Computação Gráfica – Modelagem Geométrica Profa. Mercedes Gonzales Márquez Tópicos Curvas Superfícies Técnicas principais de Modelagem Geométrica Curvas e Superfícies - Introdução Estuda-se dentro do escopo da Modelagem Geométrica. Curvas são a base, tanto da geração de formas simples, como círculos e elipses, quanto na criação de projetos complexos como automóveis, navios, aeronaves ou até mesmo faces e corpos humanos. Introdução Curvas e superfícies desempenham um papel importante em várias áreas, como criação de objetos e visualização de fenômenos científicos. Representar uma curva como uma sucessão de linhas retas não é suficiente. O desafio maior é definir uma curva que passe por um determinado conjunto de pontos. Representação de Curvas Basicamente existem duas formas principais de representar curvas: (A) (B) Por um conjunto de pontos; Por representação analítica. Representação de Curvas (A) Por Conjunto de Pontos – A curva é representada por um conjunto finito de pontos conectados por pequenos segmentos de retas. Representação de Curvas Para ter uma aparência “natural” deve-se usar um conjunto grande de pontos. A B Representação de Curvas (B) Representação Analítica Usa uma ou mais equações. Vantagens: – Maior precisão; – Mais compacta; – Não requer área de armazenamento; – Facilidade de calcular novos pontos (caso necessário); – Facilidade de cálculo de propriedades da curva como área, inclinação, curvatura; – Maior simplicidade para ser redesenhada quando sujeita a transformações como escala, rotação, projeções, etc. Representação de Curvas A representação analítica de curvas pode usar ou não parâmetros, sendo classificados como B.1. paramétricas B.2. não-paramétricas. As formas não-paramétricas podem ser, ainda, B.2.1. explícitas B.2.2. implícitas. Representação de Curvas B.1 Formas paramétricas As coordenadas são dadas em termos de um (conjunto) de parâmetros. Usa-se um parâmetro (t, , etc.) para definir as coordenadas dos pontos da curva. P(t) = (x(t), y(t)) Exemplos: – Representação de Curvas B.1 Formas paramétricas P(t) = (x(t), y(t)) Exemplos: Representação de Curvas B.1. Formas paramétricas P(t) = (x(t), y(t)) Exemplos: Representação de Curvas B.2. Formas não-paramétricas Não há parâmetros e uma coordenada da curva é dada em função da outra, ou seja y = f(x) ou x = f(y) –Exemplos: 1) Equação de um semi-círculo de raio 2 y 22 x 2 ou x 22 y 2 2) Equação de uma reta y = 2x – 1 ou x = ½ (y + 1) Representação de Curvas B.2.1 Forma não-paramétrica explícita : É dada por uma equação do tipo y = f(x), ou seja uma das coordenadas é explicitamente dada em função das outras. Exemplos: 1) Equação genérica explícita de uma parábola: y = ax2 + bx + c 2) Equação de uma reta y = mx + b 3) Polinômios: P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x1 + a0 – Representação de Curvas Obtém-se um valor de y para cada valor de x dado. Representação de Curvas B.2.2. A representação implícitas não tem essa limitação. Nela as coordenadas são relacionadas por uma função. A sua forma é Representação de Curvas Exemplo: seções cônicas. ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 Essa expressão representa a variedade de curvas planas denominadas seções cônicas. Essas curvas (cinco) são obtidas pelo corte de um cone por um plano, resultando em: círculo, elipse, parábola, hipérbole, reta. Representação de Curvas Representação de Curvas Cônica Forma Paramétrica Forma Implícita Elipse x = a cos y = b sen x2 y2 2 1 0 2 a b Parábola x = at2, y = 2at y2 – 4ax = 0 Hipérbole x = a cosh y = b senh 2 2 x y 2 1 0 2 a b Exercício Veja programas circle.cpp, parabola.cpp, helix.cpp Curvas de Bézier É uma técnica de aproximação de curvas. Uma curva de Bézier pode ser gerada por 3, 4, até n + 1 pontos de controle (ajuste para um polinômio de grau n). Geralmente utiliza-se quatro pontos de controle (forma cúbica). A curva passa pelo primeiro e pelo último ponto de controle. Curvas de Bézier B2 B1 B3 B0 Figura 1 Curvas de Bézier A curva paramétrica de Bézier é definida como: n P(t ) Bi J n,i (t ), 0 t 1 i 0 Onde Bi representa cada um dos n+1 pontos de controle considerados e Jn,i (t) são as funções que combinam a influência de todos os pontos (blending functions). Essas funções são descritas pelos polinômios de Bernstein como: n i J n,i (t ) t (1 t ) ni i Curvas de Bézier onde n é o grau dos polinômios e: n n! i i!