)
= ‫׊‬zX20%23&'
H(z,r),
como
descrita
&:,2%"0%32:,2;'
ሺ1&'
ሻ 2+,%&,D#"&'
ሻ൯a2A$"4O-%"0'
ሺ‫ݔ‬ǡ
ሻ൯ 6240'
ሺ–‫ݔ‬ǡ
ሿଶ '6%08$%&30+'
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൑ 6240'
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*2'
60++2'
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RM9'
6%08$%&30+'
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anteriormente.
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ሻ
ሺ
ሻ൯
ሺ
ሻ൯
ሺ
ሻ
ሾ
ሿ
ο ‫ݔ‬ǡ ‫ ؠ ݖ‬Ȇ൫‫ݔ‬ǡ ܾ ‫ݖ‬ǡ ‫ ݎ‬െ Ȇ൫‫ݔ‬ǡ ܾ ‫ݔ‬ǡ ‫ ݎ‬൑ Ͳǡ ‫ݔ ׊‬ǡ ‫Ͳ א ݖ‬ǡͳ '
C2%"?"8&%'+2',&4'2+,%&,D#"&'12'4&:82'D'%2&432:,2'$3'2A$"4O-%"0'W&+5)N&_2+"&:0;'X230+'
I'?$:./0'5-6&2/3"363;3I-6&2/3D'2A$"4O-%"0'+2'0'+2#$":,2'&80:,282@' ଶ
C2%"?"8&%'+2',&4'2+,%&,D#"&'12'4&:82'D'%2&432:,2'$3'2A$"4O-%"0'W&+5)N&_2+"&:0;'X230+'
23'A$2''
A função
= z –ܾሺH(z,r)
seguinte
ሻ ‫ ؠ‬Ȇ൫‫ݔ‬ǡ
οሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬b(z,r)
‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ൯ éെequilíbrio
Ȇ൫‫ݔ‬ǡ ܾሺ‫ݔ‬ǡ se
‫ݎ‬ሻ൯o ൑
Ͳǡ ‫׊‬ሺ‫ݔ‬ǡacontece:
‫ݖ‬ሻ ‫ א‬ሾͲǡͳሿ '
23'A$2''
A$2'
D'
5-6&2/3
;3 ‫;ݖ‬3I-6&2/'
12+8%",&'
ሻ ‫ ؠ‬Ȇ൫‫ݔ‬ǡ
ሺ‫ݖ‬ǡ
ሻ൯
ሻ൯
ሺ63
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ሿଶ8030'
'
οሺ‫ݔ‬ǡ8&:1"1&,&'
‫ݖ‬8&:1"1&,&'
Ȇ൫‫ݔ‬ǡ ܾ
ܾ&'
‫ݖ‬ǡ
‫ݎ‬ሻ൯
െ
Ȇ൫‫ݔ‬ǡ
ܾܾሺD'
‫ݔ‬ǡ
‫ݎ‬5-6&2/3
൑"3Ͳǡ"363
‫׊‬
‫ݔ‬ǡ
‫ א‬ሾͲǡͳ8030'
A$2'&'&'2+,%&,D#"&'
2+,%&,D#"&'
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2A$"4O-%"0'
12+8%",&'
ሺ
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൫‫ݔ‬
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&:,2%"0%32:,2;'
23'A$2''
&:,2%"0%32:,2;'
2'
Ȇ൫‫ݔ‬ǡ ܾሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ൯ ൌ ൫‫ ݔ‬െ ܾሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ൯‫ܨ‬௒భȁ௧భ ሺ‫ݖ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ'
2'
I'?$:./0'5-6&2/3"363;3I-6&2/3D'2A$"4O-%"0'+2'0'+2#$":,2'&80:,282@'
Ȇ൫‫ݔ‬ǡ ܾሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬σሻ൯
ൌ ൫‫ݔ‬௠ିଵ
െ ܾሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ൯‫ܨ‬௒ ȁ௧ ሺ‫ݖ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ' ௝
e I'?$:./0'5-6&2/3"363;3I-6&2/3D'2A$"4O-%"0'+2'0'+2#$":,2'&80:,282@'
௡ିଵ
௝ୀଵ ൣσ௜ୀଵ ‫ܥ‬௝ ሺ݅ǡ ‫ ݌‬ሻ ൅భ‫ܥ‬௝భሺ݉ǡ ‫ ݌‬ሻߞ ൧
2'
ሺ
ȁ
ሻ
‫ ܨ‬భ ȁ௧భ ‫ ݔ ݖ‬ൌ σ௡ିଵ௞ ൣσ௠ିଵ ‫ ܥ‬ሺ݅ǡ ‫݌‬ሻ ൅ ‫ ܥ‬ሺ݉ǡ ‫݌‬ሻߞ௝ ൧' ଶ
οሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ‫ؠ‬௒Ȇ൫‫ݔ‬ǡ
ܾሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ൯ െ
Ȇ൫‫ݔ‬ǡ
ܾሺ‫ݔ‬ǡ
‫ݎ‬௝ሾ݂ሻ൯ሿሺ൑
Ͳǡ ‫׊‬ǡ ௝݅ሺ௡ିଵ
‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ‫ א‬ሾͲǡͳሿ ' ଶ
௝ୀଵ
௜ୀଵ
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௜భ ǡǥǡ௜
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ܾሻሺ‫ݖ‬ǡ
Ȇ൫‫ݔ‬ǡ
‫ݎ‬ሻ൯݅ଵ ǡ൑ǥͲǡ
‫׊‬ሺ‫ݔ‬ǡǡ ‫ݖ݌‬ሻሻ ‫א‬
2'
ሺ‫ ݖ‬ȁ‫ݔ‬
ൌ‫ݎ‬ሻ൯௡ିଵ
'ሾͲǡͳሿ '
௒భ ȁ௧Ȇ൫‫ݔ‬ǡ
భ
௞
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೙షభ
'
‫ܨ‬௒భ ȁ௧భ ሺ‫ݖ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ ൌ ௡ିଵ௞ ௠ିଵ
23'A$2''
I'Y4,"3&'?$:./0'12'6%0-&-"4"1&12'?0"'0-,"1&'10'h23&'NM;'I++"39'
σ
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ሻߞ௝ ൧
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‫ܥ‬
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‫݌‬
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௝
௝ୀଵ
௜ୀଵ
భ
೙షభ
A última função
foi obtida do Lema B1. Assim,
ሻ ൌ
‫ݖ‬ȁ‫ݔ‬probabilidade
'
‫ܨ‬௒భ ȁ௧భ ሺde
I'Y4,"3&'?$:./0'12'6%0-&-"4"1&12'?0"'0-,"1&'10'h23&'NM;'I++"39'
௞
σ
ሾ‫݂ݖݎ‬ሻ൯
ሿሺ
݅௒ଵെǡȁ௧ǥ‫ܪ‬ሺǡሺ‫ݖ‬ȁ‫ݔ‬
݅‫ݔ‬ǡ
ǡ‫ܨ‬
‫݌‬ሻ ሺ‫ ݔ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ'
ሻ
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'
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ܾ
‫ݖ‬ǡ
‫ܨ‬
௜‫ݎ‬
ୀଵ
ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ
ሾ
ሺ
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ሺ
ȁ
ሻ
ሻ
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ο
‫ݔ‬
െ
‫ݖ‬
൅
‫ܪ‬
‫ݔ‬
‫ݎ‬
.
