Ministério da Educação
Fundação Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
Centro de Ciências Exatas e da Tecnologia
Departamento de Física
Estudo dirigido sobre os Polinômios de Legendre
1. A equação que dá origem à equação de Legendre é a equação de Poisson: ∇ 2 Φ (r ) = −
ρ (r )
. Esta é
ε0
a equação que descreve o comportamento espacial do potencial eletrostático. No lado direito dessa
igualdade temos a densidade de carga que cria o campo (ρ) na posição onde o campo está sendo
calculado.
Caso estejamos interessados no potencial em uma região do espaço onde não há densidade de
cargas, então o lado direito se anula e temos a equação de Laplace: ∇ 2 Φ(r ) = 0 . Escreva a forma
explícita do operador Laplaciano em coordenadas esféricas e a equação de Laplace nesse sistema
de coordenadas.
2. De modo a solucionar essa equação, vamos utilizar a técnica de separação de variáveis. Essa
técnica, como você já sabe, consiste em propor uma solução na forma de um produto de 3 funções
que dependem, cada uma delas, de uma das variáveis em que estamos resolvendo o problema. É
bom sempre lembrar que as variáveis r, θ, ϕ são linearmente independentes.
Vamos propor uma solução do tipo:
U (r )
P(θ )Q(ϕ )
r
Substitua a expressão acima na equação de Laplace em coordenadas esféricas e mostre que a
parte radial (r), a parte azimutal (ϕ) e a parte em θ satisfazem às seguintes equações:
1 d 2Q
= −m2
Q dϕ 2
Φ ( r ,θ , ϕ ) =
dP  
m2
1 d 
+  l (l + 1) − 2
sin θ


dθ  
sin θ dθ 
sin θ
d 2U
dr
2
−
l (l + 1)
r2

 P = 0

U =0
3. Como se chamam as constantes l e m que aparecem nessas equações?
4. Mostre que as soluções das equações em r e ϕ são dadas por:
Q(ϕ ) = e ±imϕ
U (r ) = Ar l +1 + Br −l
5. Faça a seguinte mudança de variáveis na equação em θ : x = cos θ. Mostre que a equação em θ
pode ser reescrita em termos da variável x na forma da Equação Generalizada de Legendre:
d 
m2 
2 dP  
(1
−
x
)
+
l
(
l
+
1)
−

P = 0
dx 
dx  
1 − x 2 
Observe que estamos procurando soluções para x no intervalo fechado [-1,1].
6. Quando temos um eixo de simetria no problema (simetria axial) então a solução para o
potencial eletrostático não deve depender da variável ϕ. Portanto, para que isto seja verdade,
devemos fazer m = 0. Por quê?
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7. Como estamos interessados na solução de um problema físico, a solução procurada deve
satisfazer a certas condições: ser unívoca, finita e contínua. O que cada uma dessas expressões
significa? Quais as implicações sobre m originadas da primeira condição?
8. A função que satisfaz a equação com m = 0:
d 
dP 
(1 − x 2 )
+ l (l + 1) P = 0

dx 
dx 
é a equação de Legendre e as suas soluções são os Polinômios de Legendre.
9. Para obter a solução da equação de Legendre, vamos tentar uma solução tipo série de potências
generalizada (Método de Frobenius):
P( x) = x s
∞
∑a x
n
n
n =0
10. Substitua essa expressão na equação de Legendre e mostre que a constante s deve satisfazer à
seguinte condição: s(s + 1) = 0 (supomos o coeficiente a0 ≠ 0).
11. Mostre que o termo geral se escreve da seguinte forma:
( s + n)( s + n + 1) − l (l + 1)
an + 2 =
( s + n + 1)( s + n + 2)
12. Mostre que, para s = 0, teremos uma série com potências pares de x e que quando s = 1
teremos uma série com potências ímpares de x.
13. Mostre que as duas séries assim obtidas apresentam as seguintes propriedades:
1. Convergem pra x2 < 1;
2. Divergem para x = ± 1.
14. Devemos impor alguma condição sobre o termo geral da série para recuperar a convergência
em x = ± 1. Que condição é essa e quais as suas conseqüências?
15. Observe que os polinômios assim obtidos possuem x como potência máxima.
16. Obtenha a forma geral dos polinômios de Legendre:
Pl ( x) =
1
l
2
l/2
(−1) m Γ(2l − 2m + 1)
∑ m!Γ(l − 2m + 1)Γ(l − m + 1) x
l −2m
m =0
Definidos desta maneira, esses polinômios são normalizados a 1 para x = 1, -1.
17. Mostre que os polinômios para l = 0, 1, 2 são dados por:
P0 ( x) = 1
P1 ( x) = x
P2 ( x) =
1
(3 x 2 − 1)
2