Ensino Superior
Cálculo 3
2.1. Curvas e Superfície de Nível
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 3
Programa
1. Introdução à funções de várias variáveis (FVV).
1.1 Curvas e Superfície de Nível
2. Limites e derivadas de FVV.
3. Regra da cadeia e derivada direcional.
4. Integração dupla.
5. Aplicações de integração dupla.
6. Integração tripla.
7. Aplicações de integração tripla.
8. Mudança de variáveis.
9. Apliacações de mudança de mudança de variáveis.
Curvas de Superfície de Nível
Existe uma outra técnica gráfica, útil, para descrever o
comportamento de uma função de duas variáveis.
O método consiste em descobrir no plano xy os gráficos das
equações f(x, y) = k para diferentes valores de k. Os gráficos
obtidos desta maneira são chamados as curvas de nível da
função f.
Curvas de Superfície de Nível
Curva de nível
tal que
.
Exemplo
1. z = f(x,y) = altura em relação ao nível do mar (definida
em uma pequena porção aproximadamente plana).
Nossas curvas de nível correspondem às linhas de contorno
topográfico.
Exemplo
2.
As curvas de nível são os gráficos das equações
.
Exemplos:
Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível
z  x2  y2

Exemplos:
Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível
z  x2  y2
z=9
z=4
z=2
z=0
Exemplos:
Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível
y
5
4
3
2
y
1
5
4
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
3
-1
2
-2
1
-3
-4
-5
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
x
Exemplos:
Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível
70
Exemplos:
Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível
y
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
y
5
-5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
x
2
3
4
5
x
Exemplo
3.
Curvas de nível:
.
Exemplo
4.
Curvas de nível:
- hipérboles
Curvas de Superfície de Nível
Se f é uma função de três variáveis x, y, z então, por definição, as
superfícies de nível de f são os gráficos de f(x, y, z) = k, para
diferentes valores de k.
Superfícies de nível
tal que
.
Em aplicações, por exemplo, se f(x, y, z) é a temperatura no
ponto (x, y, z) então as superfícies de nível são chamadas
superfícies isotermas. Se f(x, y, z) representa potencial elas
são chamadas superfícies equipotenciais.
Curvas de Superfície de Nível
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Curvas de Superfície de Nível
A superfície
Parabolóide
É o gráfico de f.
Uma curva de
nível típica no
domínio da
função
Curvas de Nível X Curvas de Contorno
A curva de contorno f(x,y) = 100 – x2 + y2 = 75
é a circunferência x2 + y2 = 25 no plano z = 75.
Plano z = 75
Traço: é a curva
definida pelo
encontro da superfície
f(x,y) com os planos
xy, xz e yz.
A curva de nível f(x,y) = 100 – x2 + y2 = 75 é
a circunferência x2 + y2 = 25 no plano xy.
Curvas de Nível
Curvas de Nível
A curva
Decréscimo mais
rápido de f
Exercícios
1) Seja f(x, y) uma função com domínio dado por
f(x, y) = 9 - x2 - y2 e D = {(x, y)/ x2 + y2  9}.
Esboçar o gráfico da função. Determine s curvas
de nível par z = 4, z = 6 e z = 8.
2) Para as mesmas cotas anteriores, determinar as
curvas de nível da função z = xy.