Ȇ൫‫ݔ‬ǡ ܾሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ൯ ൌ ൫‫ ݔ‬௒െభȁ௧ܾభሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ൯భ‫ܨ‬௒భ ȁ௧ ሺ‫ݖ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ௒' భȁ௧భ
I'Y4,"3&'?$:./0'12'6%0-&-"4"1&12'?0"'0-,"1&'10'h23&'NM;'I++"39'
οሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ ሾ‫ ݔ‬െ ‫ ݖ‬൅ ‫ ܪ‬ሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻሿ‫ܨ‬௒భȁ௧భ ሺ‫ݖ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ െ భ‫ ܪ‬ሺభ ‫ݔ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ‫ܨ‬௒భȁ௧భ ሺ‫ ݔ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ'
Portanto, caso uma determinada simulação de estratégia de equilíbrio apre2'I'Y4,"3&'?$:./0'12'6%0-&-"4"1&12'?0"'0-,"1&'10'h23&'NM;'I++"39'
ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌpara
ሾ‫ ݔ‬െa‫ݖ‬função
ȁ‫ ݔ‬ሻ'
൅ ‫ ܪ‬ሺ‫ݖ‬ǡD(x,
‫ݎ‬ሻሿ‫ܨ‬z)
ሺ‫ݖ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ െ ‫ ܪ‬ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ ݎ‬ሻ‫ ܨ‬ȁ௧భ ሺ‫ݔ‬
2' valorοpositivo
௒భȁ௧
sente
em
domínio
[0,1]2,
భ algum ponto do௒భseu
a correspondente
de
deve
desprezada
ሺ‫ݖ‬ǡ
ሻሿ‫ܨ‬௒‫ܥ‬
οሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ estratégia
ൌ ሾ‫ ݔ‬െ ‫ ݖ‬൅
‫ܪ‬equilíbrio
ሺ‫ݖ‬ȁser
‫ ݔ‬ሻ െ
‫ ܪ‬ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ‫ܨ‬௝ noభ ሺestudo,
‫ݔ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ ' uma vez !"#
σ௡ିଵ
ൣσ‫ݎ‬௠ିଵ
భȁ௧
భ݅ǡ ‫ ݌‬ሻ ൅ ‫ܥ‬௝ ሺ݉ǡ ‫ ݌‬ሻߞ ௒൧భȁ௧
௝ሺ
௝ୀଵ
௜ୀଵ
௡ିଵ
௠ିଵ
௝൧
σ
ሺ
ሻ
ሺ
ሻ
ൣσ
‫ܥ‬
݅ǡ
‫݌‬
൅
‫ܥ‬
݉ǡ
‫݌‬
ߞ
que
indica
a
ausência
de
equilíbrio.
O
resultado
procurado
para
o
ሺ
ȁ
ሻ
' sinal da função
‫ܨ‬௒భ ȁ௧భ ‫ ݔ ݖ‬ൌ
௝
௜ୀଵ ௝
#
௞
ൌ σ௝ୀଵ
ሺ
ȁ
ሻ
ሾ
ሿሺ
ሻ
‫ݖ‬
‫ݔ‬
' No entanto, uti- !"#
‫ܨ‬
݂
݅
ǡ
ǥ
ǡ
݅
ǡ
‫݌‬
ȁ௧
௒
ଵ
௡ିଵ
௜
ǡǥǡ௜
ୀଵ
భ భ
௞
భ
೙షభ
D(x,
z)
pode
ser
obtido
por
meio
da
sua
maximização
numérica.
σ௜భ ǡǥǡ௜೙షభ ୀଵሾ݂ሿሺ݅ଵ ǡ ǥ ǡ ݅௡ିଵ ǡ ‫݌‬ሻ
#
!"#
lizamos a proposição de Castro (2008) para simplificar essa operação.
#
I'Y4,"3&'?$:./0'12'6%0-&-"4"1&12'?0"'0-,"1&'10'h23&'NM;'I++"39'
!"#
I'Y4,"3&'?$:./0'12'6%0-&-"4"1&12'?0"'0-,"1&'10'h23&'NM;'I++"39'
Proposição D1: A função D(x, z):
#
ሻ ൌ éሾ‫ݔ‬contínua
ሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬z;ሻሿ‫ܨ‬௒ ȁ௧ ሺ‫ݖ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ െ ‫ ܪ‬ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ‫ܨ‬௒ ȁ௧ ሺ‫ ݔ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ'
െ ‫ ݖ‬൅ ‫ܪ‬em
(i) οሺ‫ݔ‬ǡሺ ‫ݖ‬x,
ο ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ ሾ‫ ݔ‬െ ‫ ݖ‬൅ ‫ ܪ‬ሺ‫ݖ‬ǡ ‫ݎ‬ሻሿభ‫ܨ‬௒భభȁ௧భ ሺ‫ݖ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ െ ‫ ܪ‬ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݎ‬ሻభ‫ܨ‬௒భభȁ௧భ ሺ‫ ݔ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ'
44
Finanças Públicas ‒ XVI Prêmio Tesouro Nacional ‒ 2011
!"#
!@$1$#5DE$'*M@''I'?$:./0'οሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ@'
‫'ݔ׊‬9'D'80:,O:$&'23'6b'
F"H'
F"H'
‫'ݔ׊‬9'D'80:,O:$&'23'6b'
Economia e Contabilidade do Setor Público ‒ Ângelo Henrique Lopes da Silva
F""H'
F""H'
:Y32%0'
?":",0' 12' 12+80:,":$"1&12+9'
‫ݖ׊‬9'
60++$"'‫ݖ׊‬9'
$3'60++$"'
:Y32%0'$3'
?":",0'
12' 12+80:,":$"1&12+9'
1&10' 6240' 80:=$:,0'1&10' 6240' 80:=$
(ii)
z, possui um número finito de descontinuidades, dado pelo conଵ
ଵ
ቄͲǡ ǡ ǥ
‫ ܣ‬ൌjunto
‫ܣ‬ǡͳቅ;'
ൌ ቄͲǡ ǡ ǥ ǡͳቅ;'
.
