Introdução aos Conjuntos Difusos
• INCERTEZA: aleatoriedade x imprecisão
• CONJUNTOS CLÁSSICOS: caracterização
• CONJUNTOS DIFUSOS: caracterização
Profa. Silvia Modesto Nassar
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Conjuntos Clássicos: caracterização
DEFINIÇÃO: elemento, propriedade e função característica.
• CONCEITOS: cardinalidade, complemento, união e intersecção.
• PROPRIEDADES DE OPERAÇÕES: involução,
comutatividade, associatividade, distributividade, idempotência,
absorção, identidade.
• LEIS: contradição, meio excluído, Morgan
• OUTRAS PROPRIEDADES: conjuntos disjuntos, partição.
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Conjuntos Difusos: caracterização
•
•
•
•
•
CONJUNTO: Difuso/Nebuloso/Fuzzy
FUNÇÃO DE PERTINÊNCIA
NOTAÇÃO DE UM CONJUNTO DIFUSO
PROPRIEDADES: α-cut, suporte, núcleo, altura, convexidade
OPERAÇÕES-PADRÃO: complemento, união (t-conorma),
intersecção (t-norma)
• TIPOS DE CONJUNTOS DIFUSOS: ordinário e intervalovalorado.
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IGNORÂNCIA
ERRO
DISTORÇÃO
TIPOS DE INCERTEZA
INCOMPLETUDE
INCERTEZA
ALEAT ORIEDADE
REDES
BAYESIANAS
IRRELEVÂNCIA
VAGUEZA /
IMPRECISÃO
AUSÊNCIA
AMBIGUIDADE
FUZZY
Figura 1 . Taxinomia da Ignorância (adaptado de Bracarense, 1999*)
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*Um enfoque segundo a teoria dos conjuntos difusos para a meta-análise,
Tese, PPGEP/UFSC,1999, pags 17 e 18.
INCERTEZA: aleatoriedade x
imprecisão(vagueza)
• Incerteza: “o elemento x é membro do conjunto
A”
 aleatoriedade : probabilidade de ocorrer o conjunto A
a proposição ou é V (certamente x pertence ao conjunto
A) ou é F (certamente x não pertence ao conjunto A)
distinção precisa, não ambígua, entre ser membro ou
não do conjunto A
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Incerteza:aleatoriedade x imprecisão
• Incerteza: “o elemento x é membro do conjunto
A”
 imprecisão : grau de pertinência ao conjunto fuzzy A
esta proposição NÃO necessariamente é V ou F
pode ser Verdadeira somente com algum grau, o grau
em que x é membro de A
A é um conjunto fuzzy se seus limites não são precisos.
Assim, a pertinência a um conjunto fuzzy não é uma
afirmação ou negação, mas uma intensidade de
pertinência.
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Conjuntos: Clássicos x Difusos
• Conjuntos Clássicos:
• Conjuntos difusos:
 limites precisos
 limites imprecisos
 pertence ou não pertence
 grau de pertinência
 a transição de pertencer a
 expressam a transição
não pertencer é brusca
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gradual de pertencer a não
pertencer
 representam conceitos
vagos expressos em
linguagem natural
Conjunto A: { homem careca }
• Abordagem Clássica:
 PROBABILIDADE de ocorrência
do conjunto A: [0;1]
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• Abordagem fuzzy:
 GRAU DE PERTINÊNCIA
ao conjunto A: [0;1]
Conjuntos Clássicos ou Crisp: definições
• Definição de um conjunto crisp A:
 lista de seus membros: A={a1, a2, ...., an}
 propriedade P satisfeita pelos seus membros: A={x|P(x)}
 função característica  A , declara que elementos do
conjunto universal X são membros de A:
 A (x) = 1 para x  A
0 para x  A
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Conjuntos Crisp:conceitos
• Cardinalidade de A: |A| é igual ao número de
elementos de um conjunto finito A
• Complemento relativo de A em relação ao
conjunto B: B-A
B-A={x| xB e xA}
• Complemento absoluto de A em relação ao
conjunto universal X: A
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Conjuntos Crisp:conceitos
• União: A B
AB={x| xA OU xB}
• Intersecção: A B
AB={x| xA E xB}
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Conjuntos Crisp: propriedades de operações
• Involução:
(Ac)c = A
• *Comutatividade: AB = BA ; AB = BA
• *Associatividade: (AB)C = A(BC)
A(BC) = (AB)C
• Distributividade: A(BC) = (AB)(AC)
A(BC) = (AB) (AC)
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Conjuntos Crisp: propriedades de operações
• *Idempotência: AA = A ; AA = A
• *Absorção: A(AB)=A ; A(AB)=A
• Identidade: A=A ; AX=A
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Conjuntos Clássicos: lattice
Um sistema A = (, f1,f2,...,fn) onde o elemento  é um conjunto e os
outros elementos são operações definidas neste conjunto então A é
denominada uma estrutura algébrica.