(n i)! (i = 0, 1, ..., n) são os coeficientes binomiais. Essas funções Jn,i (t) devem satisfazer as condições: Jn,i (t) 0 para todo i entre 0 e 1, isto é 0 ≤ t ≤ 1 e também: n J i 0 n ,i (t ) 1, 0 t 1 Curvas de Bézier Expressões que definem as curvas de Bézier: – Para três pontos de controle polinômios com grau 2. P(t) = (1 – t)2 B0 + 2t (1 – t) B1 + t2B2, onde t inicialmente é 0. P(t ) [t 2 1 2 1 B0 t 1] 2 2 0 B1 1 0 0 B2 Curvas de Bézier Expressões que definem as curvas de Bézier: – Para quatro pontos de controle polinômios com grau 3. P(t) = (1 – t)3 B0 + 3t (1 – t)2 B1 + 3t2 (1 – t)B2 + t3B3, onde t inicialmente é 0. P(t ) t 3 t2 1 3 3 3 6 3 t 1 3 3 0 0 0 1 1 B0 3 B1 0 B2 0 B3 Curvas de Bézier - Algoritmo Material auxiliar para melhor entendimento de curvas e superfícies de Bézier, veja applets java em http://www.dca.fee.unicamp.br/courses/EA978/1s20 03/demos/geometry.html Exercício: Faça um programa que dado um número n, permita o ingresso interativo (pelo cliques do mouse) de n+1 pontos de controle e construa a curva de Bézier correspondente. Preste atenção que as coordenadas da cena diferem ligeiramente das coordenadas da tela onde os cliques serão feitos. Curvas de Bézier - Problemas 1. 2. Falta de controle local : Uma alteração em um ponto no polígono de Bézier acarreta alterações em toda a curva de Bézier. Indesejável quando desejamos fazer ajustes finos. O grau do polinômio cresce com o número de pontos de controle do polígono de controle. Superfícies Bézier - Generalização da idéia de curva de Bézier. - Sejam Bij, i=0,...,m, j=0,...,n, um conjunto de pontos no R3 de tal forma que sua projeção no plano x0y seja formada pelos vértices de mn retângulos de mesmas dimensões. A superfície de Bézier definida no domínio [0,1]x[0,1] é n Q( u, v ) i 0 m B J j 0 ij ni ( u) K mj (v ) Onde Jni e Kmj são os polinômios de Bernstein. Superfícies Bézier Outras representações de Superfícies Representação Octree: (estrutura de árvore) Envolve o objeto por um cubo que em seguida é subdividido em 8 cubos menores. Cada um deles pode ser : Cheio, vazio ou cheio-vazio. Os nós cheios ou vazios são terminais, enquanto os cheio-vazios não são. Representação Octree: Exemplo Representação Octree: Exemplo Geometria Sólida Construtiva (CSG) Consiste em construir um objeto a partir da combinação operatória (união, interseção e diferença) de dois ou mas sólidos. Geometria Sólida Construtiva (CSG) Varredura (Sweeping) Uma superfície é descrita quando uma curva C1 (curva geratriz) é deslocada no espaço, ao longo de uma trajetória dada por uma outra curva C2 (caminho o diretriz). - Varredura translacional (Extrusão ou superfícies geradas por deslocamento) Varredura (Sweeping) - Varredura rotacional (ou superfícies de revolução) Varredura (Sweeping) - Varredura rotacional (ou superfícies de revolução) Malha de Polígonos - Coleções de polígonos (ou faces) que, juntos, formam a “pele” ou “casca” do objeto • Forma rápida e prática para representar objetos Estrutura de Dados . Lista contígua das coordenadas de todos os vértices que compõem cada face. - Arestas implícitas - Faces explícitas Malha de Polígonos - Coleções de polígonos (ou faces) que, juntos, formam a “pele” ou “casca” do objeto • Forma rápida e prática para representar objetos Superfície de Revolução - Tarefa Material auxiliar para melhor entendimento de curvas e superfícies, veja programa torus.c, superficies.c e o executável swprj.exe O programa torus.c (disponível no site da disciplina) desenha a superfície chamada torus. O executável swprj.exe permite desenhar uma curva geratriz que dará origem a uma superfície de revolução O programa superfícies.c permite desenhar uma curva de Bézier como curva geratriz e a partir dela obter uma superfície de revolução. Superfície de Revolução - Tarefa Compare o programa torus.cpp da pasta Code com o programa torus.c disponibilizado no site da disciplina. Para consulta de comandos novos use o livro RedBook disponibilizado também no site da disciplina. Desenhar um cilindro como superfície de revolução usando um segmento de reta como curva geratriz.