௞
௞
C,:$3#;@"DE$@'g++0'C23'1"%2,&32:,2'1&'?0%3$4&./0'12'οሺšǡ œሻ9'A$2'1262:12'
C,:$3#;@"DE$@'g++0'C23'1"%2,&32:,2'1&'?0%3$4&./0'12'οሺšǡ œሻ9'A$2'1262
Demonstração: Isso vem diretamente da formulação de D(x, z), que de12' ଢ଼భ ȁ୲భ ሺœȁšሻ9' A$2' D' 80:,O:$&' 23' _' 3&+' :/0' 23' K;' *2' ?&,09' +2' K' 3$1&' 12' $3'
ሻ9' A$2'
ሺœȁšque
D' 80:,O:$&'
3&+'
23'
K;' se
*2'x ?&,09'
3$1&' 12'
12'F
pende de
(x|z),
é contínua
em y,23'
mas_'não
em:/0'
x. De
fato,
muda+2'
de K'
um
Y1|
ଢ଼tభ1ȁ୲
భ
୮ିଵ ୮
intervalo
termos
[f ](i
, ..., i ‹୬ିଵ
, p)
aparecem
no:0'
denomiሾˆሿሺ
":,2%C&40' ቀ
ǡ ቃ'para
6&%&'outro,
0$,%09'os0+'
,2%30+'
ǡ ’ሻque
' A$2'
&6&%2823'
1 ‹ଵ ǡ ǥ ǡ n-1
୩ ୩
୮ିଵ ୮
nador de
FY1|t1(x|z)ቀmudarão
arbitrariamente.
ǡ ቃ' 6&%&'
0$,%09' 0+' ,2%30+' ሾˆሿሺ‹ଵ ǡ ǥ ǡ ‹୬ିଵ ǡ ’ሻ' A$2' &6&%2823'
":,2%C&40'
12:03":&10%'12'‫ܨ‬௒భȁ௧భ ሺ‫ݖ‬୩ȁ‫ ݔ‬ሻ୩'PXGDUmRDUELWUDULDPHQWHŶ'
A proposição anterior permite que a busca dos máximos da função e a
12:03":&10%'12'‫ܨ‬
ሺ‫ݖ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ'PXGDUmRDUELWUDULDPHQWHŶ'
భ
I'6%060+"./0'&8"3&'62%3",2'A$2'&'-$+8&'10+'
3LK"30+'1&'?$:./0'
οሺ‫ݔ‬ǡ
‫ݖ‬ሻ'2'&'
consequente
verificação de௒భȁ௧equilíbrio
não precise
estender-se sobre
todos
os pon2
tos do domínio [0,1] , de modo que é possível simplificar a maximização em um
80:+2A$2:,2'C2%"?"8&./0'12'2A$"4O-%"0':/0'6%28"+2'2+,2:12%)+2'+0-%2',010+'0+'60:,0+'
I'6%060+"./0'&8"3&'62%3",2'A$2'&'-$+8&'10+'
3LK"30+'1&'?$:./0'
subconjunto menor
e mais simples dos pontos do referido domínio,
tornando a οሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ'
operação
extraordinariamente
mais
exata. +"364"8&%' &' 3&K"3"E&./0' 23' $3'
ሾͲǡͳሿଶ9' 12' 3010' A$2'
D' 60++OC24'
10' 103O:"0'
80:+2A$2:,2'C2%"?"8&./0'12'2A$"4O-%"0':/0'6%28"+2'2+,2:12%)+2'+0-%2',010+'0+'60:
+$-80:=$:,0' 32:0%' 2' 3&"+' +"3642+' 10+' 60:,0+' 10' %2?2%"10' 103O:"09' ,0%:&:10' &'
10' 103O:"0' ሾͲǡͳሿଶ9' 12' 3010' A$2' D' 60++OC24' +"364"8&%' &' 3&K"3"E&./0' 23'
G<L$.&")(!(3(P)")&+'()=<)0'.'(<'0'(<0)O#(.)(0)=)0>'('$7$"&'.#
062%&./0'2K,%&0%1":&%"&32:,2'3&"+'2K&,&;'
+$-80:=$:,0'
32:0%' 2' 3&"+'
+"3642+' esperado
10+' 60:,0+'
10' %2?2%"10'
103O:"09'
Com
base na formulação
do pagamento
do leilão
de primeiro
pre- ,0%:&:1
0123456,%>%±%O,6,5;"%,#1,@"4"%1"@"%1@,D$%4,%@,#,@M"%"39365"4$%
N,$@,:"'Z@'<2=&3')'=0#&10%2+'2'$3&'1"+,%"-$"./0'12'3&45&'12',&3&:50'!;'I'
N,$@,:"'Z@'<2=&3')'=0#&10%2+'2'$3&'1"+,%"-$"./0'12'3&45&'12',&3&:50'!;'I
ço, pode-se obter a receita esperada pelo seguinte teorema:
I'062%&./0'2K,%&0%1":&%"&32:,2'3&"+'2K&,&;'
6&%,"%' 1&' ?0%3$4&./0' 10' 6&#&32:,0' 2+62%&10' 10' 42"4/0' 12' 6%"32"%0' 6%2.09'
%282",&' 2+62%&1&'
10'42"4/0'
12'
6%"32"%0'
803'
6%2.0'
12'
%2+2%C&'
12'k.C&40%'
Teorema
E: Sejam10'42"4/0'
n jogadores
e6%2.0'
uma distribuição
de malha
de&-2%,0'
tamanho
%282",&' 2+62%&1&'
12' 6%"32"%0'
6%2.0'
803' 6%2.0'
12' %2+2%C&'
&-2%,0'
12' C&40%'
% esperada
0123456,%>%±%O,6,5;"%,#1,@"4"%1"@"%1@,D$%4,%@,#,@M"%"39365"4$%
A
receita
do leilão de primeiro preço com preço de reserva aberto de
6012)+2'0-,2%'&'%282",&'2+62%&1&'6240'+2#$":,2',20%23&@'
ఘିଵ ఘ
ఘିଵ ఘ
é
ǡ ‫ݎ‬ቃ'D'
‫ א ݎ‬ቀvalor
‫ א‬ቀ ௞ ǡ ௞ ቃ'D'
௞ ௞
I' 6&%,"%' 1&' ?0%3$4&./0' 10' 6&#&32:,0' 2+62%&10' 10' 42"4/0' 12' 6%"32"%0' 6%2
%
௡ିଵ ‫ ܥ‬ሺߩǡ ߩሻ
௡ିଵ ‫ ܥ‬ሺߩǡ
݊
ߩሻ ௝
݊
௝
6012)+2'0-,2%'&'%282",&'2+62%&1&'6240'+2#$":,2',20%23&@'
௝ାଵ
ሻ
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ሻሺ
ሻ
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െ ሺ൯ͳቇ െ
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௝ୀଵ ݆ ൅ ͳ
!!"