•
Uma estrutura algébrica é uma lattice se atende às
seguintes propriedades:
 Idempotência
 Comutatividade
 Associatividade
 Absorção
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Conjuntos Crisp: leis
• Lei da Contradição:
AAc = 
• Lei do Meio Excluído: AAc = X
• Leis de Morgan:
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(AB)c = Ac  Bc
(AB)c = Ac  Bc
Conjuntos Crisp: propriedades
• Conjuntos disjuntos:
• Partição:
A1
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AB = 
(A) = {Ai | iI , Ai  A}
AiAj= e Ai =A
A2
A3
A4
A
Conjuntos Difusos (Fuzzy): função de pertinência
• Seja A um conjunto fuzzy e X um conjunto universal crisp
então a função de pertinência dos elementos de X ao
conjunto A é denotada por:
 A : X  [0;1]
A : X  [0;1]
 números difusos
 variáveis difusas
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Números Fuzzy: exemplos de função de pertinência
1
1
2
1
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2
1
2
2
Grau de Pertinência
Variável Fuzzy: exemplo de função de pertinência
1
a1
Baixo
1
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a2
Médio
Altura(cm)
Alto
Conjuntos Difusos: notação
• Seja A um conjunto difuso e ai o grau de
pertinência do elemento xi de X ao conjunto A
• Sejam xi’s os elementos suporte de A
• Notação:
A = a1/x1 + a2/x2 + ... + an/xn
A =  ai/xi
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ou
A =  A(x)/x
x
Conjuntos Difusos: conceitos básicos
•
•
•
•
 - cut
suporte
core ou núcleo
altura:
 normal
 subnormal
• conjunto difuso convexo
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Conjuntos Difusos: conceitos básicos
•  - cut e strong  - cut :
Dado um conjunto fuzzy A definido em X e um
número   [0; 1] um conjunto  - cut é um conjunto
crisp definido por
A=
{ x| A(x)  }
+A=
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{ x| A(x)  } strong  - cut
Conjuntos Difusos: propriedades -cut e strong -cut
Dado um conjunto fuzzy A definido em X e o par 1 e 2  [0; 1] tal
que 1  2 então:

1
A  2 A
e
1+
A  2+ A
 (1 A 
2
A) = 2 A e
(1+ A  2+ A) = 2+ A
 (1 A 
2
A) = 1 A e
(1+ A  2+ A) = 1+ A
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Conjuntos Difusos: conceitos básicos
• Suporte de A
São conjuntos crisp que contém todos os
elementos de X para 0+A e 1A.
• Núcleo de A
1
núcleo
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suporte
Notação:S(A) ou supp(A)
Conjuntos Difusos: conceitos básicos
h(A)
 normal: se h(A) = 1
 subnormal: se h(A)  1
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height
• Altura de A:
Conjuntos Difusos: operações padrão
• Cardinalidade escalar: | A |
|A| =  A(x)
xX
 “sigma count”
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Conjuntos Difusos: operações padrão
• Complemento: A(x)
A(x) = 1 - A(x)
 pontos de equilíbrio:
são os elementos de X onde
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A (x) = A(x)
Conjuntos Difusos: operações-padrão
Sejam dois conjuntos difusos A e B:
• União : t-conormas
( AB ) x = max[ A(x), B(x)]
• Intersecção: t-normas
( AB ) x = min[ A(x), B(x)]
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Convexidade: conjunto crisp
• Seja A um conjunto em Rn .
 A é um conjunto convexo IFF
 para todos os pares de pontos r e s de A
 para todo numero real   [0;1]
 o ponto t definido por t =  r + (1-) s também está em A
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Convexidade: conjunto difuso
• conjunto difuso convexo: -cut
1
0.8
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Conjuntos Difusos: tipos
• Ordinário: grau de pertinência
 a cada elemento de X pode ser associado um particular
número real
 pode ser especificada uma função de pertinência
A: X  [0;1]
• Intervalo-valorado: intervalo de grau de
pertinência
A: X  [0;1]
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Conjuntos Difusos: intervalo-valorado
1
a1
2
A = { aproximadamente 2 }
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