ARITMÉTICA DIFUSA
► Números
Difusos e Intervalos Difusos
► Operações Aritméticas Difusas
 método clássico
 princípio da extensão
Operações binárias: MÍNIMO e MÁXIMO
► Modelos Difusos
►
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NÚMEROS DIFUSOS
► Seja
A um conjunto difuso definido para o
conjunto R dos números reais da seguinte forma:
A : R  [0 ; 1]
sob determinadas condições A é qualificado como
um número difuso.
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NÚMEROS DIFUSOS: condições
►
Seja o conjunto difuso A e R o conjunto dos
números reais de tal forma que:
A : R  [0 ; 1]
►
Se A possuir as seguintes propriedades então A é
qualificado como um número difuso:
 A deve ser um conjunto difuso NORMAL
 A deve ser um INTERVALO FECHADO para todo 
 (0 ; 1]
 O SUPORTE de A, 0+A, deve ser limitado.
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Números Difusos: exemplos
A(x)
A(x)
1
1
0
a
A = {número real crisp}
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R
0 a1 a a 2
R
A = {APROXIMADAMENTE a}
Números Difusos: exemplos
A(x)
A(x)
1
1
0
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a
R
0
a
R
Número Difuso: Função de Pertinência
A é um número difuso SSE existe um intervalo fechado
[a ; b]   tal que:
A(x) =
1
s(x)
r(x)
para x  [a ; b]
para x  (- ; a)
para x  (b ;)
Onde:
• s é uma função de (-; a) para [0; 1]
• monotonicamente crescente
• contínua à direita
• s(x)=0 para x (-; a1)
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Números Difusos: convexidade
► Se
A é um número difuso então A é um conjunto
difuso convexo.
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Intervalos Difusos: exemplos
A(x)
A(x)
1
1
0
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a b
R
0 a1 a b b1
R
Intervalos Difusos: exemplos
A(x)
A(x)
1
1
0
a
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b
R
0
a
b
R
Intervalos Difusos: Variáveis Lingüísticas
Variáveis Difusas
Quantitativas
Variáveis Lingüísticas
classes de uma VDQ
conceitos lingüísticos
Intervalos Difusos
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Grau de Pertinência
Intervalos Difusos: variáveis lingüísticas
1
a1
a2
Baixo
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a3
Médio
a4
Alto
Altura(cm)
Números Difusos: propriedades
► Cada
conjunto difuso, e em conseqüência cada
número difuso, pode ser unicamente e totalmente
representado por seus -cuts
► -cuts
de números difusos são intervalos fechados
para todo  (0 ; 1]
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Operações Aritméticas : métodos
► Há dois métodos para operações aritméticas em
números difusos:
 aritmética de intervalos clássica
 princípio da extensão
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Operações Aritméticas Difusas: definição
► Suposição: os números difusos são representados por funções
de pertinência contínuas.
►
Sejam A e B números difusos e  alguma das quatro
operações aritméticas básicas então:
o conjunto difuso resultante da operação A*B é definido por seus
-cuts da seguinte forma:

(A*B) = A*  B para    (0;1]
 Quando *=/ supõe-se ainda que 0B   (0;1]
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Operações Aritméticas: A*B
O conjunto difuso resultante da operação A*B pode ser
expresso da seguinte forma:
 Método Clássico: UNIÃO FUZZY PADRÃO
A*B =


(A* B)
  (0;1]
 Princípio da Extensão: onde a FUNÇÃO DE PERTINÊNCIA é
definida por
(A*B) (z) = sup min [ A(x) , B(y) ]
z = x*y
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Operações Aritméticas: exemplo
►
Seja A um número difuso definido por
A = { 0.2/ 0 + 1/1 + 0.2/2}
calcule (A+A).