"
݆
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൅෍ ݆
‫ܥ‬௝ ሺߩǡ ߩሻ൫௝ାଶ
ͳ െ ߶ ௝ାଶ ൯቉
ሺ
ሻ൫
൯቉
൅෍
‫ܥ‬
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൅
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݇ ௡ାଵ
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ቈሺ‫ ݌‬െ ͳሻ ቆܵሺߩǡ ߩሻ௡ିଵ
൅௞ ௡ାଵ ෍
൅෍
ቇ െ ‫ܧ‬௣ఘ
‫ܥ‬௝ ሺߩǡ ߩሻ
௝ୀଵ ݆ቇ൅െͳ‫ܧ‬௣ఘ
ቈሺ‫݌‬௣ୀఘାଵ
෍݇
െ ͳሻ ቆܵሺߩǡ ߩሻ ൅ ෍
௡ିଵ
൅෍
ሺ݆ ൅ ͳሻሺ݆ ൅ ʹሻ
௝ୀଵ
௣ୀఘାଵ
௝ୀଵ
݆൅ͳ
௡ିଵ
݆
൅෍ ݆
‫ܥ‬௝ ሺ‫݌‬ǡ ‫݌‬ሻ቉ ǡ'
௝ୀଵ ሺ݆ ൅ ͳሻሺ݆ ൅ ʹሻ
ሺ݆ ൅ ͳሻሺ݆ ൅ ʹሻ
‫ܥ‬௝ ሺ‫݌‬ǡ ‫݌‬ሻ቉ ǡ'
0:12'߶ ൌ ݇‫ ݎ‬െ ߩ ൅ ͳ;'
onde ϕ = kr – ρ + 1.
0:12'߶ ൌ ݇‫ ݎ‬െ ߩ ൅ ͳ;'
C,:$3#;@"DE$@'2UHVXOWDGRpGHPRQVWUDGRSRU6LOYDŶ'
C,:$3#;@"DE$@'2UHVXOWDGRpGHPRQVWUDGRSRU6LOYDŶ'
Demonstração:
O resultado é demonstrado por Silva (2010).
0123456,%8%±%>#;@";HI5"%4,%,J95<KL@5$%4,%<,5<E$%491<$%
0123456,%8%±%>#;@";HI5"%4,%,J95<KL@5$%4,%<,5<E$%491<$%
N,$@,:"% 8' <2=&3' J-./' &' 6%0-&-"4"1&12' 10' ,"60' 10' C2:1210%' 2' ‫ܨ‬
௒భȁ௧భ ሺή
45
ȁ ήሻ' &
N,$@,:"%
8' <2=&3' J-./' &' 6%0-&-"4"1&12' 10' ,"60' 10' C2:1210%' 2' ‫ܨ‬௒భȁ௧భ ሺή ȁ ήሻ' &'
6%0-&-"4"1&12'80:1"8"0:&4'12?":"1&':0'I6J:1"82'N;'<$60:5&'A$2'0',"60'10'C2:1210%'D
Finanças Públicas ‒ XVI Prêmio Tesouro Nacional ‒ 2011
6%0-&-"4"1&12'80:1"8"0:&4'12?":"1&':0'I6J:1"82'N;'<$60:5&'A$2'0',"60'10'C2:1210%'D'
":1262:12:,2' 10+' ,"60+' 10+' 8036%&10%2+;' <2' ܾǣሾͲǡͳሿ ՜ Թ' D' $3' 2A$"4O-%"0' +"3D,%"80
6%0-&-"4"1&12'80:1"8"0:&4'12?":"1&':0'I6J:1"82'N;'<$60:5&'A$2'0',"60'10'C2:1210%'D'
0123456,%8%±%>#;@";HI5"%4,%,J95<KL@5$%4,%<,5<E$%491<$%
Economia e Contabilidade do Setor Público ‒ Ângelo Henrique Lopes da Silva
ሾͲǡͳ,"60'
ሿ ՜ 10'
ሺή ȁ ήሻ' &'
":1262:12:,2'
10+'
10+'
8036%&10%2+;'
<2' ܾǣ10'
Թ' D'
$3' 2A$"4O-%"0'
+"3D,%"80'
N,$@,:"%
8',"60+'
<2=&3'
J-./'
&' 6%0-&-"4"1&12'
C2:1210%'
2' ‫ܨ‬௒భȁ௧
భ
G<L$.&")(H(3(!=+0'+N8&'(.)();7&-C,0&#(.)(-)&-K#(.7<-#
8%2+82:,29'2:,/0'-'D'1&10'60%'
6%0-&-"4"1&12'80:1"8"0:&4'12?":"1&':0'I6J:1"82'N;'<$60:5&'A$2'0',"60'10'C2:1210%'D'
Teorema F: Sejam G(·) a݂probabilidade
do
tipo do vendedor e a probabi‫ ݔ‬ሻ൯
ሾͲǡͳሿ ՜ Թ' D' $3' 2A$"4O-%"0' +"3D,%"80'
":1262:12:,2'
10+' ,"60+' 10+' 8036%&10%2+;'
<2'ሺܾǣ
௒భ ȁ௧భ ሺ‫ݔ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ‫ܩ‬൫ܾ
ƍ
lidade condicional
definida no Apêndice B. Suponha que o tipoሺdo
é
‫ ݔ‬െvendedor
ܾሻǡ'
ܾ ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ
ሻ‫ܩ‬൫ܾ
ሺ‫ݔ‬ሻ൯ െ ‫ܨ‬௒భȁ௧Se
ሺ‫ݔ‬ȁ‫ݔ‬
ሻ݃൫ܾ
ሺ‫ݔ‬ሻ൯ሺ‫ ݔ‬െsimétrico
‫ܨ‬௒భtipos
ܾሻ
ȁ௧భ ሺ‫ݔ‬ȁ‫ݔ‬
భ
independente
dos
dos
compradores.
