Delineamento de Parcela
Subdividida
•
•
•
•
Definição dos Fatores:
Blocos (repetição (A));
Tratamento da Parcela Principal (fator fixo B);
Tratamento da Subparcela (fator fixo C).
Características da Parcela
Subdividida
• É um tipo especial de delineamento em blocos
incompletos para experimentos fatoriais à
medida em que o fator C é considerado;
• Nas parcelas principais são alocados os níveis
do fator B e dentro de cada um dos níveis desse
fator é alocado aleatoriamente os níveis do fator
C, formando a subparcela;
Características da Parcela
Subdividida
• As parcelas principais podem ser dispostas em
DCC, DBC ou DQL, por exemplo;
• O efeito do fator B é confundido com as
diferenças dos blocos incompletos;
• O efeito de B é estimado com menor precisão,
dado que para estimá-lo toma-se cada parcela
principal (blocos incompletos) como unidade
experimental;
Características da Parcela
Subdividida
• O efeito de B é testado com o E(A) e os efeitos
de C e BxC são testados com o E(B);
• O E(B) é obtido supondo-se que a interação
entre o fator C e blocos seja inexistente ou
insignificante; caso contrário, o E(B) deverá ser
desmembrado em seus componentes e deverá
ser retirado o efeito dessa interação.
Características da Parcela
Subdividida
• Geralmente, o E(A) é usualmente maior do que
o E(B), visto que as observações na subparcela
tendem a ser correlacionadas;
• Ás vezes o E(A) pode ser menor que o E(B). Se
isto ocorre, desde que E(A) não seja
significativamente menor, pode-se usar um erro
médio de E(A) e E(B) como estimativa da
variância populacional.
Uso da Parcela Subdividida
• Os níveis de um fator requerem parcelas
maiores do que os níveis de um outro fator;
• Por informação prévia, espera-se que as
diferenças entre os níveis de um fator específico
sejam maiores do que as diferenças entre os
níveis de um outro fator;
Uso da Parcela Subdividida
• Se um fator é mais importante, ou se há
necessidade de maior precisão para esse fator,
ele deverá ser alocado na subparcela.
yijk    i   j  ij  k   jk ijk
onde, i= 1, 2, ..., a, j= 1, 2, ..., b e k= 1, 2, ..., c
yijk : valor observado na subparcela k, da parcela j e
repetição i;
 : média geral;
i : blocos (A);
j : fator da parcela principal (B);
(  )ij : erro da parcela principal – E(A);
k : fator da subparcela (C);
(  )jk : interação BxC;
ijk : erro da subparcela – E(B)
Tabela 1: Análise de Varìância para o
Delineamento de Parcela Subdividida
Causas de
Variação
GL
QM
A
(a-1)
QMA
B
(b-1)
QMB
(a-1)(b-1)
ab-1
QME(a)
(c-1)
QMC
QMC / QME(b)
(b-1)(c-1)
QM(BxC)
QM(BxC) / QME(b)
b(c-1)(a-1)
QME(b)
Erro(a)
Parcela
C
BxC
Erro(b)
Total
abc-1
F
QMB/QME(a)
Tabela 2: Quadrado Médio Esperado para o
Delineamento de Parcela Subdividida
Causas de
Variação
GL
QM
A
(a-1)
QMA
s2 + cs2 + bcs2
B
(b-1)
QMB
s2 + cs2 + ( acS2j / (b-1) )
(a-1)(b-1)
QME(a)
(c-1)
QMC
BxC
(b-1)(c-1)
QM(BxC)
Erro(b)
b(c-1)(a-1)
QME(b)
Erro(a)
C
Total
abc-1
QM Esperado
s2 + cs2
s2 + ( abS2k / (c-1)
s2 + ( aSS()2jk / (b-1)(c-1) )
s2
Soma de Quadrados
SQA 
y...2
FC 
abc
åY
SQC 
ac
2
..k
k
ab
SQTotal 
i
bc
- FC
- FC
j
åy
2
i ..
SQE ( a )  SQP Pr incipal - SQA - SQB
2
. j.
