2FIS026 –Quinta Lista de Exercícios
1. Uma conta (miçanguinha) de massa m pode se mover livremente numa
barra rígida e reta que gira com velocidade constante !.
(a) Escreva a Lagrangiana do sistema;
(b) Escreva a equação do movimento da conta.
2. Princípio variacional
Como vimos, a mecânica clássica de um sistema pode ser determinado
através do princípio da mínima ação, i.e., através da variação funcional da
ação. Isso também é válido em Relatividade. Ou seja, deve ser possível
encontrar uma ação que forneça as expressões da Mecânica Relativística.
Obviamente, assim como as equações de movimento da Mecânica Clássica
são invariantes por transformações de Galileu, as obtidas pela ação Relativística devem ser invariante por transformações de Lorentz. Uma forma
de se garantir isso é exigindo que na ação apareçam apenas invariantes (ou
escalares). O primeiro invariante que temos em relatividade é o elemento
de comprimento
ds2 =
dx dx = dxi
2
c2 dt2 :
Assim, a ação invariante mais simples que podemos construir para a
Mecânica Relativística é
Z
S=
ds ;
(1)
onde é uma constante. Lembrando que a ação está relacionada com a
lagrangiana L através da expressão
Z
S = L dt :
(a) Obtenha a Lagrangeana da ação (1).
(b) Em seguida, expanda esta lagrangena em termos de v=c e, mantendo apenas termos de segunda ordem (e lembrando que uma constante não afeta as equações do movimento) e comparando com a
lagrangeana clássica para a partícula livre
L=
1
mx_ 2 ;
2
determine quem é .
(c) Em seguida, calcule o momento
pi =
1
@L
:
@ x_ i
(d) Parta da de…nição
H = pi x_ i
L=E
e mostre que
E=q
mc2
v2
c2
1
:
3. Transformada de Legendre
Considere um sistema conservativo H (q; p) = E. Neste caso, temos
S (q; t) = W (q)
Et
(2)
(a) Faça uma Transformada de Legendre na ação S(q; t) com o intuito
de eliminar a variável t. Ou seja, mostre que a nova função S 0 obtida
tem a forma:
S 0 (q; E) = Et S
(3)
e mostre que
@S 0
=
@q
@S 0
=t
@E
@S
;
@q
(b) Substitua a forma (2) de S em (3) e use o resultado acima para
mostrar que
@W
=t
(4)
@E
4. Equação de Hamilton-Jacob
(a) Escreva a equação de Hamilton-Jacob para um oscilador harmônico
de massa m e freqüência !.
(b) Usando que a energia do sistema se conserva, mostre que
Z
W =
2mE m2 ! 2 x2 dx
onde
S (x; t) = W (x) + Et
(c) Depois mostre que
@W
=
@E
Z
m
(2mE
1=2
m2 ! 2 x2 )
dx
(d) Use a equação (4) para resolver a equação do movimento. Ou seja
resolva a integral
Z
m
t=
dx
1=2
(2mE m2 ! 2 x2 )
isole x e encontre x(t).
2
5. Uma partícula numa caixa unidimensional de tamanho 2L está sujeita a
um potencial constante V . Ou seja, a equação de Schrödinger do sistema
é:
~2 2
r +V
= E : ; V = const: ;
2m
onde m a massa da partícula.
(a) Encontre os níveis de energia En disponíveis para a partícula e as
respectivas funções de onda n .
(b) Qual o valor médio da posição da partícula se ela está no estado
fundamental?
6. Escreva a equação de Schrödinger para um potencial centra V (r), em
coordenadas polares.
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