é
um
equilíbrio
crescente,
8%2+82:,29'2:,/0'-'D'1&10'60%'
então b é dado por
C,:$3#;@"DE$F'Z3'R&+,%0'2'S"&+80+'FTUUVH9'?&.&30+'803'A$2'0':Y32%0'12'
݂௒భ ȁ௧భ ሺ‫ݔ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ‫ܩ‬൫ܾሺ‫ ݔ‬ሻ൯
ሺ‫ ݔ‬െ ܾሻǡ'
ܾ ƍ ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ
ሺ
ሻ
ሺ
ሻ൯
ሺ
ሻ
ሺ
ሻ൯ሺ
ሻ
-2:+':0' 301240'+2=&'
‫ܨ‬௒భK"''29'60%'80:+2#$":,29',2:5&30+'&62:&+'$3'C2:1210%')"';'
‫ݔ‬ȁ‫ݔ‬
‫ܩ‬൫ܾ
‫ݔ‬
െ
‫ܨ‬
‫ݔ‬ȁ‫ݔ‬
݃൫ܾ
‫ݔ‬
‫ݔ‬
െ
ܾ
ȁ௧
௒
ȁ௧
భ
భ భ
23'A$2'‫ݒ‬௜ǡଵ ൌ ‫ݐ‬௜ 'D'0',"60'10'8036%&10%'E;'
R030' 23'A$2'‫ݒ‬
P"44"&3+'
FMQQMH9'
&++$3"30+' eA$2'
0' C2:1210%'
&6%2+2:,&'
&0' +2$'
ൌ ‫ݐ‬௜ 'D'0',"60'10'8036%&10%'E;'
C,:$3#;@"DE$F'Z3'R&+,%0'2'S"&+80+'FTUUVH9'?&.&30+'803'A$2'0':Y32%0'12'
௜ǡଵ
Demonstração:
(2009),D'façamos
com4&:82'
que 10+'
o "#$&4'
número
R0:+"12%&:10'
A$2'Em0'Castro
,"60' 10'Riascos
C2:1210%'
":1262:12:,2'
,"60+' 10+'
23'A$2'‫ݒ‬
ൌ ‫ݐ‬௜ 'D'0',"60'10'8036%&10%'E;'
de
bens no ௜ǡଵ
modelo
seja K = 1 e, por conseguinte, tenhamos apenas um vendedor
C&40%;'
S2&4"E&:10'
,&"+'
301"?"8&.>2+9'
A$2' &'D'6%"32"%&'
12%"C&1&'
10' ,"60+'
<8+=00' 10'
R0:+"12%&:10'
A$2'
0' ,"60'
10',230+'
C2:1210%'
":1262:12:,2'
10+'
-2:+':0'
301240'+2=&'
K"''29'60%'80:+2#$":,29',2:5&30+'&62:&+'$3'C2:1210%')"';'
‫ݐ‬௜ 'D'0',"60'10'8036%&10%'E;'
n = 1.23'A$2'‫ݒ‬
Como௦೔ǡభWilliams
(1991),
assumimos
que o vendedor
apresenta lance
igual ao 10+'
ሺߚȁ‫ݐ‬
8036%&10%2+9'‫ܨ‬
௜ǡଵ ൌ
௜ ሻ 'D'12?":"10'8030'
R0:+"12%&:10'
A$2'tais
0'modificações,
,"60' 10' C2:1210%'
10+'
,"60+' 10+'
seu
valor. Realizando
temos queD'a ":1262:12:,2'
primeira derivada
do payoff
'D'
8036%&10%'E'23'%24&./0'&0'+2$'4&:82'ܾ
ሺ
ሻ
ߚȁ‫ݐ‬
'D'12?":"10'8030'
8036%&10%2+9'‫ܨ‬
R030'
P"44"&3+'
FMQQMH9'
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A$2'
0'
C2:1210%'
&6%2+2:,&'
4&:82'
"#$&4'
&0' +2$'
௜ǡଵ
௦
௜
೔ǡభ i em relação
ିଵ b C2:1210%'
ିଵ ሺ ሻ ሻ
R0:+"12%&:10'
A$2'
0' seu
,"60'
10'
D' ":1262:12:,2'
do comprador
lance
é
ሺߚȁ‫ݐ‬௜ ሻ ൌ
‫ܨ‬
‫ܨ‬ଵ ሺao
ߚȁ‫ݐ‬
ߚ ȁ‫ݐ‬௜ ' 10+' ,"60+' 10+'
i,1ሻȁ‫ݐ‬௜ ሻ ൌ ‫ܨ‬ଵ ሺߚ ሻ‫ܨ‬ଶ ሺܾ
௦೔ǡభ
௜ ሻ‫ܨ‬ଶ ሺܾ ሺߚ
23'A$2'‫ݒ‬
ൌ
‫ݐ‬
'D'0',"60'10'8036%&10%'E;'
௜ǡଵ
௜
ሺൌ
ߚȁ‫ݐ‬
'D'12?":"10'8030'
8036%&10%2+9'‫ܨ‬
23'A$2'‫ݒ‬
‫ݐ‬௜ 'D'0',"60'10'8036%&10%'E;'
23'A$2'‫ݒ‬
‫ݐ‬௜௜ൌሻ'D'0',"60'10'8036%&10%'E;'
௦௜ǡଵ
௜ǡଵ
23'A$2'‫ݒ‬
ൌ
‫ݐ‬൫‫ݐ‬
௜ǡଵ೔ǡభ
௜ 'D'0',"60'10'8036%&10%'E;'
ିଵ௦ሺ ሺሻߚȁ‫ݐ‬
ሻ ൅&'൫‫ݒ‬
ሻ',10' <8+=00' 10'
23'A$2'‫ݒ‬
ൌ
‫' ݐ‬D'0',"60'10'8036%&10%'E;'
൫ߚǡ
C&40%;'
S2&4"E&:10'
,&"+'
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6%"32"%&'
12%"C&1&'
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ܾି௜௜ ሻ൯‫ܨ‬ଶൌሺܾ,230+'
െ‫ܨ‬
െଶ ሺܾܾ௜ǡଵିଵ൯݂
௜ǡଵ
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ሺ௦ߚ೔ǡభሻሺȁ‫ߚݐ‬ȁ‫ݐ‬
23'A$2'‫ݒ‬
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௜
௜
௜ǡି௝
௜ǡଵሻ‫ܨ‬
‫ܨ‬
ߚȁ‫ݐ‬
‫ܨ‬ଵ ሺ൯ǡߚȁ‫ݐ‬
ߚ ȁ‫ݐ‬A$2'
ሻ'D'12?":"10'8030'
೔ǡభ
೔ǡభ
8036%&10%2+9'‫ܨ‬
௜ǡଵ
௦೔ǡభ௦೔ǡభ ሺ௜ߚȁ‫ݐ‬
௜ ሻ ௜௜ൌ
௜ ሻ௜ ൌ ‫ܨ‬ଵ ሺߚ
௜ ሻ'௜
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A$2'
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ሻD' ൌ
ሻ‫ܨ‬ଶ ሺܾିଵ
ሺߚ,"60+'
ሻȁ‫ݐ‬,"60+'
ሻ'10+'
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‫ܨ‬,"60'
ߚȁ‫ݐ‬
‫ܨ‬ଵ ሺ":1262:12:,2'
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ଶ
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భ భܾ ‫ ݔ‬െ
# <2'‫ ݔ‬ǡ ‫א‬
భ భ൫‫ ݔ‬െ ܾ ‫ݔ‬
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௒భȁ௧భ
ቃ;'Z'&++"3'6%0++2#$2)+2'6&%&',010+'0+'":,2%C&40+;'
ቀ ǡ ቃ9'2'+$60:10'A$2'‫ܩ‬ሺήሻ'D'$:"?0%329',230+'A$2'
":,2%C&40'ቀ
௞ 10'":,2%C&409'
௞
2K,%230'
+$62%"0%'
A$2' +2%L9' 60%'+$&' C2E9' &' 80:1"./0' ":"8"&4' 10'6%[K"30'
௞ ௞
#
#
ଵ ଶ
ିଵ
ଵ
ሺ‫ݔ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ &' 2A$&./0'
*2' &80%10' 803'ƍ R&+,%0'
1"?2%2:8"&4'
6012' +2%' %2+04C"1&'
݂௒భ ȁ௧FTUUVH9'
ͳ
ͳ
":,2%C&40'ቀ௞ ǡ ௞ ቃ;'Z'&++"3'6%0++2#$2)+2'6&%&',010+'0+'":,2%C&40+;'