SQB 
åy
SQBxC 
- FC
åy
2
ijk
i , j ,k
SQP Pr incipal 
i, j
c
j ,k
a
2
. jk
- FC - SQB - SQC
SQE (b)  SQTotal - SQP Pr incipal - SQC - SQBxC
- FC
åy
åy
2
ij .
- FC
Exemplo Montgomery
• Um fabricante está interessado em 3 diferentes
métodos de preparo do pulpo e 4 diferentes
temperaturas de cozimento do pulpo e quer estudar o
efeito desses 2 fatores na força de tensão do papel. O
experimentador decidiu rodar 3 replicatas, uma por
dia. No primeiro dia, o experimentador realiza uma
fornada do pulpo utilizando um dos três métodos.
Então esta fornada é dividida em 4 amostras e cada
uma é cozida em uma das 4 diferentes temperaturas. O
mesmo ocorre nos outros 2 dias.
Tabela 3:Análise de Variância da Variável Resposta
Força de Tensão do Papel
Causas de
Variação
GL
SQ
QM
F
Blocos (A)
2
77.55
38.78
Método Preparo (B)
2
128.39
64.2
Erro(a)
Parcela
4
8
36.28
242.22
9.07
Temperatura (C)
3
434.08
144.69
MétodoxTemperatura
6
75.17
12.53
Erro(b)
18
71.5
3.97
Total
35
822.97
Prob.>F
7.08
0.05
36.43 <0.0001
3.15
0.03
yijk   i   j  ij   k   ik   jk  ijk  ijk
onde, i= 1, 2, ..., a, j= 1, 2, ..., b e k= 1, 2, ..., c
yijk : valor observado na subparcela k, da parcela j e repetição i;
 : média geral;
i : blocos (A);
j : fator da parcela principal (B);
(  )ij : erro da parcela principal – E(A);
k : fator da subparcela (C);
(  )ik : interação AxC;
(  )jk : interação BxC;
(  )ijk : interação AxBxC (erro da subparcela);
ijk : resíduo.
Tabela 4: Análise de Variância para o delineamento
de Parcela Subdividida com E(b) desdobrado
Causas de
Variação
GL
QM
A
(a-1)
QMA
B
(b-1)
QMB
(a-1)(b-1)
ab-1
QME(A)
(c-1)
QMC
AxC
(a-1)(c-1)
QM(AxC)
BxC
(b-1)(c-1)
QM(BxC)
(a-1)(b-1)(c-1)
QM(AxBxC)
Erro(a)
Parcela
C
AxBxC
Erro (b)
Total
abc-1
F
QMB/QME(a)
QMC / QM(AxC)
QM(BxC) / QM(AxBxC)
Tabela 5: QM Esperado para o delineamento de
Parcela Subdividida com E(b) desdobrado
Causas de
Variação
GL
QM
A
(a-1)
QMA
s2 + bcs2
B
(b-1)
QMB
s2 + cs2 + ( acS2j / (b-1) )
(a-1)(b-1)
QME(A)
(c-1)
QMC
AxC
(a-1)(c-1)
QM(AxC)
s2 + bs2
BxC
(b-1)(c-1)
QM(BxC)
s2 + s2+ ( aSS()2jk / (b-1)(c-1) )
Erro(a)
C
AxBxC
Erro (b)
Total
(a-1)(b-1)(c-1)
abc-1
QM Esperado
s2 + cs2
s2 + bs2 + ( abS2k / (c-1) )
QM(AxBxC) s2 + s2
Soma de Quadrados para E(b) desdobrado
SQA 
y...2
FC 
abc
åY
SQC 
ac
2
..k
k
ab
SQTotal 
i
bc
- FC
- FC
j
åy
2
i ..
SQE ( a )  SQP Pr incipal - SQA - SQB
2
. j.
