02/12/2015
Nome/RGM:
Optativa de GA-MATEMÁTICA, LICENCIATURA
1. (2,5 ptos.) Dados os pontos P (1, 2, 4), Q(2, 3, 2) e R(2, 1, −1), determinar as coordenadas
de um ponto S tal que P, Q, R e S sejam vértices de um paralelogramo. Calcule a área desse
paralelogramo.
−→ −→ −→ −→
Resposta: Se P QRS é o paralelogramo da figura, então P Q = SR e P S = QR
S....•..........................................................................................•.... R
.
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...
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...
...
...
..........................................................................................
•
P
•
Q


 2−x
Para S(x, y, z) vamos ter na primeira igualdade: Q − P = R − S ou:
1−y


−1 − z
igualdades implicam que x = 1, y = 0, z = 1. Logo, uma solução é S(1, 0, 1).
−→
−→
Para calcular á área de P QRS consideremos os vetores P S = (0, −2, −3) e P Q
−→ −→
área(P QRS) = |P S × P Q|. Portanto,
−→ −→
|P S × P Q| = | ⃗k
⃗i ⃗j
0 −2 −3
1 1 −2
= 1
= 1 . Essas
= −2
= (1, 1, −2). A
√
| = |7⃗i − 3⃗j + 2⃗k| = 62 u.a.
2. (2,5 ptos.) Dois pontos efetuam movimentos descritos pelas equações: X = (0, 0, 0) +
t(1, 2, 4), (t ∈ IR) e X = (1, 0, −2) + t(−1, −1, −1), (t ∈ IR). Pergunta-se se as trajetórias são
concorrentes e se haverá colisão.
Resposta: Sejam r : X = (0, 0, 0) + t(1, 2, 4), (t ∈ IR) e s : X = (1, 0, −2) + t(−1, −1, −1), (t ∈ IR).
Se as trajetórias são concorrentes, então existem t1 e t2 reais tais que r ∩ s = {P }. Assim,
(0, 0, 0) + t1 (1, 2, 4) = (1, 0, −2) + t2 (−1, −1, −1)

{

 t1 = 1 − t2
t1 = −1
∼
Substituindo t1 = −1
Resolvendo o sistema resultante, temos:
2t1 =
−t2

t2 = 2

4t1 = −2 − t2
em r ( ou t2 = 2 em s) temos que P (−1, −2, −4). Portanto concluı́mos que as trajetórias são
concorrentes e haverá colisão em P (−1, −2, −4) quando t1 = −1 em r ( ou t2 = 2 em s).
3. (2,5 ptos.) Calcule m, n ∈ IR para que a reta r : X = (2, 1, −3) + t(1, 1, −2), t ∈ IR, esteja
contida no plano π : mx + ny + 2z = 1.
Resposta: Se r ⊂ π então o vetor diretor de r, ⃗v , ⃗v ⊥ ⃗n em que ⃗n é o vetor normal de π. Isso
implica que ⃗v · ⃗n = 0 ⇔ (1, 1, −2) · (m, n, 2) = 0 ⇒ m + n − 4 = 0. Também, qualquer ponto X
de
{ r, X ∈ π. Em particular,
{ se X = (2, 1, −3) então temos 2m + n − 7 = 0. Resolvendo o sistema
m+n−4 = 0
m = 3
∼
. Portanto π : 3x + y + 2z = 1.
2m + n − 7 = 0
n = 1
4. (2,5 ptos.) Para a elipse 9x2 + 25y 2 = 225, determinar:
Resposta: Dividindo cada termo da equação por 225, temos:
9x2
225
+
25y 2
225
= 1 ou:
x2 y 2
+
= 1.
25
9
Assim a = 5 e b = 3. Da relação a2 = b2 + c2 , temos que c = 4. Portanto
a) (0,2 pto.) Focos: são o ponto F1 (−4, 0) e F2 (4, 0);
b) (0,2 pto.) Distância focal: é a distância 2c entre os focos, ou seja 2c = 8;
c) (0,2 pto.) Centro: C(0, 0);
d) (0,2 pto.) Eixo maior: é o segmento A1 A2 de comprimento 2a = 10;
e) (0,2 pto.) Eixo menor: é o segmento B1 B2 de comprimento 2b = 6;
f) (0,8 pto.) Vértices: são os pontos A1 (−5, 0), A2 (5, 0), B1 (0, −3) e B2 (0, 3);
g) (0,2 pto.) Excentricidade: e = ac = 45 .
h) (0,5 pto.) Um esboço do gráfico.
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