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భ
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0123456,%P%7%N,#;,%4,%,J95<KL@5$%6$:%1@,D$%4,%@,#,@M"%#5I5<$#$%
ǡ ቃ;'Z'&++"3'6%0++2#$2)+2'6&%&',010+'0+'":,2%C&40+;'
ฺ ܾ ƍ ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ
൤ ሻ ‫ ݔ‬െ ܾሺ‫ݔ‬െሻ ܾሺ‫ݔ‬൨ሻ 'ଵ
":,2%C&40'ቀ
௞ ௞ ":,2%C&40'60%'":,2%C&40;'X03&:10)+2'0'6%"32"%0'":,2%C&40'
‫ܨ‬௒భȁ௧భ ሺ‫ݔ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ ‫ ݔ‬െ ܾሺ‫ݔ‬ሻ ܾሺ‫ ݔ‬ሻ ሺͲǡ ௞ ቃ9',230+'8030'80:1"./0'
#
0123456,%P%7%N,#;,%4,%,J95<KL@5$%6$:%1@,D$%4,%@,#,@M"%#5I5<$#$%
*2' &80%10' 803' R&+,%0' FTUUVH9' &' 2A$&./0' 1"?2%2:8"&4' 6012' +2%' %2+04C"1&'
&4' 6012' +2%' %2+04C"1&'
B'2A$&8"0:&32:,0'12'4&:82'0-,"10'6240'X20%23&'!'80:?"#$%&)+2':/0'&62:&+'
De acordo com Castro (2008), a equação diferencial pode ser resolvida in- ଵ
0123456,%P%7%N,#;,%4,%,J95<KL@5$%6$:%1@,D$%4,%@,#,@M"%#5I5<$#$%
":"8"&4'
5-%/"%;'
R03' +04$./0'
":,2%C&409'
0-,230+'6012'
&' 0' C&40%'
ܾ ቀ ቁ' 10'
*2' &80%10'
803'
R&+,%0'
FTUUVH9'10'&'6%"32"%0'
2A$&./0'
1"?2%2:8"&4'
+2%'12'
%2+04C"1&'
B'2A$&8"0:&32:,0'12'4&:82'0-,"10'6240'X20%23&'!'80:?"#$%&)+2':/0'&62:&+'
,230+'8030'80:1"./0'
tervalo
por
intervalo. Tomando-se o primeiro intervalo ሺͲǡ ௞ଵቃ9',230+'8030'80:1"./0'
, temos como con- ௞
":,2%C&40'60%'":,2%C&40;'X03&:10)+2'0'6%"32"%0'":,2%C&40'
23' $3' 8&:1"1&,0' &' 2A$"4O-%"09' 3&+9' :&' C2%1&129' :0' Y:"80' 8&:1"1&,0' &' 2A$"4O-%"0;'
dição
inicial
b(0) =+$62%"0%'
0. Com10'":,2%C&409'
a solução do
intervalo,
obtemos
o valor
de
B'2A$&8"0:&32:,0'12'4&:82'0-,"10'6240'X20%23&'!'80:?"#$%&)+2':/0'&62:&+'
2K,%230'
A$2'primeiro
+2%L9' 60%'+$&'
C2E9'
80:1"./0' ":"8"&4'
10'6%[K"30'
ǡ ଵ&'ቃ9',230+'8030'80:1"./0'
ଵ
ଵ
ሺ
":,2%C&40'60%'":,2%C&40;'X03&:10)+2'0'6%"32"%0'":,2%C&40'
Ͳ
23'
$3'
8&:1"1&,0'
&'
2A$"4O-%"09'
3&+9'
:&'
C2%1&129'
:0'
Y:"80'
8&:1"1&,0'
&'
2A$"4O-%"0;'
&' 0' C&40%' 12' ܾ ቀ ቁ'do
10'extremo
":"8"&4' 5-%/"%;'
R03'do
+04$./0'
10' 6%"32"%0'
":,2%C&409'
0-,230+'
&' 0' C&40%' inicial
12' ܾ ቀ ቁ'
superior
intervalo,
que será,
por sua
vez,௞ a condição
do10'
௞
௞
70%,&:,09'2++2'8&:1"1&,0':282++",&'+2%',2+,&10'6&%&'+2'80:?"%3&%'+2'D'%2&432:,2'$3'
ଵ ଶ
próximo
intervalo
. E assim
prossegue-se
para:0'
todos
os intervalos.
23' $3'
8&:1"1&,0'
&' 2A$"4O-%"09'
3&+9'
:&' C2%1&129'
Y:"80'
8&:1"1&,0' &' 2A$"4O-%"0;'
ǡ ቃ;'Z'&++"3'6%0++2#$2)+2'6&%&',010+'0+'":,2%C&40+;'
":,2%C&40'ቀ
௞ ௞
ଵ
./0' ":"8"&4'
10'6%[K"30' 2K,%230' +$62%"0%'
70%,&:,09'2++2'8&:1"1&,0':282++",&'+2%',2+,&10'6&%&'+2'80:?"%3&%'+2'D'%2&432:,2'$3'
10'":,2%C&409' A$2' +2%L9' 60%'+$&' C2E9' &' 80:1"./0' ":"8"&4' 10'6%[K"30'
":"8"&4' 5-%/"%;' R03' +04$./0' 10' 6%"32"%0' ":,2%C&409' 0-,230+' &' 0' C&40%' 12' ܾ ቀ ቁ' 10'
2A$"4O-%"0;'
௞
0123456,%P%7%N,#;,%4,%,J95<KL@5$%6$:%1@,D$%4,%@,#,@M"%#5I5<$#$%
70%,&:,09'2++2'8&:1"1&,0':282++",&'+2%',2+,&10'6&%&'+2'80:?"%3&%'+2'D'%2&432:,2'$3'
ଵ ଶ
G<L$.&")(Q(3(J)=+)(.)();7&-C,0&#("#%(<0)O#(.)(0)=)0>'(=&8&-#=#
'
":,2%C&40'ቀ௞ ǡ ௞ ቃ;'Z'&++"3'6%0++2#$2)+2'6&%&',010+'0+'":,2%C&40+;'
2A$"4O-%"0;'
*2'+$62%"0%'
60++2' 1&'
2+,%&,D#"&'A$2'
12' +2%L9'
2A$"4O-%"0'
0-,"1&'
X20%23&'
!9' 6%08$%&30+'
2K,%230'
10'":,2%C&409'
60%'+$&'
C2E9'6240'
&' 80:1"./0'
":"8"&4'
10'6%[K"30'
B'2A$&8"0:&32:,0'12'4&:82'0-,"10'6240'X20%23&'!'80:?"#$%&)+2':/0'&62:&+'
2A$"4O-%"0;'
M"%#5I5<$#$%
0123456,%P%7%N,#;,%4,%,J95<KL@5$%6$:%1@,D$%4,%@,#,@M"%#5I5<$#$%
O
equacionamento
de
lance
obtido
pelo
Teorema
F
configura-se
não
apenas
*2' 60++2' 1&' 2+,%&,D#"&' 12' 2A$"4O-%"0' 0-,"1&' 6240' X20%23&' !9' 6%08$%&30+'
23' $3' 8&:1"1&,0'
&' 2A$"4O-%"09'
3&+9' :&' C2%1&129'
Y:"80' 8&:1"1&,0'
&' 2A$"4O-%"0;'
ଵ ଶ
C2%"?"8&%'+2',&4'2+,%&,D#"&'12'4&:82'D'%2&432:,2'$3'2A$"4O-%"0'W&+5)N&_2+"&:0;'X230+'
em
um
a equilíbrio,
mas, na verdade,
no único:0'
candidato
a equilíbrio.
