Relembrando: Ângulos, Triângulos e Trigonometria...
Este texto é apenas um resumo. Procure estudar esses assuntos em um livro apropriado.
Ângulo é a região de um plano delimitada pelo encontro de
duas semirretas que possuem uma origem em comum,
chamada vértice do ângulo. Os ângulos são medidos em
graus ou em radianos. Um ângulo que dá uma volta
completa no vértice tem 360 graus ou 2π radianos. No
nosso curso vamos usar apenas medidas em graus.
Ângulos :
agudo (a)
obtuso (b)
raso(c)
Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados.
Talvez seja o polígono mais importante que existe. Todo triângulo possui vários atributos e
dentre os principais mostramos na figura abaixo: os vértices, os lados e os ângulos internos.
Vértices: A , B, C.
Lados: AB, BC e AC.
Ângulos internos: a, b e c
Um tipo muito importante de triângulo é o
triângulo retângulo, que é aquele no qual um
dos ângulos internos é reto (90 graus)
Ângulos Internos: Consideremos o triângulo ABC na figura
ao lado. As letras a, b e c representam as medidas dos
ângulos internos desse triângulo.
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180 graus, isto é:
a + b + c = 180º
Curiosidade:
Quanto vale a soma dos ângulos internos de um polígono qualquer?
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados é
dada por:
S = ( n – 2 ) × 180°
No caso do triângulo n = 3 logo S = ( 3 - 2 ) × 180° = 180°
No caso do quadrado n = 4 logo S = ( 4 - 2 ) × 180° = 360°
Por que a circunferência foi dividida em 360 graus?
Ao que tudo indica a circunferência foi dividida em 360° porque se supunha que o ano
tivesse 360 dias... algo do começo dos estudos astronômicos.
Triângulo Retângulo
Como vimos, um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus
ângulos mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos
ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então a soma das medidas dos outros dois
ângulos vale 90°.
Dada a sua importância o triângulo retângulo tem nomes específicos para os seus lados: O
lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a
ele) são os catetos. Como a nomenclatura usada varia muito de livro para livro é importante
que nos acostumemos com os conceitos e não com as letras usadas pelos autores. Na figura
abaixo temos um triângulo retângulo com símbolos gregos (alfa e beta) que são comuns em
livros de física.
Teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras nos dá uma relação muito importante entre os comprimentos dos
lados de um triângulo retângulo e deve seu nome ao matemático grego Pitágoras (570 a.C. –
495 a.C.) que levou os créditos pela sua descoberta e demonstração.
O enunciado do Teorema de Pitágoras é o seguinte:
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é
igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos .
Assim, para o triângulo da figura acima, onde a é a hipotenusa e c e b são os catetos,
teremos:
Exemplo 1:
Se em um triângulo retângulo os catetos medem 3cm e 4cm qual será a medida da
hipotenusa?
Bem, de acordo com o teorema temos que:
Logo:
√
Funções trigonométricas básicas: seno, cosseno e tangente
Embora as funções trigonométricas sejam assunto para várias aulas vamos nos ater, por
enquanto, a três funções básicas definidas a seguir. Para tanto consideremos o triângulo
representado na figura abaixo:
Consideremos o ângulo α (alfa).Vamos fazer as seguintes definições:
Seno de alfa = sen (α) = cateto oposto / hipotenusa =
Cosseno de alfa = cos (α) = cateto adjacente / hipotenusa =
Tangente de alfa = tg (α) = cateto oposto / cateto adjacente =
Exemplo 2:
Tomemos o triangulo do exemplo anterior (a=5, b=3, c=4) e teremos:
sen (α) =
cos (α)
tg (α)
Desafio:
Usando as definições de seno e cosseno e o Teorema de Pitágoras mostre que se x é um
ângulo qualquer então:
( )
( )
Exemplo 3:
A figura acima mostra a decomposição de uma força F nas direções x e y de um sistema
cartesiano de eixos. Suponhamos que a força tenha o valor de 5,0N (Newtons) e que o
ângulo θ seja de 30°.
Nesse caso teremos:
Fy = 5,0 sen (30) 5,0 x 0,50 = 2,5 N
Fx = 5,0 cos (30) = 5,0 x 0,87 = 4,33 N
Com os dados acima verifique que:
Fx2 + Fy2 = F2
Para você pensar (aplicação do exemplo acima...):
Um carro é rebocado em uma rua plana por um reboque que faz uma força de 200N aplicada
segundo um ângulo de 30 graus em relação ao plano da rua. Quanto vale a componente da
força na direção do movimento? E a componente vertical, tem algum papel nesse problema?
Qual?
A figura abaixo mostra as Leis dos senos e dos cossenos.
No momento não vamos usá-las, mas você ainda vai precisar delas!
Como determinar os valores das funções trigonométricas?
Existem tabelas com os valores das funções, mas atualmente qualquer calculadora científica
nos dá o resultado em fração de segundo. Mas atenção: as calculadoras podem trabalhar com
graus, radianos e grados. Aprenda a usá-las ou você pode obter resultados completamente
errados.
Você sabia? Com o Excel você pode gerar uma tabela de funções trigonométricas. No
exemplo uma tabela de senos e cossenos de 10 em 10 graus.
x
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
270
280
290
300
310
320
330
340
350
360
sen(x)
0,174
0,342
0,500
0,643
0,766
0,866
0,940
0,985
1,000
0,985
0,940
0,866
0,766
0,643
0,500
0,342
0,174
0,000
-0,174
-0,342
-0,500
-0,643
-0,766
-0,866
-0,940
-0,985
-1,000
-0,985
-0,940
-0,866
-0,766
-0,643
-0,500
-0,342
-0,174
0,000
cos(x)
0,985
0,940
0,866
0,766
0,643
0,500
0,342
0,174
0,000
-0,174
-0,342
-0,500
-0,643
-0,766
-0,866
-0,940
-0,985
-1,000
-0,985
-0,940
-0,866
-0,766
-0,643
-0,500
-0,342
-0,174
0,000
0,174
0,342
0,500
0,643
0,766
0,866
0,940
0,985
1,000