SQB 
åy
SQBxC 
- FC
åy
2
ijk
- FC
åy
j ,k
a
2
. jk
- FC - SQB - SQC
SQE (b)  SQTotal - SQP Pr incipal - SQC - SQBxC
i , j ,k
SQAxC 
åy
2
i .k
i ,k
SQAxBxC 
b
åy
i , j ,k
- FC - SQA - SQC
2
ijk
SQP Pr incipal 
åy
i, j
c
- FC - SQA - SQB - SQAxB - SQC - SQAxC - SQBxC
2
ij .
- FC
Tabela 6: Análise de Variância da Variável Resposta
Força de Tensão do Papel com E(b) desmembrado
Causas de
Variação
GL
SQ
QM
Blocos (A)
2
77.55
38.78
Método Preparo (B)
2
128.39
64.2
Erro(a)
Parcela
4
8
36.28
242.22
9.07
Temperatura (C)
3
434.08
144.69
BlocoxTemperatura
6
20.67
3.45
MétodoxTemperatura
6
75.17
12.53
12
50.83
4.24
35
822.97
BlocoxMétodoxTemperatura
( Erro(b) )
Total
F
Prob.>F
7.08
0.05
41.94 <0.01
2.96
0.05
Comparações Múltiplas
Diferença entre
Exemplo
Erro Padrão da Média
GL
Entre duas médias de B
b1 – b2
GLE(a) = na
Entre duas médias de C
c1 – c 2
QME (a )
rc
QME (b)
rb
QME (b)
a
QME ( a )  (c - 1)QME (b)
ac
Entre duas médias de C no
mesmo nível de B
b1 c1 – b1 c2
Entre duas médias de B no
mesmo nível de C ou em
diferentes níveis de C
b1 c1 – b2 c1
ou
b1 c1 – b2 c2
2

QME (a )  (c - 1)QME (b)
n' 
QME (a) 2   (c -1) 2 QME (b)2
na
nb
n a  n'  n a  n b
GLE(b) = nb
GLE(b) = nb
n'
Delineamento de Parcela SubSubdividida
•
•
•
•
•
Definição dos Fatores:
Blocos (repetição (A));
Tratamento da Parcela Principal (fator fixo B);
Tratamento da Subparcela (fator fixo C);
Tratamento da Sub-Subparcela (fator fixo D).
Delineamento de Parcela SubSubdividida
• É uma extensão do delineamento de parcela
subdividida. Os níveis de um fator são alocados
nas unidades principais dentro de cada bloco.
Os níveis do segundo fator são alocados nas
subparcelas dentro de cada parcela e os níveis
de um terceiro fator são alocados nas subsubparcelas dentro de cada subparcela.
Tabela 7: Análise de Varìância para o
Delineamento de Parcela Sub-Subdividida
Causas de
Variação
GL
QM
F
A (Blocos)
B
Erro(a)
Parcela
(a-1)
(b-1)
(a-1)(b-1)
QMA
QMB
QME(a)
QMB/QME(a)
C
BxC
Erro(b)
Subparcela
(c-1)
(b-1)(c-1)
b(c-1)(a-1)
QMC
QM(BxC)
QME(b)
D
BD
CD
BCD
Erro( c )
Total
(d-1)
QMD
(b-1)(d-1)
QM(BxD)
(c-1)(d-1)
QM(CxD)
(b-1)(c-1)(d-1) QM(BxCxD)
bc(d-1)(a-1)
QME( c )
abcd-1
QMC / QME(b)
QM(BxC) / QME(b)
QMD / QME( c)
QM(BxD) / QME( c )
QM(CxD) / QME( c )
QM(BxCxD) / QME( c )
Tabela 8: Quadrado Médio Esperado para o
Delineamento de Parcela Sub-Subdividida
Efeito
A F
a b
F
c
F
d
QM Esperados
i
i j k h
1 b c d

a 0 c d
()i(j)
1 1 c d
k
a b 0 d
()jk
a 0 0 d
()i(jk)
1 1 1 d
dh
a b c 0
s 2  abc å d h2 ( d - 1)
a 0 c 0
s 2  acå d 2jh (b - 1)( d - 1)
(d)jh
(d)kh
(d)jkh
i(jkh)
a b 0 0
a 0 0 0
1 1 1 1
2
s 2  ds 
 cds 2  bcds 2
2
s 2  ds 
 cds 2  acd å  2j (b - 1)
2
s 2  ds 
 cds 2
2
s 2  ds 
 abd å  k2 (c - 1)
2
2
s 2  ds 
 ad å   jk (b - 1)(c - 1)
2
s 2  ds 
s
2
 ab å d
 2kh
( c - 1)( d - 1)
s 2  a å d 2jkh (b - 1)(c - 1)( d - 1)
s2
Soma de Quadrados Complementar
SQSubparcela 
åY
åy
2
ijk .