ቃ;'Z'&++"3'6%0++2#$2)+2'6&%&',010+'0+'":,2%C&40+;'
ǡ candidato
":,2%C&40'ቀ
:?"#$%&)+2':/0'&62:&+'
*2' ௞60++2'
1&'
2+,%&,D#"&' 12' 2A$"4O-%"0' 0-,"1&' 6240' X20%23&' !9' 6%08$%&30+'
B'2A$&8"0:&32:,0'12'4&:82'0-,"10'6240'X20%23&'!'80:?"#$%&)+2':/0'&62:&+'
௞
Portanto, esse
candidato necessita ser testado para se confirmar se é realmente um
C2%"?"8&%'+2',&4'2+,%&,D#"&'12'4&:82'D'%2&432:,2'$3'2A$"4O-%"0'W&+5)N&_2+"&:0;'X230+'
70%,&:,09'2++2'8&:1"1&,0':282++",&'+2%',2+,&10'6&%&'+2'80:?"%3&%'+2'D'%2&432:,2'$3'
A$2'&'2+,%&,D#"&'8&:1"1&,&'&'2A$"4O-%"0'D'5-6/'8030'12+8%",&'&:,2%"0%32:,2;'
&:1"1&,0' &' 2A$"4O-%"0;'
equilíbrio.
23' $3' 8&:1"1&,0' &' 2A$"4O-%"09' 3&+9' :&' C2%1&129' :0' Y:"80' 8&:1"1&,0' &' 2A$"4O-%"0;'
C2%"?"8&%'+2',&4'2+,%&,D#"&'12'4&:82'D'%2&432:,2'$3'2A$"4O-%"0'W&+5)N&_2+"&:0;'X230+'
0123456,%P%7%N,#;,%4,%,J95<KL@5$%6$:%1@,D$%4,%@,#,@M"%#5I5<$#$%
2A$"4O-%"0;'
A$2'&'2+,%&,D#"&'8&:1"1&,&'&'2A$"4O-%"0'D'5-6/'8030'12+8%",&'&:,2%"0%32:,2;'
De70%,&:,09'2++2'8&:1"1&,0':282++",&'+2%',2+,&10'6&%&'+2'80:?"%3&%'+2'D'%2&432:,2'$3'
posse da estratégia de equilíbrio obtida pelo Teorema F, procuramos ve3&%'+2'D'%2&432:,2'$3'
I'?$:./0'5-6/3"363D'2A$"4O-%"0'+2'0'+2#$":,2'&80:,282@'
A$2'&'2+,%&,D#"&'8&:1"1&,&'&'2A$"4O-%"0'D'5-6/'8030'12+8%",&'&:,2%"0%32:,2;'
B'2A$&8"0:&32:,0'12'4&:82'0-,"10'6240'X20%23&'!'80:?"#$%&)+2':/0'&62:&+'
rificar
se tal estratégia
de lance
é realmente
um equilíbrio
*2' 60++2'
1&' 2+,%&,D#"&'
12' 2A$"4O-%"0'
0-,"1&'Nash-bayesiano.
6240' X20%23&' !9'Temos
6%08$%&30+'
I'?$:./0'5-6/3"363D'2A$"4O-%"0'+2'0'+2#$":,2'&80:,282@'
2A$"4O-%"0;'
que a estratégia
candidata
a
equilíbrio
é
b(z),
como
descrita
anteriormente.
ଶ
οሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ‫ ؠ‬Ȇ൫‫ݔ‬ǡ ܾሺ‫ݖ‬ሻ൯ െ Ȇ൫‫ݔ‬ǡ ܾሺ‫ ݔ‬ሻ൯ ൑ Ͳǡ ‫׊‬ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ‫ א‬ሾͲǡͳሿ '
C2%"?"8&%'+2',&4'2+,%&,D#"&'12'4&:82'D'%2&432:,2'$3'2A$"4O-%"0'W&+5)N&_2+"&:0;'X230+'
I'?$:./0'5-6/3"363D'2A$"4O-%"0'+2'0'+2#$":,2'&80:,282@'
23'
$3'
8&:1"1&,0'
&' 60++2'
2A$"4O-%"09'
3&+9' :&'
C2%1&129'0-,"1&'
:0' Y:"80'
8&:1"1&,0' &' 2A$"4O-%"0;'
0%23&' !9'
6%08$%&30+'
1&'
2+,%&,D#"&'se
12'
6240' X20%23&'ଶ !9' 6%08$%&30+'
A função
= zȆ൫‫ݔ‬ǡ
é equilíbrio
o 2A$"4O-%"0'
seguinte
οሺ*2'
‫ݔ‬ǡb(z)
‫ݖ‬ሻ ‫ؠ‬
ܾሺ‫ݖ‬ሻ൯ െ Ȇ൫‫ݔ‬ǡ
ܾሺ‫ ݔ‬ሻ൯ ൑acontece:
Ͳǡ ‫׊‬ሺ‫ݔ‬ǡ
‫ݖ‬ሻ ‫ א‬ሾͲǡͳሿ '
A$2'&'2+,%&,D#"&'8&:1"1&,&'&'2A$"4O-%"0'D'5-6/'8030'12+8%",&'&:,2%"0%32:,2;'
23'A$2''
+5)N&_2+"&:0;'X230+'
C2%"?"8&%'+2',&4'2+,%&,D#"&'12'4&:82'D'%2&432:,2'$3'2A$"4O-%"0'W&+5)N&_2+"&:0;'X230+'
70%,&:,09'2++2'8&:1"1&,0':282++",&'+2%',2+,&10'6&%&'+2'80:?"%3&%'+2'D'%2&432:,2'$3'
οሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ‫ ؠ‬Ȇ൫‫ݔ‬ǡ ܾሺ‫ݖ‬ሻ൯ െ Ȇ൫‫ݔ‬ǡ ܾሺ‫ ݔ‬ሻ൯ ൑ Ͳǡ ‫׊‬ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ‫ א‬ሾͲǡͳሿଶ ',
23'A$2''
I'?$:./0'5-6/3"363D'2A$"4O-%"0'+2'0'+2#$":,2'&80:,282@'
2%"0%32:,2;' em que A$2'&'2+,%&,D#"&'8&:1"1&,&'&'2A$"4O-%"0'D'5-6/'8030'12+8%",&'&:,2%"0%32:,2;'
Ȇ൫‫ݔ‬ǡ ܾሺ‫ݖ‬ሻ൯ ൌ ൫‫ ݔ‬െ ܾሺ‫ݖ‬ሻ൯‫ܨ‬௒భ ȁ௧భ ሺ‫ݖ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ‫ܩ‬൫ܾ ሺ‫ݖ‬ሻ൯'
2A$"4O-%"0;'
23'A$2''
ሻ ‫ؠ‬൫‫ݔ‬Ȇ൫‫ݔ‬ǡ
ሺ‫ ݔ‬ሻ൯ሻ‫ܩ‬൫ܾ
‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ൌ
൑ Ͳǡሺ‫ݖ׊‬ሺሻ൯
‫ݔ‬ǡ ‫ 'ݖ‬ሻ ‫ א‬ሾͲǡͳሿଶ '
ሻ൯െ‫ܨ‬௒Ȇ൫‫ݔ‬ǡ
ሺܾ‫ݖ‬ȁ‫ݔ‬
Ȇ൫‫ݔ‬ǡ ܾሺο‫ݖ‬ሺሻ൯
െ ܾܾሺሺ‫ݖݖ‬ሻ൯
I'?$:./0'5-6/3"363D'2A$"4O-%"0'+2'0'+2#$":,2'&80:,282@'
భ ȁ௧భ
2'
2+,%&,D#"&'
12'
!9' 6%08$%&30+'
ሺ‫ݖ‬ȁ‫ ݔ‬ሻ6240'
ሻ൯'
൫‫ݔ‬2A$"4O-%"0'
Ȇ൫‫ݔ‬ǡ ܾሺ‫ݖ‬ሻ൯ ൌ
െ ܾሺ‫ݖ‬ሻ൯‫ܨ‬௒0-,"1&'
‫ܩ‬൫ܾ ሺ‫ݖ‬X20%23&'
e *2' 60++2' 1&'23'A$2''
ሾͲǡͳሿଶ '
భ ȁ௧భ
ଶ
ሺ
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ሺ
ሻ൯
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C2%"?"8&%'+2',&4'2+,%&,D#"&'12'4&:82'D'%2&432:,2'$3'2A$"4O-%"0'W&+5)N&_2+"&:0;'X230+'
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Públicas
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Prêmio
