Modelagem de Sistemas Dinâmicos
Alessandro D. Trani Gomes – [email protected]
Aula 1 – Introdução – Modelos
Modelos
Um modelo é uma representação simplificada da
realidade, de um processo, de um sistema ou de um problema a ser
resolvido.
Embora simplificado, ele faz uma representação
suficientemente precisa dos aspectos essenciais do sistema. Ou, se
preferir, um modelo é uma abstração ou uma aproximação que é
usada para se entender e simular a realidade.
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Tipos de modelos:
• Icônico
• Matemático
• Diagramático
• Representação gráfica
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O que é um modelo matemático?
• "É uma representação dos aspectos essenciais de um sistema,
que apresenta conhecimento desse sistema em uma forma
utilizável." (Eykhoff, 1974)
• "É um sistema de equações, cuja solução, dado um conjunto de
dados de entrada, é representativa da resposta do processo."
(Denn, 1986)
• "Um modelo nada mais é do que uma abstração matemática ele
um processo real." (Seborg et al, 2004)
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Um modelo matemático para um sistema dinâmico
pode ser definido como um conjunto de equações
diferenciais que descrevem o comportamento do sistema
de maneira precisa, ou o melhor possível. Também
recebe o nome de modelo dinâmico.
Modelos com precisão elevada incluem
equacionamento complexo onde todos os fenômenos
envolvidos no processo são considerados relevantes e os
parâmetros devem ser avaliados ou conhecidos
precisamente, situação nem sempre possível.
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Sistema
O termo sistema é a combinação completa de
equipamentos, materiais, energia, componentes que atuam
em conjunto para satisfazer um objetivo especificado.
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De maneira geral, um modelo matemático pode ser obtido de
duas formas:
Modelo analítico – situação quando o sistema físico é
conhecido e permite sua análise sendo que os parâmetros são
conhecidos ou determináveis.
Modelo experimental – situação em que as aplicações das leis
físicas não trazem resultados satisfatórios por que a constituição
física do mesmo não é conhecida ou os parâmetros não podem
ser conhecidos ou são muito imprecisos. Neste caso recorre-se a
experimentos.
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Causal x Não-Causal
Um sistema causal depende somente de condições presentes ou
passadas, e não dependem de estados futuros. Sistemas físicos são
todos sistemas causais.
Estático x Dinâmico
Estático: processo cujo valor das variáveis permanece constante no
tempo. Este tipo de modelo não possui "memória", daí o efeito de
uma variável de entrada ser apenas instantâneo.
Dinâmico: as variáveis variam no tempo, que é a variável
independente. A solução completa consiste dos regimes
permanente e transitório. O efeito de um sinal de entrada irá
influenciar o comportamento do sistema nos instantes
subsequentes.
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Determinísticos x Estocásticos
Em um modelo determinístico a saída pode ser calculada de forma
exata tão logo se conheça o sinal de entrada e as condições
iniciais. Em contraste, um modelo estocástico contém termos
aleatórios que tornam impossível um cálculo exato da saída. Os
termos aleatórios do modelo podem ser encarados como uma
descrição das perturbações. Normalmente, o modelo
determinístico engloba apenas o processo, enquanto o estocástico
considera também as perturbações e ruídos.
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Parâmetros Concentrados x Parâmetros Distribuídos
Nos modelos a parâmetros concentrados as variações espaciais
são desprezadas: propriedades (estados) do sistema são
considerados homogêneos em todo o volume de controle. Eles
são descritos por um número finito de equações diferenciais ou
de diferenças ordinárias.
Nos modelos a parâmetros distribuídos variações espaciais são
consideradas no comportamento das variáveis. Eles são
descritos por um número infinito de equações ordinárias ou por
equações diferenciais parciais. Todo sistema real é distribuído.
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Linear x Não-Linear
Um sistema é chamado linear se a ele se aplica o princípio da
superposição. O princípio da superposição estabelece que a
resposta produzida pela aplicação simultânea de duas
excitações diferentes é igual à soma das duas respostas
individuais a cada uma das excitações.
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Princípio da Superposição
Se sua resposta a uma entrada u1(t) é y1(t) e a sua resposta a
uma entrada u2(t) é y2(t) o sistema é linear se sua resposta para
uma entrada a.u1(t) + b.u2(t) for igual a a.y1(t) + b.y2(t) onde a e
b são constantes quaisquer.
Uma forma simples de se verificar a linearidade de um sistema
é aplicar o seguinte teste:
F ( x1 + x2 )= f (x1) + f (x2)
e
f(k.x) = k. f(x)
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Invariantes no tempo x Variantes no tempo
Nos modelos invariantes no tempo, seus parâmetros não variam ao
longo do tempo, o oposto ocorrendo no caso de modelos variantes
no tempo.
Tempo Contínuo x Tempo Discreto
Modelos em tempo discreto descrevem a relação entre entradas e
saídas em pontos de tempo discreto.
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Aula 1 – Introdução – Modelos
No nosso curso de Modelagem de Sistemas Dinâmicos,
concentraremos nossas atenções para os sistemas:
causais, dinâmicos, determinísticos, com parâmetros
concentrados, lineares, invariantes no tempo e
contínuos.