i , j ,k
d
- FC
SQD 
2
. j .l
SQBD 
- FC - SQB - SQD
j ,l
ac
SQBxCxD 
åy
SQCD 
åy
åy
2
...l
l
abc
- FC
2
.. kl
k ,l
ab
- FC - SQC - SQD
2
. jkl
j , k ,l
a
- FC - SQB - SQC - SQD - SQBC - SQBD - SQCD
SQE (c )  SQTotal - SQSubparcela - SQP Pr incipal - SQD - SQBD - SQCD - SQBCD
SQTotal 
åy
i , j , k ,l
2
ijkl
- FC
Tabela 9: Análise de Varìância para o Delineamento
de Parcela Sub-Subdividida com Erros Particionados
Causas de
Variação
A
B
Erro(a)
Parcela
C
AxC
BxC
AxBxC
Erro (b)
Subparcela
D
AxD
BxD
AxBxD
CxD
AxCxD
BxCxD
AxBxCxD
(Erro( c ))
Sub-Subparcela
Total
GL
QM
F
(a-1)
(b-1)
(a-1)(b-1)
QMA
QMB
QME(A)
QMB/QME(a)
(c-1)
(a-1)(c-1)
(b-1)(c-1)
(a-1)(b-1)(c-1)
QMC
QM(AxC)
QM(BxC)
QM(AxBxC)
(d-1)
(a-1)(d-1)
(b-1)(d-1)
(a-1)(b-1)(d-1)
(c-1)(d-1)
(a-1)(c-1)(d-1)
(b-1)(c-1)(d-1)
(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)
QMD
QM(AxD)
QM(BxD)
QM(AxBxD)
QM(CxD)
QM(AxCxD)
QM(BxCxD)
QM(AxBxCxD)
abc-1
QMC / QM(AxC)
QM(BxC) / QM(AxBxC)
QMD / QM(AxD)
QM(BxD) / QM(AxBxD)
QM(CxD) / QM(AxCxD)
QM(BxCxD) / QM(AxBxCxD)
Tabela 10: QM Esperado para o Delineamento de
Parcela Sub-Subdividida com Erros particionados
i
A F F F A
a b
c d 1
i
j
k
h l
1 b c d
1

a
0
c
d
1
()i(j)
1
0
c
d
1
s
k
a
b
0
d
1
s
2
 bds 2  abd å  k2 (c - 1)
()ik
1 b
0
d
1
s
2
 bds 2
()jk
a
0
0
d
1
()i(jk)
1
0
0
d
1
dh
a
b
c
0
1
s
dih
1
b
c
0
1
s 2  bcs d2
a
0
c
0
1
1
0
c
0
1
a
b
0
0
1
2
2
s 2  cs d
 ac å d  jh (b - 1)( d - 1)
2
s 2  cs d
2
2
s 2  b s d
 ab å d  kh ( c - 1)( d - 1)
1
a
b
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
Efeito
(d)jh
dijh
(d)kh
dikh
(d)jkh
dijkh
i(jkh)
1 1 1 1
QM Esperados
s 2  bcds 2
2
s 2  cds 
 acd å  2j (b - 1)
2
2
 cds 
2
2
s 2  ds 
 ad å   jk (b - 1)( c - 1)
2
s 2  ds 
s
2
2
2
 bcs d
 abc å d h2 ( d - 1)
2
 b s d
2
2
s 22  s d
 a å d  jkh (b - 1)( c - 1)( d - 1)
2
s  s d
s2
(não estimado)