Aula 11
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Prof. Leo
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Introdução
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
Importante para criação de objetos e visualização
de fenômenos científicos
Servem de base para modelagem de formas:
 Simples
: círculos, elípses, etc
 Complexas: automóveis, aeronaves, navios, etc
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Representação
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

Para representar uma curva, pode ser suficiente apenas definir uma
sucessão de linhas
Curvas e superfícies mais complexas irão demandar uma maneira mais
eficiente de representação:

Definir uma curva que passe por um determinado conjunto de pontos

Definir a melhor curva para representar um determinado conjunto de pontos
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Representação
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
Formalmente, as curvas podem ser representadas
de diversas formas:
 Por
um conjunto de pontos
 Através de sua representação analítica
 Não
paramétricas
 Paramétricas

De 3ᵃ Ordem
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Representação – Conjunto de Pontos
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
Uma curva pode ser representada por um conjunto
finito de pontos
 Na
verdade, qualquer representação de curvas ou
retas contém um número infinito de pontos
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Representação – Conjunto de Pontos
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
A curva pode ser representada por um número
grande de pontos ou pela conexão deles por
segmentos adequados
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Representação – Conjunto de Pontos
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

No caso de uma quantidade limitada de pontos,
pode-se utilizar retas para conectá-los
E, para alcançar uma suavidade maior, pode-se
acrescentar uma maior quantidade de pontos
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Representação – Analítica
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
A representação analítica utiliza uma ou mais equações
Vantagens:
É mais precisa
 Não requer área de armazenamento
 Facilita o cálculo de novos pontos
 É mais fácil obter propriedades da curva (inclinação, área)


Pode ser:
Não Paramétrica
 Paramétrica

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Representação – Analítica – Não Paramétrica
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
A forma não paramétrica não recebe parâmetros,
sendo calculada através de uma equação de y em
x (ou vice-versa):
Ordem da curva
Y = ax2 + bx + c
Para:
a=1
b = -2
c=0
Equação da parábola
É gerada:
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Representação – Analítica – Não Paramétrica
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
Certas curvas, chamadas de seções cônicas, podem
ser obtidas a partir do corte de um cone por um
plano
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Representação – Analítica – Paramétrica
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
Na forma paramétrica, usa-se um parâmetro para
definir as coordenadas dos pontos da curva
A
posição do ponto na curva é definida com base no
valor do parâmetro
 Ex:
x = 10 cos θ = fx(θ)
y = 10 sen θ = fy(θ)

x = t+1 = fx(t)
y = 2t+1 = fy(t)
Formalmente, a posição de um ponto na curva é
dada por:
P (t) =( x (t) , y (t) )
Independe do sistema de coordenadas.
Ex: pode-se acrescentar mais uma
coordenada z facilmente
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Representação – Analítica – Paramétrica de 3ᵃ Ordem
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
Problema: algumas curvas não podem ser facilmente
descritas por expressões analíticas em toda sua
extensão


Novo problema: manter a continuidade das conexões


Solução: união de diversas curvas
Nova solução: usadas curvas representadas por polinômios
cúbicos
Muito conhecidas pelos usuários da CG, as curvas
paramétricas de terceira ordem são:

Hermite, Bézier e Splines

Geradas por um polinômio cúbico e pela definição de um
conjunto determinado de pontos de controle
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Paramétrica de 3ᵃ Ordem – Hermite
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

Charles Hermite (1822 – 1901)
Uso de polinômios de 3ª ordem e 4 fatores:
 Ponto
inicial
 Ponto final
 Vetor de controle de saída
 Vetor de controle de chegada

Permite um maior controle
 Formas
suaves e homogêneas
 Formas bruscas, loops
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Hermite
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
Os módulos de T1 e T2 funcionam como pesos na
determinação da curva.
Figura 1: Elementos da curva de
Hermite
Figura 2: As diferentes curvas formadas
por alteração na direção de T1 e T2.
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Bézier
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



O grau da curva (do polinômio) é dado pelo número
de pontos do polígono de controle menos 1
A curva de Bézier está contida no fecho convexo do
polígono de controle
A curva interpola o primeiro e último ponto do polígono
de controle
Utiliza 4 fatores:
Ponto inicial
 Ponto final
 2 pontos de controle das tangentes
nos extremos

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Bézier
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
Controle Global:
 Movendo-se
a posição de 1 só ponto, toda a forma da
curva se modifica
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Bézier – Junção de Curvas
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Curvas
Spline
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
A base de Bézier não é própria para a modelagem de
curvas longas
Bézier única: suporte não local
 Trechos emendados: restrições não são naturais


Base alternativa: B-Splines

Modelagem por polígonos de controle sem restrições
adicionais

Grau do polinômio independe do número de pontos de controle
Não passa pelos pontos de controle
 Controle local


Alteração de um vértice afeta curva apenas na vizinhança
Curvas
Spline
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Curvas
Comparativo
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Bézier
Spline
Hermite