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Operações Aritméticas Clássicas:intervalos
► Sejam os intervalos [a,b] e [c,d] então:
 [a,b]+[c,d] = [a+c , b+d]
 [a,b]-[c,d] = [a-d , b-c]
 [a,b].[c,d] = [min (ac,ad,bc,bd), max (ac,ad,bc,bd)]
 [a,b]/[c,d] = [min (a/c,a/d,b/c,b/d), max (a/c,a/d,b/c,b/d)]
para 0  [c,d]
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Operação Aritmética - Adição: exemplo
Calcule a soma dos números difusos, A e B, definidos por:
(x+2)/2 para -2 x 0
A(x) = (2-x)/2
0
para 0 x 2
1
A(x)
B(x)
A+B(x)
0.9
0.8
0.7
para outros valores
0.6
0.5
0.4
(x-2)/2 para 2 x 4
B(x) = (6-x)/2
0
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para 4 x 6
para outros valores
0.3
0.2
0.1
0
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Operações Aritméticas Clássicas:intervalos
► Sejam os intervalos A=[a1,a2] ; B=[b1,b2] ; C=[c1,c2] e
1=[1,1] então:
 Comutatividade:
► A+B=B+A
e
A . B=B . A
 Associatividade:
► (A+B)+C=A+(B+C)
e
(A.B).C=A.(B.C)
 Identidade:
► A=0+A=A+0
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e
A.1=1.A
Operações Aritméticas Clássicas: intervalos
 Subdistributividade:
► A.(B+C)
 A.B+A.C
 Distributividade:
► se
b.c  0 para  b  B e  c  C
A.(B+C)  A.B+A.C
 0  A-A e 1  A/A
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então
Operações Aritméticas Clássicas
 Se AC e BD
 C+D
► A-B  C-D
► A.B  C.D
► A/B  C/D (monotonicamente inclusive)
► A+B
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Operações Aritméticas : função de pertinência
►
Existem algoritmos para obter a função de
pertinência:
 algoritmo DSW (Dong, Shah e Wong, 1985)
 algoritmo DSW Modificado (Givens a Tahani,
1987)
Ross, TJ. Fuzzy Logic with Engineering Applications. McGrawHill, 1995.
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Operações de MÍNIMO e MÁXIMO
Números Reais
► Números Difusos
►
► Notação:
min
max
Números Reais
MIN
Números Difusos
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MAX
Operações de MÍNIMO e MÁXIMO: clássica
►
Números Reais: para todo par (x,y)  R
x se x  y
min (x, y) =
y se y  x
y se x  y
max (x, y) =
x se y  x
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Operações de MÍNIMO e MÁXIMO: Difusa
►
Números Difusos: a função de pertinência é definida
por
MIN (A , B) (z) = sup min [ A(x) , B(y) ]
z = min( x, y)
MAX (A , B) (z) = sup min [ A(x) , B(y) ]
z = max( x, y)
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Operação MÍNIMO: exemplo
►
Sejam A e B números difusos definidos por
A = { 0.2/ 0 + 1/1 + 0.2/2}
B = { 0.1/ 1 + 1/2 + 0.1/3}
calcule MIN(A,B).
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MÍNIMO e MÁXIMO DIFUSO: propriedades
►
Comutatividade
 MIN (A,B) = MIN(B,A) e MAX (A,B) = MAX(B,A)
►
Associatividade
 MIN[MIN (A,B), C] = MIN[A, MIN(B,C)]
 MAX[MAX (A,B), C] = MAX[A, MAX(B,C)]
►
Distributividade
 MIN[A, MAX (B, C)]= MAX[MIN(A,B), MIN(B,C)]
 MAX[A, MIN (B, C)]=MIN[MAX(A,B), MAX(B,C)]
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MÍNIMO e MÁXIMO DIFUSO: propriedades
►
Idempotência
 MIN (A,A) = A
 MAX (A,A) = A
►
Absorção
 MIN[A, MAX (A,B)] = A
 MAX[A, MIN (A,B)] = A
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Modelos Difusos
► os
modelos são construídos com operações
aritméticas difusas
► os
coeficientes são números difusos
desconhecidos
Dr.
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