Instituto de Física - UFRJ
Métodos de Física Teórica II – 1º. Semestre de 2010
Prof. Henrique Boschi
3ª Lista Especial de Exercícios (Pró-Copa do Mundo)
Funções Associadas de Legendre
1) A separação de variáveis, em coordenadas esféricas, na equação de Helmholtz leva
à seguinte equação para Θ(θ):
Faça a mudança de variáveis x = cos θ e y(x) = Θ(θ) e obtenha a equação
diferencial associada de Legendre,
Considerando m ≥ 0 , use o ansatz
obtenha a seguinte equação diferencial
para essa equação e
Use o método de Frobenius para esta equação e obtenha a relação de recorrência
que implica numa série divergente, e pode ser truncada num polinômio. Mostre
que esse truncamento ocorre se
, onde l
. As soluções
u(x) podem ser obtidas da relação de recorrência acima. Porém, um método mais
interessante consiste em obter essas soluções a partir dos polinômios de Legendre,
que são as soluções para m=0. Para isto, diferencie m vezes a equação de Legendre
e use o fato que
e
chamando y”=g(x) e y’=f(x), mostre que a equação de Legendre derivada m
vezes fica
Comparando esta equação com a de u(x), moste que
,
ou seja, as soluções para a equação associada de Legendre podem ser escritas
como (escolhendo C=1)
2) Use o resultado do exercício anterior e a fórmula de Rodrigues para os polinômios
de Legendre para mostrar que
3) Diferencie m vezes a relação de recorrência dos polinômios de Legendre
e multiplique por
para obter
4) Diferencie (m-1) vezes as relações
e multiplique por
para obter
e
5) A partir das relações obtidas no exercício anterior, elimine os termos contendo
e obtenha a relação de recorrência pura para l (m fixo)
6) Partindo da equação diferencial para u(x), obtida no exercício 1,
substitua m por m-1, multiplique por
e identifique
para obter
que é a relação de recorrência pura para m (l fixo).
7) Diferencie
e multiplique por
para obter
8) Combinando os resultados dos exercícios 6 e 7, obtenha
9) Combinando o 1º resultado do exercício 4 com o do 8, obtenha
10) Combinando os resultados dos exercícios 5 e 9, obtenha
11) Integral de Normalização das Funções Associadas de Legendre. Usando a definição
e integrando por partes, mostre que
Observe que
e lembre-se que a função
satisfaz a equação
Multiplique essa equação por
e mostre que
Daí, mostre que
fórmula m vezes, obtenha
usando o resultado da normalização dos P.L. , encontre
Usando essa
e portanto,