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σFinanças
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Economia e Contabilidade do Setor Público ‒ Ângelo Henrique Lopes da Silva
I' 6&%,"%' 1&' ?0%3$4&./0' 10' 6&#&32:,0'
2+62%&10' 10' 42"4/0' 12'
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భ భ
A
última
função
de
probabilidade
foi
obtida
do
Lema
B1.
Assim,
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ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ
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<2'0',"60'10'C2:1210%'D'%26%2+2:,&10'60%'$3&'1"+,%"-$"./0'$:"?0%32'F‫ܩ‬
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భ
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భ భ
భ భ
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‫ݔ‬H9'2:,/0'
Se
o
tipo
do
vendedor
é
representado
por
uma
distribuição
uniforme (G(x)),
‫ݔ‬H9'2:,/0'
0123456,%Q%±%O,6,5;"%,#1,@"4"%1"@"%1@,D$%4,%@,#,@M"%#5I5<$#$%
ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ
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então ఘିଵ ఘ ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ ሾ‫ ݔ‬െ ܾሺ‫ݖ‬ሻሿ‫ ܨ‬ሺ‫ݖ‬ȁ‫ ݔ‬ሻܾሺ‫ݖ‬ሻ െ ሾ‫ ݔ‬െ ܾሺ‫ ݔ‬ሻሿ‫ ܨ‬ሺ‫ݔ‬ȁ‫ ݔ‬ሻܾሺ‫ ݔ‬ሻ'
௒భȁ௧భ
௒భȁ௧భ
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ሻ ܾሺ6%"32"%0'
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ȁ௧భ ሺ‫ݖ‬ȁ‫ ݔ‬ሻܾሺ‫ݖ‬ሻ െ
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0123456,%Q%±%O,6,5;"%,#1,@"4"%1"@"%1@,D$%4,%@,#,@M"%#5I5<$#$%
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ȁ‫ ݔ‬ሻܾ
ሺ‫ ݔ‬ሻ' 6%2.09'
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ሺ‫ݖ‬ȁ‫ ݔ‬ሻܾሺ‫ݖ‬ሻ െ ሾ‫ ݔ‬െ ܾ ሺ‫ ݔ‬ሻሿ‫ ܨ‬భȁ௧భ ሺ‫ ݔ‬12'
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na formulação
do pagamento‫ܥ‬௝esperado
leilão de primeiro pre݇ థ
݇
௝ୀଵ
ço, pode-se
a receita esperada pelo seguinte teorema:
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10' 6&#&32:,0'
2+62%&10' 10' 42"4/0'
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௞ n jogadores
Teorema
e uma
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N,$@,:"'
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12'
ቃ'12'6%2.0'12'%2+2%C&'?"K&10'6240'42"402"%0;'I'%282",&'2+62%&1&'10'
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valor ‫א‬
de௣ୀఘାଵ
fixado
pelo ‫݌‬leiloeiro.
A receita
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do leilão de primeiro preço com preço de reserva fechado é
ఘିଵ ఘ
ǡ ቃ'12'6%2.0'12'%2+2%C&'?"K&10'6240'42"402"%0;'I'%282",&'2+62%&1&'10'
12'C&40%'‫ݎ‬
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Demonstração:
por Silva (2010).
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o
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temos que a receita esperada, dado o preço de reserva r, é
0123456,%
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No caso do preço de reserva sigiloso, o payoff do único jogador será
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Finanças Públicas ‒ XVI
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Setor
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onde
usamos na última igualdade o fato de que r~U(0,1).
Então, o lance do joga=0#&10%'+04",L%"0'+2%L'
=0#&10%'+04",L%"0'+2%L'
0:12'$+&30+':&'Y4,"3&'"#$&41&12'0'?&,0'12'A$2'
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Portanto, a receita
para o leilão
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Ao compararmos R
com R
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que ൌ
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do que a do aberto,
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, enquanto a
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(Figura
12).
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Finanças Públicas ‒ XVI Prêmio Tesouro Nacional ‒ 2011
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